Molti argomenti affascinanti non rientrano in un
determinato capitolo della Fisica, negli schemi tradizionali
(cinematica, dinamica, etc.) e neppure nelle fantasiose (e a
volte indecenti) suddivisioni di certi programmi ministeriali,
sicché non vengono proprio insegnati
e del resto non è detto che siano a conoscenza degli insegnanti
Eppure si tratta di questioni molto interessanti,
sopratutto dal punto di vista didattico,
perché aprono orizzonti,
e aiutano a una migliore comprensione di tutto il resto.
Uno di questi è il argomento leggi e superleggi, di cui si è
occupato Carlo Bernardini nel prezioso libretto
Che cos'è una legge fisica Editori Riuniti, Roma, 1983
Un altro riguarda il cosidetto approccio sistemistico, che insiste sulle
relazioni causa-effetto e sulle proprieta' matematiche di
queste relazioni, prescindendo dalla natura fisica degli oggetti
trattati
(lineare/nonlineare, statico/dinamico),
che conduce, fra l'altro, a stabilire stimolanti analogie e a porre problemi
metodologici di notevole interesse, in particolare quelli attinenti il quesito
post hoc, ergo propter hoc?
(esempio: diffusione dell’AIDS e diffusione dei PC negli anni ’80)
In questa problematica rientra la nozione di
impedenza
che è particolarmente significativa nei problemi di
trasferimento di energia fra due oggetti fisici (sorgente e carico)
perché scelte opportune delle impedenze in gioco
permettono di massimizzare il trasferimento di energia
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A che serve una leva? o il cambio di una automobile?
Sono dispositivi usati per adattare impedenze.
Che significa adattare l’impedenza? Vediamo un caso elettrico,
considerando un generatore Vo con resistenza interna Ro.
Collegando il generatore a un carico di resistenza R, nel circuito
scorrerà la corrente I = Vo/(Ro + R). E quindi la potenza assorbita dal
PI R
2
carico sarà:
Vo2 R
Ro R
2
Questa potenza si annulla quando R vale zero o infinito,
ma ha un massimo per
R = Ro
cioè quando le due impedenze sono uguali
e in tal caso diciamo che il carico è adattato alla sorgente
E se abbiamo un carico di resistenza data, che non è adattato?
Possiamo adattarlo (per una corrente alternata) usando un
trasformatore, disposto fra la sorgente e il carico. Questo dispositivo
trasferisce energia, idealmente senza perdite, fra i due avvolgimenti
che lo costituiscono,
modificando i rapporti fra la tensione e la corrente nel primario e nel
secondario.
I1
V1
I2 = I1/n
trasformatore V2 = nV1
pr
E quindi, idealmente, per qualsiasi carico R collegato al secondario,
presentando al primario la resistenza desiderata, in particolare Ro,
attraverso la scelta di un opportuno valore del rapporto spire n.
Proprio come una leva, scegliendone i bracci,
o come un cambio di velocità, scegliendone il rapporto,
permettono di ….
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Esempio 1. Colleghiamo una pila (V0, R0) a un
carico esterno
Si trova che la potenza erogata al carico esterno è
massima se la sua resistenza R è esattamente pari a R0
V
V0
tensione
potenza erogata
V0/2
I’ = I0/2
I0 = V0/R0
I
La potenza
erogata al
carico è
infatti P=VI,
dove
V = V0 – R0 I
da cui si
deduce
P = IV0 – I2R0
e quindi …
Esempio 2. Colleghiamo una cella solare a un
carico.
V
(la regola predente
cade in difetto,
ma perché?)
Qui è definita una
resistenza interna?
I
Per quale valore
della corrente si ottiene la potenza massima?
Cioè per quale resistenza del carico?
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In questo tipo di faccende rientra anche la nozione di
controreazione
(legge?, principio? idea?) di cui ci ora vogliamo occupare
Questo argomento viene generalmente trattato, forse sarebbe meglio
dire sfiorato, nei corsi universitari di Laboratorio del III anno a
Fisica.
