alg1-11-7-08 - Dipartimento di Matematica

ALGEBRA 1, gruppo M-Z (prof. Verardi)
A.A. 2007-08 - Prova scritta dell’11/07/08
Cognome
Nome
voto
Riportare i calcoli o le motivazioni sui fogli allegati
1

Nell’anello R[x] dei polinomi a coefficienti reali si ponga p x  x 2  2 . Sia poi definita la seguente


relazione: f , g  R x , f ~ g  q  R x , f  g  p  q
1.a
Si dimostri che ~ è una relazione d’equivalenza. 
1.b
4
3
2
Si
 dimostri che nella classe d’equivalenza del polinomio f x  3 x  7 x  5 x  x  7 c’è almeno

un polinomio di I grado.
1.d
La relazione ~ è compatibile con l’addizione o con la moltiplicazione in R[x]?

Si descrivano gli elementi della classe 0 , dove 0 denota il polinomio nullo.
1.e
La classe 0
1.c
 ~
 ~ è un ideale di R[x]? E’ un ideale massimale?

2
Nel
 gruppo simmetrico S8 ,

si consideri il sottoinsieme H degli elementi che o sono cicli di
lunghezza 3 o sono prodotti di cicli di lunghezza 3.
2.b
L’identità appartiene ad H?

H è un sottogruppo di S8 ,  ?
2.c
H contiene permutazioni dispari?
3
Siano Z 8 
3.a
Si scrivano le tavole di moltiplicazione dei due gruppi Z 8 
2.a

e Z10  rispettivamente i gruppi moltiplicativi degli anelli Z8 e Z10
3.b  I duegruppi Z 8 
e Z10  .
e Z10  sono isomorfi?




valutazioni degli esercizi
esercizio
1a 1b 1c
punti disponibili
3
3
3
punti conseguiti
1d
3
1e
3
2a
3


2b
3
2c
3
3a
3
3b
3
totale
30
ALGEBRA 1, gruppo A-L (prof. Idà)
A.A. 2007-08 - Prova scritta dell’11/7/08
Cognome
Nome
voto
Riportare i calcoli o le motivazioni sui fogli allegati

1
Nell’anello R[x] dei polinomi a coefficienti reali si ponga p x  x 2  3 . Sia poi definita la seguente


relazione: f , g  R x , f ~ g  q  R x , f  g  p  q
1.a
Si dimostri che ~ è una relazione d’equivalenza. 
1.b
4
3
2
Si
 dimostri che nella classe d’equivalenza del polinomio f x  3 x  7 x  5 x  x  8 c’è almeno

un polinomio di I grado.
1.d
La relazione ~ è compatibile con l’addizione o con la moltiplicazione in R[x]?

Si descrivano gli elementi della classe 0 , dove 0 denota il polinomio nullo.
1.e
La classe 0
1.c
 ~
 ~ è un sottogruppo del gruppo additivo di R[x]? E’ un sottoanello di R[x]?

Nel
 gruppo simmetrico S8 ,
2

si consideri il sottoinsieme H degli elementi che o sono cicli di
lunghezza 3 o sono prodotti di cicli di lunghezza 3.
2.b
L’identità appartiene ad H?

H è un sottogruppo di S8 ,  ?
2.c
H contiene permutazioni dispari?
2.a

3.a
3.b
  e UZ10  rispettivamente i gruppi delle unità degli anelli Z8 e Z10 .
Si scrivano le tavole di moltiplicazione dei due gruppi U Z8  e U Z10 .



I due gruppi U Z8  e U Z10  sono isomorfi?
Siano U Z8
3




valutazioni degli esercizi
esercizio
1a 1b 1c
punti disponibili
3
3
3
punti conseguiti
1d
3
1e
3
2a
3

2b
3
2c
3
3a
3
3b
3
totale
30