ESERCIZI SULL’OLIGOPOLIO DI COURNOT E BERTRAND
1) Un mercato è caratterizzato da un duopolio à la Cournot. Le imprese fronteggiano
la seguente funzione di domanda di mercato:
P 1 Q
dove Q è la quantità complessiva. L’impresa 1 è caratterizzata dalla funzione di
costo totale
C1 q1
1
q1 ,
4
mentre l’impresa 2 è caratterizzata dalla funzione di costo totale
C 2 q 2
1
q2
3
Calcolate le quantità delle imprese e mostrate che l’impresa più efficiente (quella
che produce a costi marginali più bassi) consegue profitti più elevati.
2) Considerate un mercato in cui due imprese, 1 e 2, competono alla Cournot. La
curva di domanda (inversa) del mercato sia
P 1 Q
dove Q = q1 + q2. Le imprese producono a un costo marginale costante c < 1.
Calcolate:
a) la quantità prodotta in equilibrio da ciascuna impresa
b) la quantità totale prodotta sul mercato e il prezzo di mercato
c) Confrontate tali risultati con il prezzo e la quantità che prevarrebbero se il
mercato fosse perfettamente concorrenziale, oppure monopolistico (con
un’unica impresa che produce al costo marginale
3) Considerate un mercato in cui due imprese, 1 e 2, competono alla Cournot. La
curva di domanda (inversa) del mercato sia P 1 Q , dove Q = q1 + q2. Le
imprese producono a un costo marginale costante c = 1/2. Calcolate:
a) la quantità prodotta in equilibrio da ciascuna impresa
b) la quantità totale prodotta sul mercato e il prezzo di mercato
c) Confrontate tali risultati con il prezzo e la quantità che prevarrebbero se il
mercato fosse perfettamente concorrenziale, oppure monopolistico (con
un’unica impresa che produce al costo marginale
4) Risolvendo il modello di Cournot nel caso generico a n imprese identiche tra loro,
dimostrate che all’aumentare del numero delle imprese il prezzo converge a quello
concorrenziale
5) In un mercato operano due imprese, i = 1,2, che hanno la stessa funzione di costo
totale: C(qi) = 6qi. La funzione inversa di domanda del mercato è data da
p(Q) = 18 Q,
dove Q = q1 q2.
a) Determinate i profitti di equilibrio nel caso in cui il mercato sia un duopolio
simmetrico, nel quale le imprese competono sulle quantità.
b) Determinate il profitto ottenuto sullo stesso mercato da un monopolista con
la stessa funzione di costo.
c) Confrontate i livelli di profitto ottenuti in precedenza e commentate
sull’incentivo alla collusione. Perché dobbiamo attenderci che il cartello sia
instabile in questo modello?
6) In un mercato di un prodotto omogeneo, la curva di domanda di mercato è data da
P 1 Q
Su questo mercato competono due imprese che producono a costi marginali
costanti e pari a c.
Calcolate:
a) prezzo e quantità complessivamente prodotta se le imprese competono à la
Bertrand;
b) prezzo e quantità complessivamente prodotta se le imprese competono à la
Cournot;
c) prezzo e quantità complessivamente prodotta se le imprese colludono.
7) Immaginate di essere un consulente incaricato di valutare il benessere sociale
associato alla seguente configurazione di mercato:
Due imprese operanti sul mercato; Curva di domanda di mercato: P 1 Q
Costo medio e marginale di ciascuna delle due imprese: 0.4; Prezzo prevalente sul
mercato: 0.6
8) In un mercato operano due imprese perfettamente identiche, i = 1, 2, che
producono un prodotto omogeneo e competono sulle quantità prodotte. Le imprese
fronteggiano la funzione di domanda di mercato P 4 Q , dove Q è la quantità
complessiva. Le tre impresa sono caratterizzate dalla funzione di costo totale
C qi qi + F, dove qi indica la quantità prodotta dall’impresa i.
a) Scrivete la funzione di profitto e la condizioni di massimo profitto
dell’impresa 1.
b) Calcolate la quantità prodotta dall’impresa.
c) Calcolate la quantità complessivamente prodotta sul mercato e il prezzo di
equilibrio
d) Calcolate i profitti della singola impresa e il massimo valore di F per cui
entrambe le imprese possono permanere sul mercato.