Sicché si resta dell'idea che si tratti di qualcosa, un po' astruso, che
riguarda appunto solo l'elettronica e quindi da lasciare all'attenzione
degli specialisti di quel settore
Ma non è affatto così
La controreazione e dintorni (feedback, in inglese)
schema della presentazione che segue
• teoria semplificata
• storia di questa idea (anello al naso, Watt, Maxwell, Black)
• di nuovo sulla teoria:
- reazione negativa e reazione positiva
- applicabilità, vantaggi reali
(desensibilizzazione)
e presunti
- paradossi e ulteriori complicazioni
• la controreazione come schema progettuale: elettronica,
controlli, strumentazione fisica in generale
(sismografo, e altri strumenti)
• la controreazione come schema interpretativo nelle scienze
della natura (dal transistore all'effetto serra)
e nelle scienze sociali (sistema democratico, sistema
giudiziario, effetti controintuitivi ossia eterogenesi dei fini)
articolo su Didattica delle scienze (novembre 2004 e gennaio 2005)
http://www.roma1.infn.it/rog/pallottino/articoli%20divulgativi/Feedback.pdf
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Teoria elementare della controreazione
svolta considerando un amplificatore
(sta nei libri di testo di elettronica, per esempio nel cap. 8 delle dispense di
Elettronica http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/web_disp/d2/CD2a_web.html)
“errore”
Ve
ingresso
Vin
uscita
Vo
+
amplificatore
A
__
rete
β
Essendo
Vo = A Ve
e
Ve = Vin - β Vo
si ricava
Vo = A (Vin - βVo)
Pertanto il guadagno ingresso/uscita Vo /Vin è
AF = A/(1 +A)
che nel caso limite |1 +A| >> 1 diventa: AF ~ 1/
e allora si ha la desensibilizzazione totale: indipendenza da A
Risultato: l'amplificatore reazionato ha una amplificazione
minore di prima, ma e' meno sensibile alle variazioni dei
parametri dell'amplificatore interno (guadagno dei transistori, effetti
di temperatura, ecc.).
Questa proprietà deriva dalla presenza di un anello o ciclo (loop) dotato di
guadagno grande in valore assoluto rispetto all'unita'. Quanto maggiore è il
guadagno d'anello (A) tanto minore è il segnale d'errore, che rappresenta
lo scarto fra l'ingresso e la frazione dell'uscita (ovvero fra l'uscita e
l'uscita desiderata pari all'ingresso fratto ).
Fino al caso della desensibilizzazione totale, in cui appunto il segnale
d'errore si annulla.
E questo è, con ottima approssimazione, quanto avviene nei circuiti
impieganti amplificatori operazionali, e non solo.
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Un caso interessante è quello in cui =1,
sicchè AF a sua volta tende a 1 al crescere di A
Il sistema si chiama allora inseguitore (follower):
l'uscita tende (per A >>1) a una replica fedele dell'ingresso,
cioè lo ”insegue”
La controreazione è usata nei sistemi di controllo in
cui si vuole che una determinata grandezza fisica si
mantenga costante a un valore determinato
(regolazione) oppure segua una legge temporale
preassegnata (controllo)
Differenza essenziale fra controllo a ciclo chiuso e a ciclo aperto
esempio: il riscaldamento di una stanza
L’ìdea di fondo è quella di affidare l’azione effettiva
di comando (rappresentata da una forza, da una
tensione elettrica, ecc.) non al segnale d'ingresso, ma
alla dífferenza fra il segnale d'ingresso e quello
d'uscita (o una opportuna frazione dell'uscita)
così si compensa automaticamente qualsiasi effetto
che vada a modificare l'uscita in modo indesiderato
Un esempio fu dato da Robert Pease, progettista di circuiti
integrati presso la National Semiconductor. Si tratta dell'anello al
naso che un nostro ingegnoso progenitore, pur non avendo
frequentato il laboratorio del III anno, utilizzò per convincere un
bove riottoso a tirare un pesante carro. Qui l'azione esercitata sul
naso (forza applicata a questa parte assai sensibile dell'animale) e'
proporzionale alla differenza fra la posizione dell'estremo della
corda tirata dal conduttore e la posizione del bove, che e' poi
quella stessa del carro. Questo è un efficace esempio di follower.
