C.1 La distribuzione GEV

APPENDICE C
APPENDICE C
LA DISTRIBUZIONE GEV (GENERALIZED EXTREME VALUES) E
STIMA DEI PARAMETRI
385
APPENDICE C
386
APPENDICE C
C.1 La distribuzione GEV
La funzione di probabilità cumulata della distribuzione GEV ha la seguente espressione:
1/ k

  k  x  u  

F ( x)  exp  1 




 
 

[C.1]
dove:
x
variabile casuale;
u
parametro di posizione;
α
parametro di scala;
k
parametro di forma.
Per k=0 la formula [C.1] si riduce alla funzione di probabilità di Gumbel (EV1).
Per k<0 la formula [C.1] è limitata inferiormente (EV2), mentre per k>0 è limitata superiormente
(EV3). In entrambi i casi il limite inferiore ed il limite superiore vale, rispettivamente, u 

k
.
Se si indica con m il valore atteso della variabile casuale x, ovvero m  Ex , la curva di crescita
della variabile ridotta x'  x m è formalmente identica alla [C.1], con parametri u'  u m ,
'   m e k'  k .
C.2 Stima dei parametri u ' ,  ' e k '
La stima dei tre parmatri u ' ,  ' e k ' della distribuzione GEV è stata eseguita mediante la tecnica
basata sugli L-moments raccomandata da Hosking (1990).
Gli L-moments sono una combinazione lineare dei Probability Weigthed Moments (PWM).
Per definizione, i PWM di una certa variabile aleatoria x si esprimono come segue:

 x
M p ,r , s  E x p  Fx ( x)  1  Fx ( x) 
r
s
p
Fx ( x) r  1  Fx ( x)  f
s
x
x dx
[C.2]
x
ed in particolare:
M 1, 0, 0 
 x  f x dx  m
x
[C.3]
x
x
387
APPENDICE C
M 1,r , 0  br 
 x  F x 
r
x
 f x  x dx
[C.4]
x
dove:
x
variabile casuale;
p
ordine del momento rispetto alla variabile;
r
ordine rispetto alla probabilità di non superamento;
s
ordine rispetto alla probabilità di superamento.
Per la stima, i momenti pesati in probabilità possono essere fatti coincidere con i corrispondenti
momenti campionari:
b0 
1 n
xj
n j 1
br 
1
n
n
[C.5]
 j  1   j  2.....   j  r 
 n  1  n  2.....  n  r   x
j  r 1
[C.6]
j
dove:
n
dimensione del campione.
Pertanto, la stima degli L-moments, tenendo conto che sono definiti come combinazione lineare
dei PWM, può essere fatta nel seguente modo:
l1  b0
[C.7]
l 2  2  b1  b0
[C.8]
l3  6  b2  6  b1  b0
[C.9]
t 3  l3 / l 2
[C.10]
Infine, i parametri della distribuzione GEV, possono essere espressi in funzione degli Lmoments in base alle seguenti equazioni:
388
APPENDICE C
c
2
ln 2

3  t 3 ln 3
[C.11]

k  7.8590  c  2.9554  c 2

l2  k




1  2 k  (1  k )




u  l1   1   1  k
k

[C.12]

 
[C.13]

[C.14]
C.3 Rappresentazione della distribuzione GEV sul piano di Gumbel
Dopo aver calcolato i tre parametri u ,  e k , è possibile rappresentare nel piano di Gumbel
(ordinata: valore della variabile x, ascissa: variabile ridotta di Gumbel y) la distribuzione GEV
tramite le equazioni:
x   y u
[C.15]
1 

y   ln  ln( F ( x))    ln  ln( 1  )
T 

[C.16]
essendo y la variabile ridotta.
389
APPENDICE C
390