Esercitazione 5

Esercitazione 5
Biagio Provinzano
Maggio 2005
In questa esercitazione vedremo la reazione negativa dal punto di vista dell’inquadramento della topologia della reazione stessa per poi procedere successivamente all’analisi (guadagno d’anello, ecc). Consideriamo il circuito in Figura
1 con i seguenti dati: R = 1kΩ, R1 = 4kΩ, R2 = 6kΩ, R3 = 100Ω, VA = ∞,
β = 100, VBE = 0.7V per il transistor npn in zona attiva, l’operazionale ha
guadagno d’anello A e per il resto è da considerarsi ideale.
Figura 1: Circuito con amplificatore operazionale e un transistor bipolare in
cascata
Si richiede di calcolare (si consideri inizialmente A = ∞):
1. il punto di lavoro del circuito
2. il segno della reazione
3. ponendo C = 0 e spegnendo il generatore v1 , il guadagno di piccolo segnale
ed in media frequenza Av2 = vvo2 , una volta identificata la topologia di
reazione
1
4. ponendo C = 0 e spegnendo il generatore v2 , il guadagno di piccolo segnale
ed in media frequenza Av1 = vvo1 , una volta identificata la topologia di
reazione
Per il punto di lavoro si ottiene:
V+
V+
I2R
Vo
IE
= 1V
= V−
1V
=
= 0.5mA
2kΩ
= 2I2R R + V− = 2V
Vo
=
+ I2R = 1mA
R1
40mA
β
= 2.5kΩ
, rπ =
V
gm
IC
' IE = 1mA −→ gm =
VC
VB
= 15V − R2 IC = 9V
= VE − 0.7V = 2.7V < VC
dove si è applicato il principio di corto circuito virtuale, si è considerata nulla la
corrente di base del transistor ed inoltre si è verificata la zona attiva (VB < VC ).
Se si prova ad interrompere il loop all’uscita dell’operazionale e si ipotizza di variare positivamente tale nodo di tensione, aumenta la tensione baseemettitore, cresce la corrente di emettitore, cresce la tensione di uscita, aumenta
la tensione dell’ingresso invertente, per cui l’uscita dell’operazionale in anello
aperto tende a diminuire in controtendenza ripetto all’ipotesi di partenza.
vb ↑
=⇒ ie ↑
=⇒ vo ↑
=⇒ v− ↑
=⇒ vb ↓
Osservazione 1 Si osservi che se avessimo campionato l’uscita in tensione
sul collettore del transistor avremmo realizzato una reazione positiva (doppia
inversione di segno).
Analizziamo ora i guadagni di piccolo segnale distinguendo tra una topologia
parallelo-parallelo (campiono tensione e confronto corrente) ed una topologia
serie-parallelo (campiono tensione e confronto tensione), rispettivamente per il
calcolo di Av2 = vvo2 e Av1 = vvo1 . A tal fine conviene trasformare nella forma di
Norton l’ingresso di tensione sul morsetto invertente, come mostrato in Figura
2. Come secondo passo identifichiamo le due reti passive di controreazione,
rispettivamente la resistenza 2R tra il morsetto invertente e l’uscita (reazione
parallelo-parallelo), ed il partitore resistivo 2R − 2R tra l’uscita e l’ingresso
invertente (reazione serie-parallelo). Quindi i rispettivi fattori β risultano
βV
=
βG
=
v−
2R
1
=
=
vo
4R
2
if
1
=−
vo
2R
2
Figura 2: Conversione dell’ingresso dalla forma di Thevenin alla forma di Norton, per inquadrare correttamente la topologia di reazione al fine di calcolare
v2
Av2 = vvo2 . La corrente i2 risulta uguale 2R
.
