PROGRAMMA in evoluzione (a.a. 2010 - 2011)
Mar. 26-10
Presentazione del corso e panoramica su argomenti essenziali. Rette nel piano. Equazione (cartesiana) di una
retta. Studio mediante la tabella. Coefficiente angolare. Vettori geometrici. Vettore direttore di una retta. Somma
di vettori geometrici. Moltiplicazione di un vettore per un numero. Vettore perpendicolare a un dato vettore
geometrico. Traslazione di una retta al variare del termine noto c dell'equazione ax+by+c=0.
Gio. 28-10
Allineamento di punti. Equazione cartesiana di una retta passante per due punti, o passante per un punto e
parallela a un vettore. Scrittura sintetica tramite il "determinante" di ordine 2. Matrici. Forma parametrica di una
retta. Lunghezza di un vettore geometrico. Versori e normalizzazione. Coseni direttori. Giacitura (la retta
parallela a una data retta, che passa per l'origine).
Ven. 29-10
Esercizi vari. Distanza di un punto da una retta. Punto mobile (punto parametrico) e suo utilizzo in vari
problemi. Distanza tra due punti. Fasci (propri) di rette. Utilità del doppio parametro al posto di uno solo.
Modifica dell'equazione generale di una retta mediante condizioni (ad es. il passaggio per un punto).
Gio. 04-11
Punto medio. Sistemi lineari: risoluzione con riduzione a scala (metodo di Gauss). Vettori numerici. Modifica
delle righe della matrice di un sistema, utilizzando altre righe o moltiplicando la riga per un numero. Uso dei
parametri. Sistemi impossibili (l'ultimo gradino è sulla colonna dei termini noti). Interpretazione geometrica per
sistemi in due incognite (posizioni varie di rette).
Ven. 05-11
Esercizi vari sulla riduzione a scala. Operazioni elementari e loro validità logica. Somma di vettori numerici
(somma di ciascuna componente). Moltiplicazione di un vettore numerico per un numero (tutte le componenti
vengono moltiplicate per esso). Combinazione lineare di equazioni e dei corrispondenti vettori numerici.
Dipendenza lineare. Essa equivale al poter esprimere un vettore come combinazione lineare degli altri. Ricerca
di eventuali dipendenze lineari, mediante un sistema. Sistemi lineari omogenei e soluzione banale garantita (oltre
a eventuali altre soluzioni). Vettori geometrici relativi agli assi. Uso del determinante per sistemi lineari di
ordine 2 (cenno).
Mar. 09-11
Spazi vettoriali. Sottospazi. Spazi R^n. Affinché un insieme sia un sottospazio di un dato spazio vettoriale V,
basta che esso sia chiuso rispetto alla somma e al prodotto (con scalari) definiti in V (dunque non occorre
verificare gli 8 assiomi di spazio vettoriale). Sottospazio generato da alcuni vettori. Inutilità di un vettore che sia
combinazione lineare degli altri. Sottospazio costituito dalle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
Interpretazione geometrica nel caso di un’equazione in due incognite (i sottospazi sono le rette passanti per
l’origine). Nel caso di sistemi non omogenei, non si ottiene un sottospazio. Somma di matrici; moltiplicazione di
una matrice per un numero. Esempi di spazi vettoriali (vettori geometrici applicati ad es. in O, polinomi di grado
limitato o tutti i polinomi, matrici di tipo fissato).
Gio. 11-11
Basi, cioè insiemi di generatori linearmente indipendenti. Proprietà equivalente per una base (insieme
minimale di generatori o massimale di vettori linearmente indipendenti). Coordinate di un vettore rispetto a una
base fissata. Base canonica di un fissato spazio R^n. Non ha senso parlare di coordinate se non si ha una base o
se il vettore è esterno al sottospazio. Teorema della dimensione (il numero di vettori di una base è costante, in un
dato spazio vettoriale, cenno della dimostrazione). Vettori proporzionali (sono solo due, quindi sono linearmente
dipendenti, e viceversa).
Ven. 12-11
Esercizi vari sui sistemi lineari, sui sottospazi e sulle basi. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare
omogeneo in n incognite è un sottospazio di R^n (idea della dimostrazione, sfruttando la distributività nelle
equazioni). Il "sottospazio generato da alcuni vettori" è effettivamente un sottospazio (è chiuso rispetto alla
somma, ecc.). Calcolo di una base del sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. Riduzione a scala per
eliminare vettori superflui e trovare una base a partire da un insieme di generatori (formalizzeremo meglio
questa procedura, più avanti). Scrittura di un sistema mediante una matrice e vettori verticali. Approfondimento
sulle relazioni di equivalenza.
Mar. 16-11
Unicità delle coordinate di un vettore rispetto a una base. Matrici e loro prodotto. Trasposta. Matrice identità
I_n. Matrici simmetriche. Matrici diagonali. Il prodotto di matrici non nulle può essere nullo. Il prodotto non è in
generale commutativo. La matrice identità si comporta come il numero 1 per il prodotto dei numeri reali. I
vettori sono particolari matrici (con una sola riga, o con una sola colonna se scritti verticalmente). Scrittura di
equazioni mediante il prodotto di una matrice (l'incompleta) e un vettore-colonna costituito da incognite. Rango
di una matrice, per piloni. Teorema (cenno della dim.): il numero di piloni non dipende dalla procedura
utilizzata per ridurre a scala la matrice; tale numero è, infatti la dimensione del sottospazio generato dalle righe
della matrice, sia iniziali che finali (le operazioni elementari producono vettori ancora all'interno del sottospazio
iniziale, ed esse possono sempre essere invertite, quindi il sottospazio finale è contenuto e contiene quello
iniziale - è dunque uguale). Un sistema lineare è impossibile precisamente quando il rango della matrice
incompleta è diverso da quello della completa. Se invece è uguale, sottraendolo dal numero di incognite si
ottiene il numero di parametri.
