Esercizio 1 - statistica@unimib

Esercizio 1
La probabilità che Marco sia assente da scuola è pari a 0.08, la probabilità che Luca sia assente
da scuola è pari a 0.07, mentre la probabilità che lo siano entrambi è pari 0.02.
a) Qual è la probabilità che almeno uno dei due studenti sia assente?
b) Qual è la probabilità che almeno uno dei due studenti sia presente?
c) Qual è la probabilità che solo uno dei due studenti sia presente?
Soluzione
P( M A )=0.08
P( LA )=0.07
P( M A  LA )=0.02
a) P M A  LA  = P( M A )+P( LA )-P( M A  LA )=0.13
b) P M A  L A =P( M A  M B )=1- P( M A  LA )=1-0.13
c) P( M A  L A )+P( M A  L A )=
P( M A )=P( M A  LA )+P( M A  L A )  P( M A  L A )=P( M A )-P( M A  LA )=0.08-0.02=0.06
P( LA )=P( M A  LA )+P( M A  L A )  P( M A  L A )=P( LA )-P( M A  LA )=0.07-0.02=0.05
Esercizio 2 (esercizio 1.25 Chicchitelli, pag. 48)
Una moneta regolare viene lanciata tre volte. Si considerino gli eventi: A: “l’esito del primo
lancio è testa”, B:”l’esito del secondo lancio è diverso da quello del primo”, C:”esattamente
due esiti sono testa”.
(a) Calcolare P(A), P(B), P(C)
(b) Calcolare la probabilità che si verifichino tutti e tre gli eventi, sapendo che se ne è
verificato almeno uno.
(c) I tre eventi sono a due a due indipendenti?
Soluzione
Lo spazio di probabilità   1 ,  2 , 3 tali che i  T , C .
card   2 3 =8
(a)
A={(T,C,C),(T,T,T),(T,C,T),(T,T,C)}
B={(T,C,T),(T,T,C),(C,C,T),(C,T,C)}
A={(C,T,T),(T,C,T),(T,T,C)}
P(A)=4/8=0.5
P(B)=4/8=0.5
P(C)=3/8
(b)
P A  B  C    A  B  C  P A  B  C  2 8 2
P( A  B  C | A  B  C ) 



P A  B  C 
P A  B  C  8 7 7
P A  B  C  =P(A)+P(B)+P(C)-P( A  B)  P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C ) =
4 4 3 2 2 2 2 7
=       
8 8 8 8 8 8 8 8
2
P A  B  C   PT , C , T , (T , T , C ) 
8
( c) A e B sono statisticamente indipendenti in quanto i lanci sono indipendenti tra loro. Verifichiamolo
P A  B  2 8 1

  P( A)
P( B)
84 2
B e C non sono statisticamente indipendenti
1
3
 P( B  C )  P( B) P(C ) 
4
4
P(A|B)=
A e C non sono statisticamente indipendenti
1
3
 P( A  C )  P( A) P(C ) 
4
4
Esercizio 3 (esercizio 1.26 Chicchitelli, pag. 48)
Si considerino tre urne A, B, C: l’urna A contiene 2 palline bianche e 4 rosse, l’urna B contiene
8 palline bianche e 4 rosse, l’urna C contiene 1 pallina bianca e 3 rosse. Si determini la
probabilità che estraendo a sorte una pallina da ciascuna urna 2 siano bianche
(a) Descrivere lo spazio degli eventi elementari
(b) Determini la probabilità che estraendo a sorte una pallina da ciascuna urna 2 siano bianche
Soluzione
(a) Lo spazio degli eventi elementari è dato da
(rA , rB , rC ), (rA , rB , bC ), (rA , bB , bC ), (rA , bB , rC ), (b A , rB , rC ), (b A , bB , bC ), (b A , bB , rC ),


(b A , rB , bC )

(b) Sia E l’evento “2 palline estratte sono bianche”
E={ (rA , bB , bC ) , (bA , bB , rC ) , (bA , rB , bC ) }
4 8 1 2 8 3 2 4 1 11