9) In un mercato operano tre imprese perfettamente identiche, i = 1, 2, 3 , che
producono un prodotto omogeneo e competono sulle quantità prodotte. Le imprese
fronteggiano la funzione di domanda di mercato P 1 Q , dove Q è la quantità
complessiva. Le tre impresa sono caratterizzate dalla funzione di costo totale
C qi
1
qi + F, dove qi indica la quantità prodotta dall’impresa i.
4
a) Scrivete la funzione di profitto e la condizioni di massimo profitto
dell’impresa 1
b) Calcolate la quantità prodotta dall’impresa 1
c) Calcolate la quantità complessivamente prodotta sul mercato e il prezzo di
equilibrio
d) Calcolate i profitti della singola impresa e il massimo valore di F per cui
tutte e tre le imprese possono permanere sul mercato
10)
Considerate due imprese, 1 e 2, che competono à la Cournot. La funzione di
1
2
costo dell’impresa 1 è C q1 F1 q1 , mentre quella dell’impresa 2 è
1
C q2 F2 q2 . Naturalmente F1 e F2 sono costi fissi, differenti per le due
4
imprese. La curva di domanda (inversa) di mercato è data da P 2 Q , dove
Q q1 q2 è la quantità complessiva.
a)
b)
c)
d)
Scrivete le funzioni di profitto delle due imprese
Calcolate la funzione di reazione dell’impresa 1 e dell’impresa 2
Calcolate q1 e q2
Calcolate il livello del prezzo e i profitti delle due imprese in equilibrio
11) Un mercato è caratterizzato da un duopolio à la Cournot. Le imprese
fronteggiano la seguente funzione di domanda di mercato:
P 1 Q
dove Q è la quantità complessiva. Le due imprese producono con costi medi e
marginali identici e costanti, pari a 0.5.
a) Calcolate i profitti delle due imprese nel caso in cui esse si comportino in
modo non cooperativo.
b) Immaginate che le due imprese si comportino come un monopolista (cioè
costituiscano un cartello) e calcolate il prezzo che scaturirebbe da un simile
comportamento. Calcolate i profitti che ciascuna impresa otterrebbe in
questa situazione.
c) Valutate il surplus del consumatore nelle due situazioni.
12)
Due imprese, A e B, sono identificate dalla stessa funzione di costo totale,
C Q Q , 0 . Esse competono su un mercato oligopolistico la cui funzione
inversa di domanda è pQ k Q . Determinate l’equilibrio di Cournot che ne
risulta e confrontatelo con la corrispondente allocazione concorrenziale. Perché
l’equilibrio cournotiano che avete derivato descrive una situazione di breve
periodo? Che cosa vi aspettate debba succedere in questo mercato nel lungo
periodo?
13) Considerate un mercato oligopolistico in cui n imprese identiche competono à
la Cournot. Le imprese sono caratterizzate da costi marginali costanti e pari a c e
sopportano un costo fisso F. a) Dimostrate che all’aumentare di n il prezzo di
oligopolio converge al costo marginale; b) calcolate il numero di imprese presenti
sul mercato in funzione di F; c) sulla base delle vostre risposte ai punti precedenti,
discutete il legame tra grado di concorrenzialità del mercato ed entità del costo
fisso.
14) Due imprese competono su un mercato la cui funzione inversa di domanda ha
la forma:
PQ A Q
Le due imprese sono identiche, vendono un prodotto omogeneo e producono a costi
nulli. Calcolate l’equilibrio di Cournot e confrontatelo con il corrispondente
equilibrio monopolistico.
15) Due imprese che operano su un mercato oligopolistico possono scegliere se
accordarsi e praticare entrambe un prezzo elevato, oppure comportarsi noncooperativamente e cercare ciascuna di accaparrarsi nuove quote di mercato con
un ribasso dei prezzi. La tabella seguente indica il guadagno di ciascuna impresa
nelle varie possibili situazioni. Indicate l’esito di questa situazione strategica nel
caso in cui il gioco venga effettuato una sola volta e nel caso in cui venga ripetuto
più volte.
16) In un mercato operano due sole imprese, l’impresa 1 e l’impresa 2, che
fronteggiano la seguente funzione di domanda complessiva del prodotto:
pQ 100 10Q
dove Q q1 q2 .
