Data la parabola di equazione ,

Compito di Matematica Classe III A
20 maggio 2010 Alunno
Problema 1 (4 pti)
 Scritta l’equazione della parabola avente per asse la retta di equazione x=1 e passsante per i punti A(3; 0) e B(0 ; 3)
e dopo aver indicato con M ed N i punti medi dei segmenti OA e OB, determinare sull’arco AB di parabola il
punto C per il quale è 63/16 l’area del quadrilatero convesso OMCN, essendo O l’origine del sistema cartesiano di
riferimento.
Problema 2 (4 pti)
 Dopo aver disegnato la parabola di equazione : y=-x2 +4x siano: A e B i punti in cui la curva è tagliata dalla retta
di equazione x+y-4=0 ; C il punto d’intersezione delle due tangenti alla curva nei punti A e B. calcolare l’area del
triangolo ABC. Inscrivere nella regione finita compresa la curva e l’asse x un quadrato.
Problema 3 (4 pti)
y  x 2  bx  c , è tangente nel punto A(0;-4) alla retta di coefficiente angolare -3. Calcolare le
2
coordinate dei punti di C1 con la parabola C2 di equazione y   x  5 x  4 e determinare per quale valore di k la
La parabola C1
parabola C1 stacca sulla retta y=k un segmento triplo dei quello intercettato da C2 sulla stessa retta.
Problema 4 ( 4 pti)
Due parabole, aventi l’asse parallelo all’asse y, intersecano la retta 6x-5y+2=0, in due punti, che si trovano nel I e III
quadrante, distanti rispettivamente dall’origine 5 e 2 2 ; sapendo che le due parabole hanno, nell’origine, per
tangente comune, la retta y=3x, determinare le loro equazioni. Verificare che le tangenti alle due curve nei punti di
intersezione con l’asse x, distinti dall’origine sono parallele; trovare l’area del trapezio, avente basi su dette tangenti,
una diagonale sulla retta di equazione y=3x e l’altra sull’asse x.
Soluzione Compito A
Problema 1
 Scritta l’equazione della parabola avente per asse la retta di equazione x=1 e passsante per i punti A(3; 0)
e B(0 ; 3) e dopo aver indicato con M ed N i punti medi dei segmenti OA e OB, determinare sull’arco
AB di parabola il punto C per il quale è 63/16 l’area del quadrilatero convesso OMCN, essendo O
l’origine del sistema cartesiano di riferimento.
 b
  2a  1
b  2a
b  2



0  9a  3b  c 0  9a  6a  3 a  1
c  3
c  3
c  3




3
3
N ( , 0) M (0, ) P( x;  x 2  2 x  3)
2
2
y   x2  2x  3
Area(OMPN)=A(OMN)+A(MNP)=63/16
Area(OMN ) 
133 9

222 8
3
0
1
1 3
3
3
3
3
2
Area( MNP) 
  y  (x  )  y  x 
da cui
3
3 2 2
2
2
2
4
2
x
0
2
2
y0
3
3 63 9 45
y x 
 
da cui
4
2 14 8 16
3 2
3 45
x  2x  3  x  
4
2 16
1
3 15
 x2  2x  3  x  
4
2 16
4 x  12 x  6  15 da cui
2
Da 4 x 2  12 x  9  0
Da 4 x 2  12 x  21  0
4 x 2  12 x  9  0
4 x 2  12 x  21  0
6  36  36 3

4
2
6  120 6  10,9
x
soluzioni no accettabile perché fuori dall’arco AB
4
4
x
Altro modo:
3
3
N ( , 0) M (0, )
2
2
P( x;  x 2  2 x  3)
Area(OMPN)=A(OMP)+A(ONP)=63/16
1
13
Area (OMP)  OM  PH 
x
2
22
1
13
Area(OMP)  ON  PK 
y
2
22
Area(OMPN ) 
13
13
3
63
x
y  ( x  y) 
22
22
4
16
3
63
( x   x 2  2 x  3) 
12( x 2  3x  3)  63
4
16
6  36  36 3
4 x 2  12 x  9  0 x 

4
2
Problema 2
 Dopo aver disegnato la parabola di equazione : y=-x2 +4x siano: A e B i punti in cui la curva è tagliata
dalla retta di equazione x+y-4=0 ; C il punto d’intersezione delle due tangenti alla curva nei punti A e B.
calcolare l’area del triangolo ABC.
 y   x2  4 x
 x 2  5 x  4  0  x  1; x  4
Da cui 
Da cui A(1,3) e B(4,0)


 y  x  4
 y  x  4
 y  x  4
mA  2
mB  4
Retta per A y  3  2( x  1) da cui y  2 x  1
Retta per B y  0  4( x  4) da cui y  4 x  16
Rette tangenti m  2ax0  b  2 x0  4 
60 30
6
3
1
1
1
9 27
Area( ABC )  5