P(E)=
=
6 12 4 6 12 4 6 12 4 36
Esercizio 4
Di un gruppo di studenti iscritti ad una certa laurea specialistica il 40% è iscritto ad un corso
facoltativo A e il 50% ad un corso facoltativo B. Tra gli iscritti al corso A, il 30% si è iscritto
anche al corso B
(a) Calcolare la probabilità che uno studente scelto a caso si sia iscritto a entrambi i corsi
(b) Calcolare la probabilità che uno studente scelto a caso tra gli iscritti al corso B, si sia
iscritto anche al corso A.
(c) Gli eventi “Iscritto al corso A” e “Iscritto al corso B” sono statisticamente indipendenti?
Soluzione
P( A)  0.4, P( B)  0.5, P( B | A)  0.3
(a) P( A  B)  P( B | A) P( A)  0.12
P( A  B)
 0.24
(b) P( A | B) 
P( B)
(c) Gli eventi A e B non sono indipendenti dal momento che
P( A  B)  P( A) P( B)
Esercizio 5
Tre portamonete contengono ciascuno due scomparti. Il primo contiene una moneta da 1 Euro
in ciascuno dei due scomparti, il secondo contiene una moneta da 50 Centesimi nel primo
scomparto e una moneta da 1 Euro nel secondo, il terzo una moneta da 50 Centesimi in
ciascuno dei due.
(a) Calcolare la probabilità che uno scomparto scelto a caso contenga una moneta da 1
Euro
(b) Si apre uno scomparto a caso e si trova una moneta da 50 Centesimi. Qual è la
probabilità che anche l’altro scomparto dello stesso portamonete contenga una moneta
da 50 Centesimi?
Soluzione
Consideriamo gli eventi:
S i : lo scomparto prescelto appartiene al portamonete i
C: lo scomparto prescelto contiene una moneta da 50 Cent
E: lo scomparto prescelto contiene una moneta da 1 Euro.
(a) Si richiede la probabilità di E.
Utilizzo il teorema delle probabilità totali
3
1 1 1
1 1
P(E)=  PE | S i P( S i )  1     0  
i 1
3 2 3
3 2
(b)Si richiede la probabilità PS 3 | C 
Utilizzo il teorema di Bayes
1 1 
PC | S 3 PS 3 
2
3
PS 3 | C   3
  
1
3
 PC | S i P( S i ))
i 1
2
Esercizio 6
Nella prima classe di una scuola media composta da 24 studenti, la materia preferita per 10 di
essi è Italiano, per 8 di essi Storia e per i rimanenti Matematica. Risulta poi che è femmina il
30% degli studenti che preferiscono Italiano, il 50% degli studenti che preferiscono Storia e il
60% degli studenti che preferiscono sono Matematica.
(a) Determinare la probabilità che uno studente scelto a caso sia femmina
(b) Sapendo che uno studente è femmina, qual è la probabilità che preferisca Matematica?
Soluzione
P(I)=0.417, P(S)=0.333, P(M)=0.25
PF | I   0.30
PF | S   0.5
PF | M   0.6
a)
Applico il teorema delle probabilità totali
PF   PF | I PI   PF | S PS   PF | M PM   0.4416
b)
Si tratta di calcolare PM | F  . Utilizzo il teorema di Bayes
PM | F  
PF | M PM  0.6 0.25

=0.34
P( F )
0.4416
Esercizio 7
Il 70% delle donne e il 40% degli uomini appartengono a un particolare gruppo sanguigno. 20
persone di cui 5 uomini hanni donato il sangue. Viene scelto un contenitore a caso e si scopre
che il sangue non appartiene al gruppo in questione. Determinare la probabilità che il sangue
sia stato donato da un uomo.
Soluzione
P(U)=5/20=0.25, P(D)=15/20=0.75
Sia G l’evento “appartenenza a un particolare gruppo sanguigno”
P(G|U)=0.4, P(G|U)=0.7
P(G)= P(G | U ) P(U )  P(G | D) P( D)  =(0.4)(0.25)+(0.7)(0.75)=0.1+0.525=0.625
Applico il teorema di Bayes
Si tratta di calcolare P(U | G ) 
P(G | U ) P(U ) (0.6)(0.25)
=0.4

0.375
P(G )
Esercizio 8
E’ stato installato un allarme in una raffineria di petrolio. Tale dispositivo deve segnalare
possibili incendi, ma spesso dà un falso allarme. La probabilità di un incendio in un dato
periodo è 2/5 e la probabilità che il dispositivo dia un falso allarme è 1/3. Se l’allarme suona in
quel dato periodo, qual è la probabilità che si sia realmente verificato un incendio?
Soluzione
P(I)=2/5, P( I )=3/5
P(S | I ) =1/3
P( S | I ) =1
Applico il teorema di Bayes:
PS | I PI 
P I | S  
P( S )
 2   1  3  3
D’altra parte P (S ) = PS | I P( I )  PS | I P( I )  1      
 5   3  5  5
PS | I PI  2 5 2


