Esercizio 1 - statistica@unimib

Esercizio 1
Siano A e B due eventi tali che P A  0.3 , PB  0.4 e P A  B =0.58
Calcolare P A  B , PA  B  , PA  B  , PA  B  , PA  B 
Soluzione
 P A  B = P A + PB  - P A  B =0.3+0.4-0.58=0.12
 PA  B = P A - P A  B =0.3-0.12=0.18



PA  B   P A  B   1  P A  B  =1-0.58 (legge di de Morgan)
PA  B  = P A + PB - PA  B  =0.3+0.6-0.18=0.72
PA  B   P A  B   1  P A  B  =1-0.12=0.88
Esercizio 2
Un impiegato pensa di avere 2 possibilità su tre di non avere una promozione, 1 su 2 di avere un
aumento e 1 su 4 di avere entrambi.
a) Qual è la probabilità che l’impiegato abbia almeno un tra una promozione e un aumento?
b) Qual è la probabilità che abbia un aumento se ha una promozione?
Soluzione
Sia
A=” avere un aumento”
B=” avere una promozione”
P(A)=1/2
P( B )=2/3
P A  B  1 / 4
1 1 1
a) P A  B  P( A)  P( B)  P A  B     =0.583
2 3 4
P A  B  1 4 3
b) P A | B  


PB 
13 4
Esercizio 3
Da un mazzo di quaranta carte si estrae una carta. Verificare che gli eventi A ={carta di picche} e B={
figura} sono indipendenti.
Soluzione
A e B sono stocasticamente indipedenti se P A  B  P APB
10
P  A 
40
12
P B  
40
3
La probabilità dell’evento A  B = “ figura e carta di picche” è P A  B  
.
40
3
1 3
 P A  B  P APB  
Dal momento che
40
4 10
A e B non sono stocasticamente indipendenti
Esercizio 4
Da un mazzo di 52 carte da gioco ( valori: 1,2,…..9,10,J,Q,K su 4 semi) viene estratta casualmente una
carta. Definiti gli eventi A={carta numerica pari}, B={carta di picche}, C={una figura}
calcolare
a) P A, PB, P(C)
b) P A  B  C 
Soluzione
a) P A 
16
13
12
, PB   , P(C ) 
52
52
52
3
52
Dal momento che gli eventi A e B  C sono incompatibili ( P A  B  C  =0 )
16 3 19


P A  B  C   P( A)  PB  C  
52 52 52
b) B  C =”carta di picche e figura” P( B  C ) 
Esercizio 5
Un’urna contiene 2 palline nere, 2 rosse e 3 blu; una seconda urna contiene 2 palline nere, 6 rosse e 4
blu. Estraiamo una pallina da ciascuna urna..
a) Descrivere lo spazio degli eventi elementari 
b) Determinare la probabilità di non estrarre alcuna pallina blu
c) Determinare la probabilità di estrarre entrambe le palline di colore blu
Soluzione
a)
Indichiamo con
N i  ”estrazione di una pallina nera dall’i-esima urna ” i=1,2
Ri  ”estrazione di una pallina rossa dall’i-esima urna” i=1,2
Bi  ”estrazione di una pallina blu dall’i-esima urna” i=1,2
 = ( N1 N 2 ), (R1 R2 ), ( B1 B2 ), (B1 R2 ), ( R1 B2 ), ( N1 R2 ), ( R1 N 2 ), ( N1 B2 ), ( B1 N 2 )
b)
Sia A =”nessuna pallina blu”
2 2 2 6 2 6 2 2 32 8
P( A)  P( N 1 N 2 )  P( R1 R2 )  P( N 1 R2 )  P( R1 N 2 ) 





7 12 7 12 7 12 7 12 84 21
c)
sia B=”entrambe le palline di colore blu”
3 4 12 1


P(B)= PB1 B2  
7 12 84 7
Esercizio 6
Un cacciatore colpisce un bersaglio in media una volta su quattro. Si cerca la probabilità che colpisca il
bersaglio in 3 colpi
Soluzione
La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 1/4. Sia A l’evento “il bersaglio viene colpito
almeno una volta in 3 colpi” è data da
P A =1-P( A ) dove A è l’evento “il bersaglio non viene colpito alcuna volta”. Dal momento che i
colpi successivi sono indipendenti
3
P( A )=  
4
Quindi
3
3
3
P A =1-P( A )=1- P( A )=1-   =0.578
4
Esercizio 7
Pippo entra in un cinema dove viene proiettato un film a sorpresa. La probabilità che venga proiettato
un film americano è del 75%. In genere a Pippo piace un film americano su 2 e un film non americano
su 4.
(a) Qual è la probabilità che a Pippo piaccia il film proiettato?
(b) Qual è la probabilità che, se a Pippo è piaciuto il film, quello proiettato fosse un film
americano?
Soluzione
A=” viene proiettato un film americano”
B= “a Pippo piace il film”
P A  0.75, PA   0.25,
PB | A  0.5 PB | A   0.25
a)
Applico il teorema delle probabilità totali
PB   PB | AP A  PB | A PA   0.50.75  0.250.25  0.4375
b)
Si tratta di calcolare P A | B . Utilizzo il teorema di Bayes
P A | B  
PB | AP A 0.50.75

