Componenti di un vettore Sia dato un vettore v, in sistema di assi cartesiani ortogonali, le componenti ortogonali, sono le proiezioni del vettore v sull’asse x e sull’asse y. Ricordiamo che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto oppure per un cateto è uguale all’ipotenusa per coseno dell’angolo adiacente. Allo guardano la figura AC AB cos e AD AC AB sin Passando ai vettori ottengo che vx v cos e v y v sin Piano inclinato. Per piano inclinato intendiamo una superficie piana che forma un angolo con il piano orizzontale. Sia dato un piano inclinato di lunghezza l, altezza h, e base b. Indichiamo con α l’angolo che il piano forma con l’orizzonte. Siano A,B,C i vertici del triangolo rettangolo. Sia posto su un punto D, una massa m e quindi un peso P , la massa è sottoposta ad una forza di reazione da parte del piano inclinato R . Sommando settorialmente i due vettori ottengo un vettore parallelo al piano chiamiamolo Px , oppure P . Px h h P mg l l oppure Px P sin mg sin Vediamo ora le forze attraverso le componenti parallele al piano inclinato e perpendicolari. Sul piano inclinato che chiamiamo x, agisce la componente del peso x: Fx Px mg sin mg h l sul piano y agiscono due forze uguali ed opposte R e la componente perpendicolare del peso Py y: Fy R Py R mg cos 0 da cui R mg cos mg b l Dimostrazione: Se io scompongo il vettore P ,in due vettori (componenti) uno parallelo al piano Px e un altro perpendicolare Py , ottengo che la componente Py , genera una reazione del piano uguale ed opposta R . Considerando il piano inclinato e i le componenti dei vettori si vengono a formare due triangoli rettangoli simili ABC e DHG. Sono simili perché hanno uguale l’angolo retto e l’angolo α. ˆ DBA ˆ GDH (Dato che la somma degli angoli interni in un triangolo è pari a 180°, ˆ 90 HDB ˆ 90 (90 ) .) ˆ 90 , e dato che HDB ˆ 90 , abbiamo GDH GDD P h HG CA sostituendo ho che x DG CB P l Py b HD BA 2) Allora sostituendo ho che DG CB P l 1) Allora Px h h P mg l l Py b b P mg l l Oppure ricordando le proprietà dei triangoli rettangoli e le componenti. (vedi sotto) Px P sin mg sin e Py P cos mg cos Questo perché la componente x è opposto all’angolo α, la componente y è adiacente.