compito del 9 settembre 2008

Esercizio 1
Sia dato una lastra indefinita conduttrice ed una carica puntiforme
negativa –q posta a distanza a da essa (fig. 1.A). Introduciamo un
sistema di coordinate cilindriche con l’asse z perpendicolare al piano
della lastra e l’asse r contenuto nel piano della lastra.
(A)
(B)
_
_
+
z
z
-a
a
Fig. 1
Si tenga presente che il campo elettrico a destra della lastra (cioe` per
z  0 ) e`, come si puo` dimostrare nella teoria elettrostatica, uguale a
quello del sistema di fig. 1.B (sempre per z  0 ), costruito sostituendo la
lastra con una carica puntiforme positiva +q posta simmetricamente
rispetto al piano z  0 .
Determinare:
a) il campo elettrico su un punto generico del piano z  0 , a distanza r
dall’origine;
b) la densita` superficiale di carica sul piano z  0 ;
c) si integri la densita` di carica e si determini la carica totale Qi indotta
sul piano z  0 .
Soluzione dell’esercizio 1
a) Il campo elettrico sul piano, nella configurazione (B), e` la
sovrapposizione dei campi delle singole cariche:

1 q ˆ
1 q ˆ
E 
d 
d
2
40 d 
40 d 2

1 q ˆ
1 q ˆ
E 
d


d

40 d 2
40 d 2
Data la posizione simmetrica del piano,
d  d  a2  r 2  d
Le componenti dei campi contenute nel piano sono uguali e contrarie,
mentre quelle lungo z sono uguali e si sommano:
1 q
Etot  E cos   E cos   2
cos 
40 d 2
Calcolato il cos e sostituendo,otteniamo infine il modulo del campo
totale:
1
a
Etot  E cos   E cos  
q
20 a 2  r 2 3 2
Direzione verso: z positivo.
Trovato il campo, il sistema (B) non ci serve piu` e possiamo tornare a
considerare il sistema (A).
b) Per trovare la densita` di carica, dobbiamo ricordare la relazione che
intercorre tra campo e densita` alla superficie di un conduttore:
  0E
Nel nostro caso otteniamo:
1
aq

2 a 2  r 2 3 2
Che risulta non uniforme, come e` evidente dalla dipendenza da r.
c) La carica indotta e` data dall’integrale:

Qi   dA    r 2rdr
0
Ove abbiamo sfruttato la simmetria cilindrica per semplificare
l’integrale doppio.
Proseguiamo i calcoli e facciamo la sostituzione u  a 2  r 2 :


qa
qa du
Qi  
rdr 
2
2 32
2 a2 u 3 2
0 a  r 
L’integrale e` uguale a 2/a, per cui la carica indotta e`:
Qi  q
Cioe` uguale e opposta alla carica negativa che la induce. Questo
risultato si puo` ottenere anche senza eseguire l’integrale, usando la
legge di Gauss.
Esercizio 2
Due fili rettilinei, indefiniti e paralleli, sono posti a distanza r e sono
percorsi rispettivamente dalle correnti alternate:
i1 t   i0 sin t
i 2 t   i0 sin t   
1
2
Si trovi l’espressione:
a) della forza per unita` di lunghezza con cui i due fili interagiscono.
In particolare si studi:
b) il caso   0 e se ne calcoli la media temporale su un periodo. Si
ripeta
per il caso    2 e    .
Interpretare fisicamente il segno del risultato nei casi   0 e    . Qual
e` l’interpretazione nel caso    2 ?
Soluzione dell’esercizio 2
a) I due fili interagiscono con forze uguali e contrarie. La forza con cui
il filo 1 agisce su un tratto l2 del filo 2 e` data da:
 

F12  i2 l 2  B1
Ove B1 e` il campo generato dal filo 1 nella posizione del filo 2.
x
1
2
La componente della forza lungo x e`:
F12  i2l2 B1
Per la legge di Biot-Savart
B1 
 0 i1
2 r
Otteniamo infine per la forza per unita` di lunghezza:
f2 
F12
 ii
 i2 B1  0 1 2
l2
2 r
Con un ragionamento analogo troviamo la forza per unita` di lunghezza
con cui il filo 2 agisce sul filo 1:
f1 
F21
 ii
 i1 B2   0 1 2
l1
2 r
Finora non abbiamo fatto uso del fatto che le correnti sono alternate.
Inserendo questa informazione otteniamo infine:
0 i02
f2 
sin t sin t   
2 r
b) nel caso   0 le due correnti sono in fase e ci aspettiamo che i due
fili si attraggano. Otteniamo infatti
0 i02 2
f2 
sin t
2 r
Un’espressione che non e` mai negativa. La sua media temporale e`:
0 i02 1 T 2
f2 
sin tdt

2 r T 0
L’integrale vale T/2, quindi:
0 i02
f2 
4 r
Di nuovo il segno positivo significa che in media f2 e` rivolta verso x
positive, cioe` c’e` attrazione tra i fili.
Nel caso    2 , le correnti sono in quadratura di fase:
0 i02
f2 
sin t cos t
2 r
Nel primo quarto di periodo seno e coseno (e quindi le due correnti)
sono entrambi positivi; nel secondo sono uno positivo e l’atro negativo;
nel terzo sono entrambi negativi; infine nel quarto sono uno negativo e
l’altro positivo. Ci aspettiamo che le forze tra correnti siano attrattive
nel primo e terzo quarto di periodo, repulsive nel secondo e ultimo
quarto.
Il valore medio risulta, non sorprendentemente, nullo:
0 i02 1 T
f2 
sin t cos tdt  0
2 r T 0
Nel caso    le correnti sono in opposizione di fase, hanno quindi
sempre segno discorde, cosa che si traduce in una forza repulsiva.
L’espressione di f2 non e` mai positiva:
0 i02 2
f2  
sin t
2 r
il valor medio e`, ovviamente, negativo:
0 i02
f2  
4 r
Entrambi espressioni del fatto che c’e` repulsione tra i fili.