=0.857
P( B)
0.4375
Esercizio 8
Consideriamo una popolazione 100 individui, di cui 40 sono fumatori. Si estraggono a caso due
individui, ma non si riesce a registrare se il primo individuo è fumatore oppure no.
a) Determinare la probabilità che il secondo individuo sia fumatore
b) Calcolare la probabilità che il primo individuo sia fumatore, sapendo che il secondo lo è
Soluzione
Sia F1 l’evento “il primo individuo è fumatore”
PF1   40 / 100  0.4, PF1   60 / 100 =0.6
Sia F2 l’evento “il secondo individuo è fumatore”
PF2 | F1   39 / 99, PF2 | F1   40 / 99
39 40
60 40 3960
40



a) P( F2 )= PF2 | F1 P( F1 )  PF2 | F1 P( F1 ) 
99 100 100 99 99000 100
b)
156
PF2 | F1 PF1  990 156 100 39
PF1 | F2  



40 990 40 99
P( F2 )
100
Esercizio 9
Determinare la probabilità che in una famiglia con cinque figli
a) tre di essi siano maschi e i restanti due siano femmina
b) il primogenito sia femmina
Soluzione
a)
Sia {m} l’evento “figlio maschio” e {f} l’evento “figlia femmina”
Si ha P{m}=P{f}=1/2
La probabilità di una particolare sequenza ordinata di cinque elementi composta da tre maschi e
5
1
due femmine (m,m,m,f,f) è data da P{(m,m,m,f,f)}= Pm P f     .
2
Dobbiamo moltiplicare tale probabilità per il numero di sequenze ordinate di cinque elementi composte
5
da tre maschi e due femmine. Tale numero è pari a   . Quindi la probabilità richiesta è
3
3
2
 1   5  10 5

    =
 2   3  32 16
b)
Dobbiamo determinare tutte le possibili sequenze ordinate di cinque elementi che hanno il primo
elemento fissato, ossia tutte le possibili quaterne con elementi appartenenti all’insieme {m,f}. Sono in
5
5
16 1
1
tutto 2 . Quindi la probabilità richiesta è   16= 
32 2
2
4
Esercizio 10
E’ più ragionevole scommettere sull’evento “su quattro lanci di un dado il 6 si presenta almeno una
volta” o sull’evento “su 24 lanci di due dadi almeno una volta si fa il doppio 6?
Soluzione
Sia A =” su quattro lanci di un dado il 6 si presenta almeno una volta”
Consideriamo l’esperimento: si lancia quattro volte un dado
   (1 ,  2 , 3 ,  4 ) tale che i può assumere valori interi da 1 a 6
Si ha card ()  6 4  1296
A  { (1 ,  2 , 3 ,  4 ) tale che i può assumere valori interi da 1 a 5 }=” il 6 non si presenta mai”
card ( A )  5 4  625
card(A)
n casi favorevoli
54
P(A)= 1-P( A )=11
 1  4 =0.518
n casi possibili
card()
6
Sia B=“su 24 lanci di due dadi almeno una volta si fa il doppio 6?
Consideriamo l’esperimento: si lanciano due dadi.
Sia E=”doppio 6 in un lancio”
1
P(E)=
36
Consideriamo l’evento B = “in 24 lanci non si presenta mai doppio 6”
Siccome i lanci sono indipendenti PB   1  P( E ) 
24
 35 
 
 36 
24
da cui
P(B)= 1-P( B )=1-0.509=0.491
E’ più ragionevole scommettere sull’evento A.
Esercizio 11
Un ascensore parte dal piano terra con 4 passeggeri e si ferma ai sei piani successivi. Calcolare la
probabilità che almeno due persone scelgano di scendere ad uno stesso piano.
Soluzione
   (1 ,  2 , 3 ,  4 ) tale che gli i  1, ,6
card ()  6 4
Sia A={almeno due persone scelgono di scendere ad uno stesso piano}
A =  (1 ,  2 , 3 ,  4 ) tale che gli i  1, ,6e sono tutti distinti 
6!
card ( A )  card ( D46 ) 
2!
n casi favorevoli
card(A) 6  5  4  3
P( A )=
=0.278


n casi possibili
card()
64
P(A)=1- P( A )=1-0.278=
Esercizio 12
Calcolare la probabilità nel gioco del lotto di vincere in un’estrazione
a) un ambo
b) un terno
c) una cinquina
Soluzione
Sia    1 ,  2 , 3 ,  4 , 5  tale che gli i  1, ,90e sono tutti distinti 
 90 
card ()  card (C590 )   
5 
a) il numero di casi in cui si può vincere è dato dal numero delle combinazioni di 88 elementi a
 88 
gruppi di tre, ossia   .
3 
 88 
88!
 
3
54
Quindi P(ambo)=    3!85! 
 (2.5)  10 3
90! 90  89
 90 
 
 5  5!85!
b) il numero di casi in cui si può vincere è dato dal numero delle combinazioni di 87 elementi a
 87 
gruppi di 2, ossia   .
2 
 87  87!
 
2
543
Quindi P(terno)=    2!85! 
 (8.5)  10 5
90
!
90  89  88
 90 
 
 5  5!85!
1
1
5!


 (2.27)  10 8
c) P(cinquina)=
90!
90  89  88  87  86
 90 
 
 5  5!85!