Compito di Matematica Classe III A
20 maggio 2010 Alunno
Problema 1 (4 pti)
Scritta l’equazione della parabola avente per asse la retta di equazione x=1 e passsante per i punti A(3; 0) e B(0 ; 3)
e dopo aver indicato con M ed N i punti medi dei segmenti OA e OB, determinare sull’arco AB di parabola il
punto C per il quale è 63/16 l’area del quadrilatero convesso OMCN, essendo O l’origine del sistema cartesiano di
riferimento.
Problema 2 (4 pti)
Dopo aver disegnato la parabola di equazione : y=-x2 +4x siano: A e B i punti in cui la curva è tagliata dalla retta
di equazione x+y-4=0 ; C il punto d’intersezione delle due tangenti alla curva nei punti A e B. calcolare l’area del
triangolo ABC. Inscrivere nella regione finita compresa la curva e l’asse x un quadrato.
Problema 3 (4 pti)
y x 2 bx c , è tangente nel punto A(0;-4) alla retta di coefficiente angolare -3. Calcolare le
2
coordinate dei punti di C1 con la parabola C2 di equazione y x 5 x 4 e determinare per quale valore di k la
La parabola C1
parabola C1 stacca sulla retta y=k un segmento triplo dei quello intercettato da C2 sulla stessa retta.
Problema 4 ( 4 pti)
Due parabole, aventi l’asse parallelo all’asse y, intersecano la retta 6x-5y+2=0, in due punti, che si trovano nel I e III
quadrante, distanti rispettivamente dall’origine 5 e 2 2 ; sapendo che le due parabole hanno, nell’origine, per
tangente comune, la retta y=3x, determinare le loro equazioni. Verificare che le tangenti alle due curve nei punti di
intersezione con l’asse x, distinti dall’origine sono parallele; trovare l’area del trapezio, avente basi su dette tangenti,
una diagonale sulla retta di equazione y=3x e l’altra sull’asse x.
Soluzione Compito A
Problema 1
Scritta l’equazione della parabola avente per asse la retta di equazione x=1 e passsante per i punti A(3; 0)
e B(0 ; 3) e dopo aver indicato con M ed N i punti medi dei segmenti OA e OB, determinare sull’arco
AB di parabola il punto C per il quale è 63/16 l’area del quadrilatero convesso OMCN, essendo O
l’origine del sistema cartesiano di riferimento.
b
2a 1
b 2a
b 2
0 9a 3b c 0 9a 6a 3 a 1
c 3
c 3
c 3
3
3
N ( , 0) M (0, ) P( x; x 2 2 x 3)
2
2
y x2 2x 3
Area(OMPN)=A(OMN)+A(MNP)=63/16
Area(OMN )
133 9
222 8
3
0
1
1 3
3
3
3
3
2
Area( MNP)
y (x ) y x
da cui
3
3 2 2
2
2
2
4
2
x
0
2
2
y0
3
3 63 9 45
y x
da cui
4
2 14 8 16
3 2
3 45
x 2x 3 x
4
2 16
1
3 15
x2 2x 3 x
4
2 16
4 x 12 x 6 15 da cui
2
Da 4 x 2 12 x 9 0
Da 4 x 2 12 x 21 0
4 x 2 12 x 9 0
4 x 2 12 x 21 0
6 36 36 3
4
2
6 120 6 10,9
x
soluzioni no accettabile perché fuori dall’arco AB
4
4
x
Altro modo:
3
3
N ( , 0) M (0, )
2
2
P( x; x 2 2 x 3)
Area(OMPN)=A(OMP)+A(ONP)=63/16
1
13
Area (OMP) OM PH
x
2
22
1
13
Area(OMP) ON PK
y
2
22
Area(OMPN )
13
13
3
63
x
y ( x y)
22
22
4
16
3
63
( x x 2 2 x 3)
12( x 2 3x 3) 63
4
16
6 36 36 3
4 x 2 12 x 9 0 x
4
2
Problema 2
Dopo aver disegnato la parabola di equazione : y=-x2 +4x siano: A e B i punti in cui la curva è tagliata
dalla retta di equazione x+y-4=0 ; C il punto d’intersezione delle due tangenti alla curva nei punti A e B.
calcolare l’area del triangolo ABC.