Quindi PI | S  
P( S )
53 3
Esercizio 9
Un’urna contiene 60 palline di cui 30 rosse e 30 nere. Si fanno 10 estrazioni con reimmissione.
(a) Descrivere lo spazio degli eventi elementari
(b) Calcolare la probabilità di estrarre 7 palline rosse e 3 nere.
(c) Calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa.
Soluzione
SOLUZIONE
(a) Lo spazio di probabilità   1 ,, 10 tali che i  r , n .
card   210 =1024
(b) Sia A l’evento “ estrarre 7 palline rosse e 3 nere.”. A consiste di tutte le sequenze nelle quali il rosso
compare esattamente 7 volte. La sua cardinalità è pari alla cardinalità dell’insieme dei sottoinsiemi di
7 elementi che si possono formare da un insieme di 10, cioè
10 
card       120
7 
card ( A) 120
P  A 

 0.117
card () 1024
( c) Sia A l’evento “ la prima pallina estratta è rossa.”. A consiste di tutte le sequenze con primo
elemento fissato pari a “r” . Gli altri 9 elementi sono tutte le sequenze con elementi pari a “r” o “n” (in
numero pari a 2 9 ). Quindi
card ( A) 512
P  A 

 0.5
card () 1024
Esercizio 10
Da un gruppo di 10 individui, di cui 4 uomini e 6 donne, vengono scelte a caso tre persone
diverse
(a) Determinare lo spazio degli eventi elementari e la sua cardinalità
(b) Determinare la probabilità che vi siano 2 donne e un uomo.
(c) Determinare la probabilità che i primi due individui scelti siano uomini e il terzo sia
donna.
Soluzione
(a) Lo spazio degli eventi elementari opportuno è dato dall’insieme di tutti i sottoinsiemi di 3 elementi
che posso formare da un insieme di 10, cioè delle combinazioni di 10 elementi tre a tre. Quindi
10  10! 10  9  8
card     

 120
6
 3  3!7!
(b) Sia A l’evento “vengono scelti 2 donne e un uomo ”. Il numero di casi favorevoli è dato da
 4  6 
card ( A)      60 = (numero di modi di scegliere un uomo dal gruppo degli uomini) x (numero
1  2 
di modi di scegliere 2 donne dal gruppo delle donne)
card ( A) 60

Quindi P A 
card () 120
(c) Indichiamo con U i l’evento “l’i-esimo individuo estratto è uomo” e con Di “l’i-esimo individuo
estratto è donna”.
La probabilità richiesta è
63 4
1
P(U 1  U 2  D3 )  P( D3 | U 1  U 2 ) P(U 2 | U 1 ) PU 1  

8 9 10 10
Esercizio 11
Due amiche si trovano in coda alla cassa di un supermercato, insieme ad altre 4 persone.
Determinare la probabilità che siano separate da 2 persone.
Soluzione
a) Lo spazio degli eventi elementari  è l’insieme di tutte le permutazioni dei 6 individui che
costituiscono la coda
Si tratta di card ()  card ( P6 )  6! 720
Elenchiamo il numero di casi favorevoli.
Indichiamo con a1 , a 2 le due amiche e con bi per i  1,  4 le altre persone. Una volta fissata nella
sequenza la posizione di a1 (ci sono 6 possibili modi di fissare a1 ) , la posizione di a 2 è individuata in
maniera unica. Fissate le posizioni di a1 , a 2 per le altre 4 persone ci sono 4!=24 modi di disporsi nella
coda. Quindi il numero di casi favorevoli è pari 6  24  144
n casi favorevoli 144

 0.2
La probabilità cercata è data da
n casi possibili 720
Esercizio 12
Da un’urna contenente 50 palline numerate da 1 a 50 se ne estraggono 4 con reimmisione
(a) Descrivere lo spazio degli eventi elementari
(b) Calcolare la probabilità di estrarre almeno due numeri uguali.
Soluzione
(a) Sia    1 ,  2 , 3 ,  4  tale che gli i  1, ,50 
Si tratta di card ()  50 4
(a) Sia A   1 ,  2 , 3 ,  4  tale che  ha almeno due componenti uguali 
E’ più facile calcolare la probabilità dell’evento
A   1 ,  2 ,  3 ,  4  tale che  ha tutte le componenti diverse 
50!
 50  49  48  47
Si tratta di card ( A )  card ( D450 ) 
46!
card ( A)
49  48  47
P  A  1 
1
 0.116
card ()
50 3