Per procedere più speditamente nell’analisi, con riferimento alla Figura 3, osserviamo che il transistor in questione presenta un guadagno di tensione
vo
R3
1
+
0 ' 1 se (R1 k R22 ) À
vo
β + 1 gm
(1)
dove R22 è la resistenza che si introduce in parallelo all’uscita (in entrambi i
casi in questione) quando si apre l’anello e si valuta il guadagno della sola rete
amplificatrice. Rispettivamente nei due casi otteniamo1
(p−p)
R22
(s−p)
R22
= 2R → in parallelo all’ingresso
= 2R + 2R = 4R → in parallelo all’uscita
per cui è verificata la (1) con R = 1kΩ.
La rete di controreazione definisce anche le resistenze in ingresso che devono
essere introdotte nella rete amplificatrice2
(p−p)
R11
(s−p)
R11
= 2R → in parallelo all’ingresso
= 2R k 2R = R → in serie all’ingresso
per cui i rispettivi guadagni in anello chiuso risultano essere
³ ´
vo
µ ¶
i2
vo
−AR
AR
¡ 1 ¢
³ ´=
=
=−
Af =
i2 f
1 + − 2R (−AR)
1 + A2
1 + β G vi2o
³ ´
¡ A¢
vo
µ ¶
A
+
v+
vo
³
´
¡ 1 ¢2¡ A ¢ = 2 A
Af =
=
=
vo
v+ f
1+ 2 +2
1+ 4
1+β
V
v+
(p−p)
(s−p)
1R
viene vista dal’uscita cortocircuitando l’ingresso invertente, mentre R22
viene
22
vista dall’uscita aprendo la maglia di ingresso ovvero disconnettendo l’ingresso invertente.
2 R(p−p) viene vista dall’ingresso cortocircuitando l’uscita, mentre R(s−p) viene vista
11
11
cortocircuitando l’uscita ed aprendo la maglia di ingresso.
3
Figura 3: Parte di circuito riguardante il transistor che opera come emitter
follower
da cui per A → ∞ si ottengono i guadagni desiderati
vo
v2
vo
v1
ricordando che i2 =
v2
2R ,
v+ =
= −1
= +1
v1
2 .
Osservazione 2 Molto più rapidamente, una volta osservato che il transistor
funge da inseguitore di tensione per l’uscita dell’operazionale, si riconoscono
facilmente le configurazioni rispettivamente invertente e non invertente da cui
si ricavano le espressioni sopra riportate.
Ora si richiede di calcolare (si consideri A = 100 e si assuma lo stesso punto
di lavoro):
1. ponendo C = 0, determinare il guadagno d’anello Gloop per piccolo segnale
ed in media frequenza
2. si può ritenere valida l’approssimazione |Gloop | À 1?
3. ponendo C = 0, determinare la resistenza d’uscita in presenza di reazione
Rof per piccolo segnale ed in media frequenza
4. ponendo C = 0, determinare la resistenza d’ingresso in presenza di reazione
Rin2 per piccolo segnale ed in media frequenza
5. ponendo C = 0, determinare la resistenza d’ingresso in presenza di reazione
Rin1 per piccolo segnale ed in media frequenza
4
6. ponendo C = 100pF , determinare il guadagno d’anello Gloop per piccolo
segnale ed in media frequenza
Per il calcolo del Gloop si faccia riferimento alla Figura 4, dove si è interrotto
l’anello partendo dalla base del transistor. Ci si deve curare di collegare alla
fine del loop l’opportuna impedenza (al fine di non perturbare la rete) vista
dall’ingresso, ovvero dalla base che è il nostro punto di partenza. Quindi per
passaggi successivi si ottiene
