Programma di Analisi Matematrica I a.a. 2008/09 A. Chinnì Università degli studi di Messina Facoltà di Ingegneria Corso di laurea in Ingegneria Elettronica Corso di laurea in Ingegneria Navale Anno accademico 2008/2009 Programma del corso di ANALISI MATEMATICA I Docente del corso : Dott.ssa Antonia Chinnì Dipartimento di Scienze per l’Ingegneria e l’Architettura Facoltà di Ingegneria Tel. 0903977324 E:mail [email protected] C.F.U. 6 Pre requisiti Elementi di algebra lineare, di geometria elementare e di trigonometria di norma acquisiti nei corsi di scuola secondaria. Nozioni preliminari Nozioni elementari di logica: i predicati, i quantificatori. Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni di ordine. Numeri reali Definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali. Conseguenze degli assiomi relativi alle operazioni di addizione, di moltiplicazione ed alla relazione di ordine. Gli insiemi N, Z e Q. Il principio di induzione. Valore assoluto di un numero reale e proprietà. Insiemi limitati. Estremo superiore ed inferiore di un insieme. Insiemi separati ed insiemi contigui. Insiemi aperti, insiemi chiusi e proprietà. Derivato, chiusura e frontiera di un insieme. Caratterizzazione degli insiemi chiusi*. Teorema di Bolzano-Weierstrass.Calcolo combinatorio. Numeri complessi Definizione di C e operazioni in C. Forma algebrica. Coniugato, modulo e argomento. Forma trigonometrica e forma esponenziale. Potenze e radici di un numero complesso. Rappresentazione esponenziale dei numeri complessi. Equazioni in campo complesso. Le funzioni reali Richiami sulle funzioni: dominio, condominio, immagine, immagine inversa, funzioni iniettive, funzioni surgettive, funzione composta, funzione inversa, funzioni monotone. Funzioni elementari e loro grafici. Cenni alle funzioni logaritmica ed esponenziale in campo complesso. Programma di Analisi Matematrica I a.a. 2008/09 A. Chinnì Limiti di funzioni Definizione di limite. Limiti infiniti e limiti all’infinito. Teoremi fondamentali sui limiti. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Limite destro e limite sinistro. Teorema di esistenza del limite di funzioni monotone. Infinitesimi ed infiniti. Funzioni asintoticamente uguali. Successioni numeriche Definizione di successione. Successioni estratte. Limite di una successione. Successioni monotone. Insiemi sequenzialmente compatti e caratterizzazione*. Criterio di Cauchy per le successioni. . Funzioni continue Funzioni continue. Punti di discontinuità. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: continuità della funzione composta, teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri e conseguenze. Funzioni uniformemente continue: teorema di Heine-Cantor*. Calcolo differenziale Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivata della somma, del prodotto e del reciproco. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate delle funzioni elementari. Punti di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat. Ricerca degli estremi assoluti di una funzione continua su un insieme sequenzialmente compatto. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teoremi di de L’Hôpital. Funzioni convesse e concave: definizione e significato geometrico. Condizione necessaria per le funzioni convesse (o concave) derivabili. Condizione necessaria e sufficiente per le funzioni convesse (o concave) derivabili due volte. Punti di flesso, asintoti, punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Determinazione del grafico di una funzione. Funzioni inverse Continuità della funzione inversa*. Derivabilità della funzione inversa*. Applicazioni allo studio di particolari funzioni elementari: funzione logaritmo, funzione esponenziale, funzione potenza, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni iperboliche e loro inverse. Calcolo integrale Integrale di Riemann: definizione e significato geometrico. Criterio di integrabilità. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone*. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito di una funzione. Regole di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione, integrazione delle funzioni razionali. Integrali generalizzati: criteri di convergenza *. Applicazioni dell’integrale definito per il calcolo di aree e volumi. Cenni all formula di Taylor Polinomio di Taylor associato ad una funzione derivabile n volte. Resto n-esimo nella forma di Peano* e nella forma di Lagrange*. Le dimostrazioni concernenti gli argomenti contrassegnati con (*) possono essere omesse. Testi consigliati Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, (terza edizione interamente riveduta e ampliata) Bollati Boringhieri Editore - Torino Programma di Analisi Matematrica I a.a. 2008/09 A. Chinnì N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore Enrico Giusti, Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica Vol. 1, Bollati Boringhieri Editore - Torino Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di matematica Vol 1 (parti 1 e 2), Liguori Editore – Napoli F.Buzzetti, E.Grassini-Raffaglio, A.Masconi Ajroldi, Esercizi di Analisi Matematica 1, Masson Italia Editore S.Salsa, A.Squellati, Esercizi di Matematica (volume 1) Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli