PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA
Prof.ssa Daniela Giachetti
C.C.L. Informatica (A-F), a.a. 2002/2003
I numeri e le funzioni reali.
Gli assiomi dei numeri reali, cenni di teoria degli insiemi, numeri naturali, interi,
razionali. Funzioni e rappresentazione cartesiana, funzioni invertibili, funzioni
monotone, funzioni lineari, funzione valore assoluto. Funzioni potenza,esponenziale,
logaritmo, funzioni trigonometriche. il principio di induzione.
Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore.
I numeri complessi.
Limiti di successioni.
Definizioni e proprietà ( unicità del limite*, permanenza del segno*, limite del
prodotto di una successione limitata per una infinitesima* ), successioni limitate,
operazioni con i limiti, forme indeterminate, teoremi di confronto, limiti notevoli,
successioni monotone, il numero e, infiniti di ordine crescente.
Limiti di funzioni. Funzioni continue.
Definizioni e legami fra limiti di successioni e limiti di funzioni. Proprietà ( unicità
del limite*, permanenza del segno*, limite del prodotto di una successione limitata
per una infinitesima*). Funzioni continue. Punti di discontinuità . Teoremi sulle
funzioni continue ( teorema dei valori intermedi *).Continuità delle funzioni
monotone e delle funzioni inverse.
Derivate.
Definizione e interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente. Operazioni
con le derivate. Derivate di funzioni composte e inverse. Derivate delle funzioni
elementari . Le funzioni trigonometriche inverse.
Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat *, di Rolle e di Lagrange Funzioni
crescenti e decrescenti in intervalli. Criteri di monotonia. Funzioni convesse e
concave . Criterio di convessità. il teorema di l'Hopital. Studio del grafico di una
funzione. Formula di Taylor e suo uso nel calcolo di limiti.
Funzioni di due variabili.
Dominio, rappresentazione cartesiana, limiti e continuità. Derivate parziali .Gradiente.
Derivate successive e teorema di Schwarz. Differenziabilità ( teorema del
differenziale *, teorema sulla continuità delle funzioni differenziabili *) Derivate
direzionali. Massimi e minimi relativi, condizione necessaria *.
Integrali definiti.
Definizioni e proprietà. Il teorema della media*. Integrabilità delle funzioni continue.
Integrali indefiniti.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale*. Formula fondamentale del calcolo
integrale*.L'integrale indefinito. Integrazione per decomposizione in somma.
Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti e per sostituzione. Calcolo
di aree di figure piane.
Integrali impropri per funzioni di segno costante. Criteri.
Integrali di funzioni di due variabili reali su domini normali, formule di riduzione.
Serie numeriche.
Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Condizione necessaria per la
convergenza*. Serie a termini non negativi. Serie armonica e serie geometrica. Criteri
di convergenza. Serie alternate. Convergenza assoluta.
Equazioni differenziali
Introduzione e problema di Cauchy.
Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali lineari
del primo ordine, del secondo ordine omogenee ( teorema sull' integrale generale *) e
non omogenee ( metodo della variazione della costante arbitraria *). Il teorema di
Cauchy di esistenza e unicità locale e globale. Equazioni a variabili separabili.
Equazioni di Bernoulli.
Gli argomenti elencati sono contenuti nel testo " Elementi di Analisi Matematica uno"
di P. Marcellini-C.Sbordone Ed. Liguori ( capitoli da I a XI ) e nel testo " Elementi di
Analisi Matematica due" di P. Marcellini-C.Sbordone Ed. Liguori ( capitoli II, III, V
).
Gli argomenti contrassegnati con asterisco sono richiesti con dimostrazione.