v0
=
v 00
=
v 000
vy
R1 k 4R
vx ' vx
R1 k 4R + g1m
1 0
v
2
= −Av 00
rπ + (β + 1)(R1 k 4R)
=
v 000 ' v 000
R3 + rπ + (β + 1)(R1 k 4R)
da cui si ricava
Gloop =
vy
A
= − = −50 =⇒ |Gloop | À 1
vx
2
Figura 4: Anello di controreazione interrotto ed opportunamente modificato per
il calcolo del Gloop
5
Per le resistenze di uscita in presenza di feedback per entrambi i casi facciamo
riferimento alla seguente formula
Rof =
Ro
1 − Gloop
quindi nei due casi si ottiene una diminuzione dell’impedenza di uscita grazie
alla controreazione negativa. La resistenza Ro si ottiene guardando l’uscita della
rete amplificatrice senza più l’anello:
Ro(p−p)
Ro(s−p)
R3
1
k 2R '
+
β + 1 gm
R3
1
= R1 k
k 4R '
+
β + 1 gm
= R1 k
R3
1
+
β + 1 gm
R3
1
+
β + 1 gm
quindi
Rof '
R3
β+1
1
gm
A
2
+
1+
26Ω ∼
∼
=
= 0.5Ω
51
Osservazione 3 Ovviamente la resistenza di uscita del circuito in esame non
può dipendere dall’ingresso e quindi non deve dipendere dal tipo di topologia
scelta per inquadrare il problema. Questa apparente ambiguità dipende dal fatto che la teoria della controreazione maneggiata da noi (ci sono delle ipotesi
semplificative a riguardo) non è abbastanza raffinata da rimuovere queste inesattezze. Ciò vale in certi casi anche per il calcolo della resistenza di ingresso
in anello chiuso, se pensiamo di prelevare l’uscita in un altro punto del circuito.
Per la resistenza vista dall’ingresso v2 si deriva
Rif
Rif
Rin2
Ri
2R k 2R
=
' 20Ω −→ resistenza vista da i2
1 − Gloop
1 + A2
= 2R k R∗ −→ R∗ ' 20Ω
= 2R + R∗ ' 2R = 2kΩ −→ resistenza vista da v2
=
Per la resistenza vista dall’ingresso v1 si deriva
Rin1 = 2R = 2kΩ
Osservazione 4 E’ interessante osservare che la reazione negativa, il cui effetto è quello di forzare il nodo v− ad inseguire il terminale v+ , presenta al
segnale una resistenza di ingresso molto bassa. Mentre sappiamo che entrando
nell’operazionale, a valle dei nodi v− e v+ , si sperimenta una resistenza molto
alta.
Inserendo la capacità C tra base e collettore del transistor cambia il calcolo
del Gloop , come si osserva dalla Figura 5 nella quale è stata già considerato
6
l’effetto Miller per la capacità in questione. Poichè il guadagno Miller risulta
uguale a
vc
gm R2
R2
kC =
=−
'−
= −3
vb
1 + gm (R1 k 4R)
(R1 k 4R)
da cui si ottiene
C1
C2
= C(1 − kC ) = 4C = 400pF
1
= C(1 −
) ' 1.33C = 133pF
kC
è possibile procedere al calcolo del Gloop (ω) come segue
Figura 5: Circuito modificato per l’analisi del Gloop comprendente la capacità
C moltiplicata per effetto Miller
7
v0
=
v 00
=
v 000
vy
R1 k 4R
vx ' vx
1
R1 k 4R + g1m + sC1 (β+1)
1 0
v
2
= −Av 00
=
=
'
1
sC1
R3 +
k [rπ + (β + 1)(R1 k 4R)]
1
sC1
1
sC1
k [rπ + (β + 1)(R1 k 4R)]
k 204.5kΩ
1
sC1
v 000 =
v 000
204.5kΩ
v 000
(R3 + 204.5kΩ) [1 + sC1 (R3 k 204.5kΩ)]
R3 +
k 204.5kΩ
1
v 000 , dove τ = C1 R3 = 40ns poichè R3 ¿ 204.5kΩ
1 + sτ
quindi infine
Gloop =
vy
A 1
50
=−
=−
−→ singolo polo con fH = 25M Hz
vx
2 1 + sτ
1 + sτ
8