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Un altro esempio spesso citato è la parte del Codice di Hammurabi
che riguarda il controllo dei flussi idrici per l'irrigazione.
Qui il sistema di controllo era assai semplice, ma anche
straordinariamente efficace: a chi sottraeva indebitamente acqua
alla collettivita' si tagliava la mano, così non l’avrebbe più fatto
Più recente e più noto è il regolatore di Watt, su cui non
mi soffermo perché sin troppo noto, ricordando soltanto
che l'idea risaliva in effetti a Huygens.
Il 1868 vede la prima analisi matematica di un
sistema di controllo a controreazione, svolta da
James Clerk Maxwell nel lavoro “On governors"
(reperibile nella raccolta "Mathematical trends in control theory"
a cura di R. Bellman e R. Kalaba, Dover, 1964).
In questo lavoro il grande fisico scozzese stabilisce
anche le condizioni per evitare l'instabilità del
sistema in termini del segno delle radici
dell'equazione differenziale del sistema,
ma non discute il concetto di controreazione.
Perchè questa idea venga alla luce esplicitamente e
con chiarezza, nella forma che conosciamo oggi,
bisogna aspettare gli anni '20 del secolo scorso
La vicenda e' interessante per vari motivi
telefonia interurbana: costosi cavi di
elettronici, distorsione e rumore di fondo
rame,
tubi
e l’inventore ce l’ha raccontata:
Harold S. Black
Inventing the negative-feedback amplifier
IEEE Spectrum, dicembre 1977
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Ancora sulla teoria
Ricordando che
AF = A/(1 + A)
è fondamentale la distinzione fra
reazione negativa
quando la frazione dell'uscita viene sottratta dall'ingresso
e allora il guadagno diminuisce
si ha infatti
|AF| < |A|
essendo
|1+A| > 1
e reazione positiva
(sciamano pellerossa)
quando la frazione dell' uscita viene sommata all'ingresso
e allora il guadagno aumenta
si ha infatti
|AF| > |A|
essendo
|1+A| < 1
Un caso estremo è quello per cui
1+ A = 0
e allora quanto vale AF ?
Si ha instabilità, cioè il sistema entra in oscillazione
(alla frequenza per cui la condizione di sopra è verificata)
E qualsiasi perturbazione cresce con legge
esponenziale, fino a che entrano in gioco le nonlinearità
(crescita dei conigli in Australia)
Di solito, in pratica, si cerca di realizzare condizioni di
reazione negativa
Ma le funzioni A e dipendono dalla frequenza, con un
andamento della fase che può arrivare a invertire il segno,
sicché può capitare che a certe frequenze (quelle che ci
interessano) si abbia reazione reazione negativa, ma ad
altre frequenze si abbia invece reazione positiva e magari
il sistema sia addirittura instabile ........ (effetto Larsen)
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Il problema dell'instabilità fu risolto nel 1932 dal
matematico Harry Nyquist con una analisi nel
dominio della frequenza
In sintesi, semplificando:
dato che ad alta frequenza intervengono sempre effetti che
provocano rotazione di fase in ritardo (/2 per ogni
costante di tempo), occorre che a queste frequenze vi sia
attenuazione sufficiente a rendere trascurabile questi
contributi. Cioè l'anello A , nel suo complesso, deve
attenuare fortemente prima che sfasare i segnali.
Di solito queste analisi si svolgono nel dominio della
frequenza, ma è molto istruttivo studiare il problema della
stabilità dei sistemi reazionati nel dominio del tempo
E allora si trova che il ritardo lungo l'anello di
reazione non deve eccedere una data frazione del
tempo di salita
in modo che il segnale di reazione arrivi in tempo per
esercitare la sua azione correttiva. Altrimenti arriva
in ritardo, con effetti addirittura opposti.
La situazione peggiora al crescere del numero di costanti di tempo del
sistema, per come si compongono questi tempi caratteristici
Ma peggiora ancora di piu' se il sistema contiene elementi di ritardo puro
Del resto, che succede regolando l'acqua della
doccia?
O quando un qualsiasi provvedimento di legge
arriva in ritardo?