y x2 4 x
x 2 5 x 4 0 x 1; x 4
Da cui
Da cui A(1,3) e B(4,0)
y x 4
y x 4
y x 4
mA 2
mB 4
Retta per A y 3 2( x 1) da cui y 2 x 1
Retta per B y 0 4( x 4) da cui y 4 x 16
Rette tangenti m 2ax0 b 2 x0 4
60 30
6
3
1
1
1
9 27
Area( ABC ) 5
18
3
2 4 1 4 2
2
4
3 2
2
2
Quadrato:
y x2 4 x
Interseco la parabola con una retta y=k
y k
2 4k
x
allora il rettangolo avrà vertici
1
y k
P 2 4k,k
Q 2
4 k ,k P' 2 4 k ,0
x 2 4 x k x 2 4 x k 0
y k
y k
Q' 2 4 k ,0
Il rettangolo sarà un quadrato quando PQ=PP’
PQ 2 4 k 2 4 k 2 4 k
2 4k k
4(4 k ) k 2 16 4k k 2
k 2 4 16 2 20 2 2 5
PP ' k
k 2 4k 16 0
k 2( 5 1)
Problema 3 (3 pti)
La parabola C1 y x 2 bx c , è tangente nel punto A(0;-4) alla retta di coefficiente angolare -3.
Calcolare le coordinate dei punti di C1 con la parabola C2 di equazione y x 2 5 x 4 e
determinare per quale valore di k la parabola C1 stacca sulla retta y=k un segmento triplo dei quello
intercettato da C2 sulla stessa retta.
y x 2 bx c
Passaggio c=-4 ; m 2ax0 b
3 2 0 b da cui b=-3
y x 2 3x 4
y x 2 3x 4
2
y x 5 x 4
x 2 3 x 4 x 2 5 x 4
2
y x 5 x 4
2 x 2 8 x 0
da cui x=0 e x=4
2
y x 5 x 4
x 0
x 4
2
y x 5 x 4 4 y 16 20 4 0
y x 2 3x 4
y k
y k
2
y x 5x 4
x 2 3x 4 k 0
y k
3 9 4(4 k )
2
3 25 4k
2
xC , D
xC , D
y k
2
x 5x 4 k 0
5 25 4(4 k )
2
5 9 4k
2
xE , F
xE , F
CD
2 25 4k
2
EF
2 9 4k
2
CD=3EF
25 4k 9(9 4k )
25 4k 81 36k k
56 7
40 5
Problema 4
Trovo i due punti richiesti dal problema sulla retta 6 x 5 y 2 0
y
6x 2
5
Primo punto
P1(x,y)
PO 5 PO x 2 y 2 x 2
PO
61x 2 12 x 4
5
25
36 x 2 12 x 4
25x 2 36 x 2 12 x 4
25
25
61x 2 12 x 4
25 61x 2 12 x 4 625 0
25
61x 2 12 x 621 0
12 144 61 621 12 195 12 195
x
3 y 4
61
61
61
P1(3,4)
Secondo punto
P2(x,y)
PO 2 2
61x 2 12 x 4
PO
2 2
25
61x 2 12 x 4
8 61x 2 12 x 4 200 0
25
61x 2 12 x 196 0
12 144 61196 12 110
x
2 y 2
61
61
P2(-2,-2)
Esprimo la condizione di tangenza nell’origine e il passaggio per l’origine.
m 2ax0 b 3 2a 0 b e c 0
E quindi le due parabole hanno equazione
y ax 2 3x
Passaggio per P1
4 a9 9 a
5
9
Intesezione della parabola con l’asse x
5
y x 2 3x
9
5 2
27
x 3x 0 x
9
5
27
B ;0
5
Passaggio per P2
2 a4 6 a 1
Intesezione con l’asse x
Retta tangente per B
Retta tangente per A
y x 2 3x
x 3 A 3;0
27
81
5 27
mB 2 3 3 y 0 3( x ) y 3x
5
5
9 5
y 0 3( x 3) y 3x 9
mA 2 1 (3) 3 3
Intersecando le tangenti con la retta y=3x ottengo i punti del quadrilatero.
27
81
81
81
x
y 3 x
3 x 3 x
6 x
10
C
5 C
5 C
5 C
y 3 x
y 3 x
y 3 x
y 81
10
y 3x 9
6 x 9
3x 3x 9
D
D
D
y 3x
y 3x
y 3x
3
x 2
D
y 9
2
1 27
9 1 27
81
Area( ADBC ) Area ( ABD) Area ( ABC ) 3 3
2 5
2 2 5
10
1 42 9 1 42 81 1 42 126 1323
Area( ADBC )
2 5 2 2 5 10 2 5 10
25
