MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
a.a. 2009-2010
Complementi ed esercitazioni 4
1) In tre settimane dall’inizio del corso sono state svolte dodici ore di lezione, su un totale di sessanta
ore. Esprima il rapporto fra le ore svolte e le ore totali attraverso una frazione. Come scrivevano gli
Egizi tale frazione unitaria?
2) Esprima la frazione 1/5 usando la notazione posizionale decimale moderna e la notazione
posizionale sessagesimale dei babilonesi.
«In senso ampio, lo studio degli andamento regolari e delle
relazioni [patterns and relationships] è l’essenza della matematica e,
di conseguenza, esso occupa una posizione centrale nella matematica
scolastica. I matematici tentano di capire delle strutture fondamentali
attraverso la ricerca di andamenti regolari e di relazioni all’interno di
classi di esempi e di collezioni di dati. Le loro indagini coinvolgono
domande e congetture che scavano fino in fondo, insieme al pensiero
creativo e alle strategie di risoluzione di problemi, e capire e rendere
proprie tali abitudini alla scoperta è particolarmente cruciale per tutti
gli studenti di matematica.»
Ira J. Papick, Algebra connections. Mathematics for middle school teachers,
Upper Saddle River (New Jersey): Pearson Prentice Hall, p. 1
3) Consideri il seguente problema, facendo attenzioni alle questioni seguenti:
a)
b)
c)
d)
quale è la strategia o strategie che ha esplorato?
quale regola o regole ha individuato?
quale è la strategia o strategie potrebbe esplorare un ragazzo?
Quale andamento regolare dei dati, quale regola o regole potrebbe individuare un ragazzo?
Attorno a una piscina quadrata di lato 4 si colloca un bordo di piastrelle quadrate di lato 1.
Quante piastrelle sono necessarie? E se la piscina ha lato 20?
[Un altro enunciato, più generale]Attorno a una piscina quadrata di lato l (con l un numero
intero) si colloca un bordo di piastrelle quadrate di lato 1. Si chiede di trovare una regola per
calcolare il numero di piastrelle necessarie per costruire il bordo.
1
Nella discussione in aula abbiamo adoperato le parole seguenti: sperimentazione, esempi e
raccolta di dati, tabella, formula esplicita, regola ricorsiva, variabile, dominio, dipendenza e
variabile dipendente.
In una regola ricorsiva, si specificano uno o più valori espliciti, e ogni valore successivo è dato
in termini del valore o di alcuni valori precedenti.
Ad esempio:
P1 = 8
Pl = Pl"1 + 4, l > 1
4) Provi a discutere il ragionamento che permette di ottenere le formule seguenti
!
2
a) ( l + 2) " l 2
b) 4 ( n + 2) " 4
Verifichi che queste formule sono equivalenti alla formula ottenuta in classe.
!
5) Abbiamo ricordato che questa!regola stabilisce una relazione fra due variabili: la lunghezza
della piscina e il numero di piastrelle necessarie per costruire il bordo di tale piscina. Si
tratta di una funzione:
P:N "
"# N
l"
"# P ( l) = 4l + 4
Dal punto di vista matematico, il dominio è formato dai numeri naturali; si tratta quindi di una
successione:
!
8, 12, 16, 20, 24, …, 4l + 4 , …
Proponga altri esempi di successioni e se possibile, indichi la regola di formazione.
!
6) Consideri ora, seguendo le stesse indicazioni dell’esericizio 3, il problema seguente:
Per costruire questa fila, di 4 cellette quadrate, quanti stuzzicadenti sono stati usati?
Quanti ne servirebbero, per costruire una fila più lunga, di 50 cellette?
[Un altro enunciato, più generale] Un contadino costruisce recinti per i suoi animali
adoperando pannelli seguendo questo modello. Quanti panelli sono necessari per n animali?
Consideri le regole ricorsive ed esplicite.
2
7) Consideri il seguente problema elementare.
In un parcheggio si trovavano 155 macchine un’ora fa. Nell’ultima ora sono entrate 34
macchine e ne sono uscite 18. Quanti veicoli sono rimasti nel parcheggio?
Provi a individuare i concetti matematici sottostanti. Analizzi il problema dal punto di vista
didattico, seguendo le indicazioni proposte nelle Letture ed esercitazioni 1.
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