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Vantaggi della controreazione
• allargamento della banda passante
• linearizzazione della caratteristica di risposta
• riduzione dei disturbi
Ma sono tutti riconducibili al fenomeno della
desensibilizzazione per cui AF dipende sempre
meno da A all'aumentare di |A| dato che tende a
1/
dove la rete è generalmente passiva, comunque
sotto il pieno controllo del progettista
A volte poi si scopre che si tratta di vantaggi
presunti!
(nonostante quello che si legge in alcuni libri)
per esempio
la controreazione allarga la banda solo in certi casi
particolarmente semplici, altre volte la restringe o
addirittura provoca oscillazioni indesiderate
la controreazione riduce solo certi disturbi, come la
distorsione, e non altri (come il rumore di fondo)
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Complicazioni e paradossi
Si incontrano spesso difficoltà a rappresentare un
circuito in termini di controreazione, suddividendolo
fra la parte che costituisce l'amplificatore A
e la rete di reazione
Come pure si arriva a paradossi,
quando si pretende di interpretare certi oggetti
in termini di controreazione
Consideriamo il partitore resistivo,
con funzione di trasferimento
R’ / (R + R’)
che possiamo riscrivere nella forma
(R'/R) / (1 + R'/R)
R
R’
Interpretiamo il partitore come un sistema a
controreazìone con A = R'/R e = 1 (follower) e
dunque AF scritta sopra
Notate che il "guadagno" è maggiore dell'unità se
R' > R e che la dose di reazione negativa aumenta
con 1 + R’/R
Avremo poi un 'follower" perfetto se
R tende a zero
R’ tende all’infinito
cioè se il partitore si riduce a un filo conduttore fra
l'ingresso e l'uscita ...............
Mishkin-Braun Adaptive Control Systems (McGrawHill, 1961)
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la controreazione come schema progettuale
prezioso in elettronica, nei controlli automatici,
e nella strumentazione fisica in generale
dal sismografo al microscopio a effetto tunnel
Come funziona un sismografo?
si usa una massa "libera" che, giustamente, quando
arriva il terremoto resta ferma mentre tutto il resto si
muove. Quindi la massa "si muove" rispetto al resto
E questo suo moto noi misuriamo.
In realtà la massa non si muove quasi per nulla: un
rivelatore di spostamento comanda un attuatore che la
tiene ferma in un controllo a controreazione
E il segnale che noi leggiamo è quello di feedback, che
comanda l'attuatore
E il microscopio a effetto tunnel?
Una punta metallica sottilissima si sposta trasversalmente,
a piccolissima distanza dalla superficie del corpo esplorato.
Fra la punta e il corpo (conduttore) scorre
una corrente elettrica (per effetto tunnel) che
dipende esponenzialmente dalla distanza.
Mentre la punta (freccia verticale) viene
spostata orizzontalmente (freccina orizzontale)
rispetto alla superficie, la corrente varia, ma un sistema a
controreazione muove la punta verticalmente, in modo che la
corrente resti costante, e la punta si mantenga a distanza costante
Anche qui il segnale che si legge, cioè quello che rappresenta
il profilo in altezza della superficie del materiale, è il segnale
di feedback, che comanda la punta nel suo moto verticale in
modo che si mantenga a distanza fissa dalla superficie
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La controreazione come prezioso schema
interpretativo di una varietà di fenomeni nelle
scienze della natura come nelle scienze sociali
Di questo si rese conto, fra i primi, Norbert Wiener,
il fondatore della cibernetica,
interpretando in termini di controreazione anche atti
elementari dell'uomo come prendere un oggetto
A proposito della guida degli autoveicoli, per esempio,
Wiener scrisse quanto segue:
.... quando guido un'automobile, io non seguo una serie di comandi
subordinati semplicemente all'immagine mentale della strada e del
compito che sto eseguendo. Se mi accorgo che l'auto devia
eccessivamente sulla sinistra, ciò mi costringe a riportare la
macchina sulla destra, e se invece vedo che la macchina devia
troppo sulla destra, sarò costretto a riportarla sulla sinistra. Ciò ...
mi permette di guidare quasi con la stessa padronanza un'utilitaria
e un autocarro pesante, pur senza aver fatto pratica particolare di
guida di ciascuno dei due autoveicoli... .