I produttori hanno la medesima funzione di costo totale:
C qi 50qi 20
a) Scrivete le funzioni di reazione delle due imprese.
b) Determinate il prezzo e la quantità complessivamente prodotta
nell’equilibrio di Cournot.
c) Confrontate quest’ultimo con il prezzo e la quantità che caratterizzerebbero
un equilibrio di cartello.
17) In un duopolio alla Cournot in cui le imprese producono un prodotto omogeneo
a costi nulli, la funzione di domanda di mercato è:
p = 2 – 0,1Q
dove p è il prezzo e Q la quantità totale offerta sul mercato.
Determinare i valori di equilibrio di prezzo, quantità e profitti
18) In un mercato per un bene non differenziato, caratterizzato dalla seguente curva
di domanda:
Q d 500 2 p
operano due imprese identiche, con tecnologia rappresentata dalla curva di costo
totale:
C qi qi , i = 1,2
Calcolate:
a) La quantità prodotta da ciascuna impresa, il prezzo prevalente sul mercato e
i profitti complessivi nell’ipotesi di comportamenti alla Cournot.
b) La quantità prodotta da ciascuna impresa, il prezzo prevalente sul mercato e
i profitti complessivi nell’ipotesi che le imprese colludano e formino un
cartello
c) il prezzo di equilibrio del mercato nell’ipotesi di comportamenti alla
Bertrand.
d) Commentate brevemente le diverse caratteristiche dell’equilibrio di Cournot
e di Bertrand.
19) In un mercato per un bene non differenziato, caratterizzato dalla seguente curva
di domanda:
Q d 80 2 p
operano due imprese identiche, con tecnologia rappresentata dalla curva di costo
totale:
C qi 20qi , i = 1,2
Calcolate:
a) La quantità prodotta da ciascuna impresa, il prezzo prevalente sul mercato e i
profitti complessivi nell’ipotesi di comportamenti alla Cournot;
b) la quantità prodotta da ciascuna impresa, il prezzo prevalente sul mercato e i
profitti complessivi nell’ipotesi che le imprese colludano e formino un cartello;
c) il prezzo di equilibrio del mercato nell’ipotesi di comportamenti alla Bertrand.
d) Commentate brevemente le diverse caratteristiche dell’equilibrio di Cournot e
di Bertrand.
20) In un mercato per un bene non differenziato, caratterizzato dalla seguente curva
di domanda:
21)
Q d 90 p
operano due imprese identiche, con tecnologia rappresentata dalla curva di costo
totale:
C qi 30qi , i = 1,2
Calcolate:
a) La quantità prodotta da ciascuna impresa, il prezzo prevalente sul mercato e i
profitti complessivi nell’ipotesi di comportamenti alla Cournot.
b) La quantità prodotta da ciascuna impresa, il prezzo prevalente sul mercato e i
profitti complessivi nell’ipotesi che le imprese colludano e formino un cartello.
c) Il prezzo di equilibrio del mercato nell’ipotesi di comportamenti alla Bertrand
22) Dimostrate analiticamente che in un mercato duopolistico in cui le imprese
competono sulla quantità, i livelli del prezzo e della quantità prodotta sono
intermedi tra quelli che prevarrebbero in un mercato monopolistico e quelli che
prevarrebbero in concorrenza perfetta.
23) Considerate un mercato dupolistico di un bene omogeneo, caratterizzato da un
funzione di domanda inversa:
P 100
Q
2
dove Q q1 q2 è la quantità complessivamente prodotta sul mercato, pari alla
somma delle quantità prodotte dall’impresa 1 e dell’impresa 2. Le due imprese
hanno diverse tecnologie, sintetizzete nelle seguenti funzioni di costo totale:
CT1 5q1 per l’impresa 1
q2
CT2 2 per l’impresa 2.
2
Determinate le quantità prodotte dalle imprese, il prezzo di equilibrio di mercato e i
profitti delle due imprese nell’ipotesi che i duopolisti competano secondo Cournot.
24) Dimostrate che l’equilibrio di lungo periodo nel modello di Cournot prevede
un numero di imprese inversamente correlato alla dimensione dei costi fissi.
