Programma di Analisi Matematrica I a.a. 2008/09 A. Chinnì

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Programma di Analisi Matematrica I a.a. 2008/09B. Di Bella - A. Chinnì
Università degli studi di Messina
Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea in Ingegneria Informatica e delle TElecomunicazioni
Corso di laurea in Ingegneria Industriale
Anno accademico 2008/2009
Programma del corso di
ANALISI MATEMATICA I
Docente del corso : Dott.ssa Beatrice Di Bella - Dott.ssa Antonia Chinnì
Dipartimento di Scienze per l’Ingegneria e l’Architettura
Facoltà di Ingegneria
Tel. 0903977326 - 0903977324
E:mail [email protected] [email protected]
C.F.U. 6
Prerequisiti Elementi di algebra lineare, di geometria elementare e di trigonometria di norma
acquisiti nei corsi di scuola secondaria.
Nozioni preliminari
Nozioni elementari di logica: i predicati, i quantificatori. Elementi di teoria degli insiemi.
Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni di
ordine.
Numeri reali
Definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali. Conseguenze degli assiomi relativi alle
operazioni di addizione, di moltiplicazione ed alla relazione di ordine. Gli insiemi N, Z e Q. Il
principio di induzione. Valore assoluto di un numero reale e proprietà. Insiemi limitati. Estremo
superiore ed inferiore di un insieme. Insiemi separati ed insiemi contigui. Insiemi aperti, insiemi
chiusi e proprietà. Derivato, chiusura e frontiera di un insieme. Caratterizzazione degli insiemi
chiusi*. Teorema di Bolzano-Weierstrass.Calcolo combinatorio.
Numeri complessi
Definizione di C e operazioni in C. Forma algebrica. Coniugato, modulo e argomento. Forma
trigonometrica e forma esponenziale. Potenze e radici di un numero complesso. Rappresentazione
esponenziale dei numeri complessi. Equazioni in campo complesso.
Le funzioni reali
Richiami sulle funzioni: dominio, condominio, immagine, immagine inversa, funzioni iniettive,
funzioni surgettive, funzione composta, funzione inversa, funzioni monotone. Funzioni elementari e
loro grafici. Cenni alle funzioni logaritmica ed esponenziale in campo complesso.
Programma di Analisi Matematrica I a.a. 2008/09B. Di Bella - A. Chinnì
Limiti di funzioni
Definizione di limite. Limiti infiniti e limiti all’infinito. Teoremi fondamentali sui limiti. Operazioni
con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Limite destro e limite sinistro. Teorema di
esistenza del limite di funzioni monotone. Infinitesimi ed infiniti. Funzioni asintoticamente uguali.
Successioni numeriche
Definizione di successione. Successioni estratte. Limite di una successione. Successioni monotone.
Insiemi sequenzialmente compatti e caratterizzazione*. Criterio di Cauchy per le successioni. .
Funzioni continue
Funzioni continue. Punti di discontinuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: continuità
della funzione composta, teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri e conseguenze.
Funzioni uniformemente continue: teorema di Heine-Cantor*.
Calcolo differenziale
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivata della somma, del prodotto e del
reciproco. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate delle funzioni elementari.
Punti di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat. Ricerca degli estremi assoluti di una
funzione continua su un insieme sequenzialmente compatto. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange.
Conseguenze del teorema di Lagrange. Teoremi di de L’Hôpital. Funzioni convesse e concave:
definizione e significato geometrico. Condizione necessaria per le funzioni convesse (o concave)
derivabili. Condizione necessaria e sufficiente per le funzioni convesse (o concave) derivabili due
volte. Punti di flesso, asintoti, punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Determinazione
del grafico di una funzione.
Funzioni inverse
Continuità della funzione inversa*. Derivabilità della funzione inversa*. Applicazioni allo studio di
particolari funzioni elementari: funzione logaritmo, funzione esponenziale, funzione potenza,
funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni iperboliche e loro inverse.
Calcolo integrale
Integrale di Riemann: definizione e significato geometrico. Criterio di integrabilità. Integrabilità
delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone*. Teorema della media integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito di una funzione. Regole di
integrazione: integrazione per parti, per sostituzione, integrazione delle funzioni razionali. Integrali
generalizzati: criteri di convergenza *. Applicazioni dell’integrale definito per il calcolo di aree e
volumi.
Cenni all formula di Taylor
Polinomio di Taylor associato ad una funzione derivabile n volte. Resto n-esimo nella forma di
Peano* e nella forma di Lagrange*.
Le dimostrazioni concernenti gli argomenti contrassegnati con (*) possono essere omesse.
Testi consigliati
Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, (terza edizione interamente riveduta e ampliata) Bollati
Boringhieri Editore - Torino
Programma di Analisi Matematrica I a.a. 2008/09B. Di Bella - A. Chinnì
N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore
Enrico Giusti, Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica Vol. 1, Bollati Boringhieri
Editore - Torino
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di matematica Vol 1 (parti 1 e 2), Liguori
Editore – Napoli
F.Buzzetti, E.Grassini-Raffaglio, A.Masconi Ajroldi, Esercizi di Analisi Matematica 1, Masson
Italia Editore
S.Salsa, A.Squellati, Esercizi di Matematica (volume 1) Calcolo infinitesimale e algebra
lineare, Zanichelli
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