 18  
3
2  4 1 4 2 
2
4
3 2
2
2
Quadrato:
 y   x2  4 x
Interseco la parabola con una retta y=k 
y  k

2 4k
x 
allora il rettangolo avrà vertici

1
y  k


P 2 4k,k
 Q 2 
 
4  k ,k P' 2  4  k ,0

 x 2  4 x  k  x 2  4 x  k  0


y  k
y  k

Q' 2  4  k ,0
Il rettangolo sarà un quadrato quando PQ=PP’
PQ  2  4  k  2  4  k  2 4  k
2 4k  k
4(4  k )  k 2 16  4k  k 2
k  2  4  16  2  20  2  2 5
PP '  k
k 2  4k  16  0
k  2( 5  1)

Problema 3 (3 pti)
La parabola C1 y  x 2  bx  c , è tangente nel punto A(0;-4) alla retta di coefficiente angolare -3.
Calcolare le coordinate dei punti di C1 con la parabola C2 di equazione y   x 2  5 x  4 e
determinare per quale valore di k la parabola C1 stacca sulla retta y=k un segmento triplo dei quello
intercettato da C2 sulla stessa retta.
y  x 2  bx  c
Passaggio c=-4 ; m  2ax0  b
3  2  0  b da cui b=-3
y  x 2  3x  4
 y  x 2  3x  4

2
 y   x  5 x  4
 x 2  3 x  4   x 2  5 x  4

2
 y   x  5 x  4
2 x 2  8 x  0
da cui x=0 e x=4

2
 y   x  5 x  4
x  0
x  4


2
 y   x  5 x  4  4  y  16  20  4  0
 y  x 2  3x  4

y  k
y  k

2
 y   x  5x  4
 x 2  3x  4  k  0

y  k
3  9  4(4  k )
2
3  25  4k

2
xC , D 
xC , D
y  k
 2
 x  5x  4  k  0
5  25  4(4  k )
2
5  9  4k

2
xE , F 
xE , F
CD 
2 25  4k
2
EF 
2 9  4k
2
CD=3EF
25  4k  9(9  4k )
25  4k  81  36k k 
56 7

40 5
Problema 4
Trovo i due punti richiesti dal problema sulla retta 6 x  5 y  2  0
y
6x  2
5
Primo punto
P1(x,y)
PO  5 PO  x 2  y 2  x 2 
PO 
61x 2  12 x  4
5
25
36 x 2  12 x  4
25x 2  36 x 2  12 x  4

25
25
61x 2  12 x  4
 25 61x 2  12 x  4  625  0
25
61x 2  12 x  621  0
12  144  61 621 12  195 12  195
x


3 y 4
61
61
61
P1(3,4)
Secondo punto
P2(x,y)
PO  2 2
61x 2  12 x  4
PO 
2 2
25
61x 2  12 x  4
 8 61x 2  12 x  4  200  0
25
61x 2  12 x  196  0
12  144  61196 12  110
x

 2 y   2
61
61
P2(-2,-2)
Esprimo la condizione di tangenza nell’origine e il passaggio per l’origine.
m  2ax0  b 3  2a  0  b e c  0
E quindi le due parabole hanno equazione
y  ax 2  3x
Passaggio per P1
4  a9  9 a  
5
9
Intesezione della parabola con l’asse x 
5
y   x 2  3x
9
5 2
27
x  3x  0 x 
9
5
 27 
B ;0
 5 
Passaggio per P2
2  a4  6 a  1
Intesezione con l’asse x
Retta tangente per B
Retta tangente per A
y  x 2  3x
x  3 A  3;0
27
81
 5  27
mB  2     3  3 y  0  3( x  ) y  3x 
5
5
 9 5
y  0  3( x  3) y  3x  9
mA  2 1 (3)  3  3
Intersecando le tangenti con la retta y=3x ottengo i punti del quadrilatero.
27

81 
81
81
x



 y  3 x 
3 x  3 x 
6 x 

10
C
5 C
5 C
5 C
 y  3 x
 y  3 x
 y  3 x
 y  81

10
 y  3x  9
6 x  9
3x  3x  9
D
D
D
 y  3x
 y  3x
 y  3x
3

 x   2
D
y  9

2
1  27
 9 1  27
 81
Area( ADBC )  Area ( ABD)  Area ( ABC )    3     3  
2 5
2 2 5
 10
1  42  9 1  42  81 1  42  126  1323
Area( ADBC )         

2  5  2 2  5  10 2  5  10 
25