Fem-Pila-Potenziom

DETERMINAZIONE DELLA F.E.M. E DELLA
RESISTENZA INTERNA DI UNA PILA CON IL
METODO POTENZIOMETRICO
Per determinare la forza elettromotrice
Ex di una pila è
necessario utilizzare un metodo in cui la pila non eroghi corrente,
altrimenti ciò che si misura è la differenza di potenziale V ai capi
della pila, che è pari alla sua f.e.m. diminuita della caduta di
tensione sulla resistenza interna rx della pila stessa.
Uno dei metodi per eseguire la misura è quello potenziometrico. La
f.e.m. della pila da misurare Ex è dedotta dal confronto con quella
Ec di una pila campione.
Il circuito da impiegare è mostrato in figura e gli elementi da
utilizzare sono elencati di seguito:
E0: Alimentatore, di resistenza interna r0
Ex: Pila di cui si deve misurare la f.em. (nominalmente 1.5 V), di
resistenza interna rx
Ec: Pila campione di f.em. nota (1.0186 V), di resistenza interna rc
R1: Cassetta di resistenze note
R2: Cassetta di resistenze note
R: Resistenza a scelta da una serie (10 , 15 , 23 , 33,...)
G: Galvanometri, di resistenza interna rg (2 apparecchi)
T: Interruttore.
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R
-
+
rg
rx ,r c
EX , E C
G
T
ix ,ic
i0
R1
R2
+
-
r0
E0
Escludendo inizialmente la parte tratteggiata, e utilizzando la pila
campione Ec, le equazioni delle due maglie del circuito sono
(metodo delle correnti fittizie):
e
Ec = ic (rc + rg + R1) + i0 R1
(1)
E0 = i0 (r0 + R1 + R2) + ic R1
(2)
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Poichè le sorgenti di f.e.m. E0 e Ec sono montate in “opposizione”,
se E0 > Ec ci sarà un valore di R1 per il quale la d.d.p. ai capi di R1
eguaglierà Ec. In tali condizioni di equilibrio il galvanometro G non
sarà percorso da corrente (ig  ic =0) e dalle (1) e (2) si ha :
Ec = EO [R1/(r0 + R 1 + R2 )]
(3)
Sostituendo poi la pila campione con la pila incognita EX, le
equazioni delle maglie del circuito saranno, in maniera analoga:
e
Ex = ix (rx + rg + R1) + i0 R1
(4)
E0 = i0 (r0 + R1 + R2) + ix R1
(5)
ed essendo le due sorgenti di f.em. E0 e Ex ancora montate in
“opposizione”, se E0 > Ex ci sarà un altro valore di R1, R1’, per il
quale la d.d.p. ai capi di R1 eguaglierà Ex. Di nuovo in tali condizioni
di equilibrio il galvanometro G non sarà percorso da corrente (ig 
ix =0) e dalle (4) e (5) si ha :
Ex = EO [R1’/(r0 + R1’ + R2’ )]
(6)
La (6) non è adatta a determinare EX perché coinvolge r0 non nota,
e la f.e.m. EO, che non è il valore indicato dal voltmetro inglobato
nel pannello del generatore, perché esso sta erogando corrente!
Ma facendo il rapporto tra (6) e (3) EO si elimina e si ha:
Ex/Ec = (R1’/(R1) [(r0+R1+R2)/(r0+R1’+R2’ )]
(7)
Ma allora se si variano entrambe le resistenze a cassetta in modo
tale che sia sempre R1’+R2’ = R1+R2, da (3) e (6) si ricava:
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Ex = EC R1’/ R1
(8)
A questo punto si procede alla misura della resistenza interna r
della pila incognita. Inserita una resistenza nota R come indicato
nella parte tratteggiata della figura, ci saranno dei nuovi valori di
R1 e R2,, siano R1’’ e R2’’, per i quali la d.d.p. ai capi di R1 eguaglierà
la tensione fornita dalla pila. Di nuovo in tali condizioni di
equilibrio il galvanometro G non è percorso da corrente (ig  ix
=0), ma adesso la pila è percorsa da una corrente i, quella che
circola nella maglia tratteggiata. Pertanto il metodo
potenziometrico misurerà adesso, con relazione analoga alla (6), la
tensione V fornita dalla pila mentre è percorsa dalla corrente i:
V = EO [R1’’/(r0 + R1’’ + R2’’ )]
(9)
Come prima, si vuole determinare V senza utilizzare EO. Se si ha
cura di variare entrambe le resistenze a cassetta in modo tale
che sia sempre R1’’+R2’’=R1+R2, allora si può ricavare V da (3) e (9):
V = Ec R1’’ / R1
(10)
La V così determinata è legata a EX da:
V = Ex – i r
(11)
in cui i è la corrente che scorre nella pila. In condizioni di
equilibrio questa corrente è solo quella che circola nella maglia
tratteggiata e si ricava dalla equazione di tale maglia (valida
quando il potenziometro è in equilibrio (ig  ix =0):
Ex = i R + i r
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(12)
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da cui
i = Ex / (R + r)
(13)
Da (11) e (13) si ricava:
V = Ex - [Ex /(R + r)] r
(14)
Infine, poiché V e Ex sono state misurate, secondo la (10) e la (8)
rispettivamente, e R è nota, dalla (14) si ricava immediatamente r:
r = R [ (Ex - V) / V]
(15)
Modo di operare
1. Realizzare il circuito di figura, inizialmente senza la parte
tratteggiata e inserendo dapprima la pila campione Ec.
2. Fissare la tensione fornita dal generatore EO su un valore
superiore a Ex (~1.5 V). Si suggerisce di usare 4.5 V.
IMPORTANTE: Prima di accendere il generatore, dare a R1
e R2 dei valori diversi da zero, altrimenti il generatore
risulterà inizialmente chiuso in cortocircuito (su una
resistenza piccolissima) e potrebbe danneggiarsi!
3. Agendo sulle cassette di resistenze R1 e R2 cercare la
condizione ig  ic = 0. A tale scopo utilizzare inizialmente il
galvanometro meno sensibile, cominciando dalla posizione con
fondo scala 5 mA e passando poi, man mano che con regolazioni
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via via più fini di R1 e R2 l’ azzeramento migliora, alla 500 A, e
indi alla 50 A. Quel galvanometro e` munito del tasto T sul
pannello frontale. Sostituire poi l’ altro galvanometro,
montando anche il tasto T. Regolarlo dapprima sulla scala meno
sensibile (1:100), passando poi a quelle più sensibili. Tra una
regolazione e l’ altra aprire e chiudere il tasto T.
4. Rilevare i valori di R1 e R2
azzeramento del galvanometro.
per i quali si è ottenuto l’
5. Sostituire la pila campione con la pila incognita Ex.
6. Mantenendo adesso la stessa tensione EO, cercare con
procedura analoga al punto 3 i nuovi valori R1’ e R2’ per cui ig 
ix = 0. Fare attenzione che a ogni tentativo la somma totale
R1’ + R2’ soddisfi la condizione R1’ + R2’ = R1 + R2, dove R1 e R2
sono i valori finali di cui al punto 4.
7. Ricavare Ex dalla (8).
8. Inserire la resistenza nota R, scegliendone una dalla serie in
dotazione.
9. Ripetere la procedura delineata al punto 6 determinando la
d.d.p. V data dalla (10). Notare che le nuove R1’’ e R2’’ dovranno
sempre soddisfare la condizione R1’’ + R2’’ = R1’ + R2’ = R1 + R2.
10. Determinare r usando la relazione (15).
11. Alla fine della misura ricordarsi di disinserire le pile per
evitare che si scarichino rapidamente!
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