Interpretazione analoga Wiener diede anche per certi disturbi
fisici dell'uomo, come la perdita di capacita' di controllo dei
movimenti, conseguente all'interruzione della trasmissione
d'informazione nei circuiti del sistema nervoso.
Sappiamo del resto che molti fenomeni che si verificano nel corpo
umano sono riconducibili a uno schema a controreazione.
Pensiamo per esempio al sistema di regolazione della temperatura
del sangue, che mantiene questa grandezza a 37 gradi, entro una
modesta frazione di grado, anche quando la temperatura esterna
varia di parecchie diecine di gradi.
Pensiamo anche a malattie, come il diabete, che derivano dalla perdita di capacità di
controllo, da parte dell’organismo, della produzione di determinate sostanze,
che si possono curare con una somministrazione controllata di tali sostanze, cioè
chiudendo dall'esterno il loop di reazione.
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Tornando alla fisica, si può discutere in termini
di controreazione il riscaldamento globale per
effetto serra.
Qui le grandi disparità fra i risultati ottenuti dai diversi
gruppi di ricerca (di quanto aumentera' la temperatura
alla fine del secolo? Di quanto si innalzera' il livello degli
oceani?) si spiegano soltanto in base alla straordinaria
complessità del problema, dove intervengono fenomeni
interpretabili in termini di reazione positiva
(per esempio la fusione dei ghiacci artici)
e negativa
(per esempio l’assorbimento di biossido di carbonio negli
oceani),
ciascuno di entita' assai difficilmente valutabile, ciascuno
con effetti dinamici però su scale di tempo assai diverse
(risposte ritardate), ...
Considerazioni interessanti anche nelle scienze sociali
(vedi anche
www.roma1.infn.it/rog/pallottino/Arianna.html)
E' istruttivo, per esempio, interpretare il funzionamento
del sistema giudiziario in termini di controreazione. Qui la
disfunzione del controllo (nell'applicazione delle sanzioni
alle violazioni delle leggi) e' evidenziata dal ritardo con cui
il sistema agisce. E abbiamo appena visto che i ritardi
provocano instabilità......
L'economia, liberismo, Adamo Smith, tutto si aggiusta e si equilibra.
Fenomeni di reazione positiva (videoregistratori).
Anche il sistema democratico puo' venire esaminato così. Il segnale di
reazione? L'informazione? I tempi di campionamento.
Le inerzie naturali dei sistemi politico-sociali.
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Un aspetto affascinante riguarda l’eterogenesi dei fini
cioè le conseguenze non intenzionali, e spesso indesiderate,
dei comportamenti dell'uomo: un fenomeno gia' intuito da
Giovambattista Vico, esaminato da Joseph De Maistre (come
troviamo nel volume De Maistre di Domenico Fisichella
(Laterza, 1993) e posto in evidenza da Karl Popper, che
scrive addirittura “ Il compito principale delle scienze sociali
teoriche ... consiste nel delineare le ripercussioni sociali non
intenzionali che seguono alle azioni umane intenzìonali" in
Congetture e confutazioni (Il Mulino, 1972).
Di che si tratta? Consideriamo una legge, che venga
promulgata per un determinato obiettivo. Questa, forse,
raggiungerà il suo scopo, ma certamente avrà anche altri
effetti, desiderati e non, a breve e lungo termine.
Questo tipo di problemi e' stato studiato in dettaglio da Jay
Forrester del MIT quando, dopo aver inventato le memorie
a nuclei di ferrite, decise di occuparsi di dinamica dei
sistemi: prima le aziende, poi le città e infine il mondo intero
(dagli studi di Forrester derivano i lavori di simulazione globale, sviluppati
attorno al 1970 per conto del Club di Roma, noti come "limiti dello
sviluppo”)
Forrester, nello studio dell'evoluzione delle città in Usa
(ghetti urbani), si occupa di quello che egli chiama il
comportamento controintuitivo dei sistemi sociali, e conclude che
... una linea politica che dia luogo a miglioramenti sull'arco di
qualche anno generalmente è tale da provocare una degradazione del
sistema a più lunga scadenza. Questa circostanza è particolarmente
ingannevole giacché il breve termine è più visibile ......
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