Gio. 18-11
Rango per righe e per colonne. Teorema di Rouché-Capelli (rango definito per piloni, o per righe, o per
colonne). Determinante; teorema di Laplace per il calcolo. Esempi vari. Complementi algebrici. Matrici
triangolari e loro determinante.
Ven. 19-11
Esercizi vari. Proprietà principali del determinante. Calcolo di determinanti mediante la riduzione a scala
(ottenendo quindi matrici triangolari). Regola di Sarrus. Teorema di Binet. Annullamento di determinanti
dipendenti da parametri. Dipendenza lineare di vettori in uno spazio di dimensione minore del loro numero
(risoluzione generale - cenno, nello stesso spirito di un precedente teorema sulla dimensione - e risoluzione
rigorosa mediante un sistema omogeneo che ha risposta parametrica (dunque dà soluzioni non banali per i
coefficienti).
Mar. 23-11
Dimostrazione del teorema di Rouché-Capelli mediante il rango per colonne (se il sistema è risolubile, e solo
in quel caso, la colonna dei coefficienti è una combinazione lineare delle colonne della matrice incompleta). Le
soluzioni di un sistema lineare omogeneo formano un sottospazio: dimostrazione della chiusura rispetto alla
somma, mediante la distributività del prodotto di matrici. Associatività del prodotto di matrici (senza dim.).
Matrici inverse e loro calcolo. Risoluzione di un sistema quadrato mediante la matrice inversa dell'incompleta
(purché il determinante non sia nullo).
Gio. 25-11
Il calcolo della matrice inversa conduce effettivamente a una matrice che, una volta moltiplicata per quella
iniziale, dà l'identità (grazie alle proprietà del determinante). Formula di Cramer, esplicita, per la risoluzione di
sistemi quadrati con determinante non nullo. Formula di Cramer generale, con parametri. Sottomatrici, minori,
orli. Rango per minori e sua equivalenza col concetto di rango per piloni (o per righe, o per colonne). Teorema
degli orlati. Risoluzione di un sistema eliminando opportune equazioni (quelle che sono combinazioni lineari di
altre) e/o trasformando alcune incognite in parametri, dopo aver identificato un minore non nullo di ordine
massimo per il rango dalla matrice incompleta (che deve essere uguale a quello della completa); otteniamo così
un'alternativa al metodo della riduzione a scala.
Ven. 26-11
Esercizi vari sui sistemi lineari e sul rango. Discussione di sistemi parametrici utilizzando soprattutto il
teorema di Rouché-Capelli nella versione col rango per minori (qui infatti la riduzione a scala non è sempre il
metodo migliore). Ogni discussione consiste nel determinare i valori del parametro (da cui dipende il sistema)
che danno luogo a soluzioni, specificando poi il grado di libertà del relativo sistema (infinito alla 1, alla 0, ecc.).
Studio del rango di matrici (non necessariamente provenienti da sistemi) al variare di un parametro, anche con
l'ausilio del teorema degli orlati.
Mar. 30-11
Geometria nello spazio. Rappresentazione di punti e di vettori in un sistema di riferimento tridimensionale.
Rappresentazione di piani, a partire da una data equazione lineare in tre incognite. Piani particolari (nelle
equazioni mancano alcune incognite). I piani passanti per l'origine sono sottospazi di dimensione 2 di R^3.
Conoscendo una loro base è possibile disegnarli e avere un'idea della pendenza. La quota è invece legata al
termine noto. Costruzione dell'equazione cartesiana di un piano a partire da tre punti per cui esso passa, o a
partire da due punti e un vettore ad esso parallelo. Equazione generale di un piano e suo utilizzo per la soluzione
di esercizi. Un dato piano può essere interpretato come il grafico di una funzione (molto semplice) da R^2 a R^1.
Gio. 02-12
Equazioni cartesiane di una retta (intersezione di due piani). Determinazione di tali equazioni per una retta che
passa per due dati punti o passa per un punto ed è parallela a un dato vettore. Parallelismo e coincidenza di piani.
Parallelismo retta-piano. Retta contenuta in un piano (il relativo sistema ammette infinite soluzioni).
Parallelismo tra un vettore e una retta o un piano (annullamento dell'equazione della giacitura). Equazioni
parametriche di una retta. Vettore direttore e suo calcolo, anche mediante la regola dei tre minori di ordine 2.
Ven. 03-12
Esercizi vari. Fasci propri di piani e loro utilizzo per determinare piani contenenti rette e con ulteriori
proprietà. Passaggio da equazioni cartesiane a parametriche, e viceversa, per una retta. Equazioni cartesiane di
una retta che interseca due date rette e passa per un dato punto. Posizioni mutue di due rette (4 casi, relativi alle 4
possibilità per il rango dell'incompleta e della completa del sistema di 4 equazioni in 3 incognite: rette
coincidenti, incidenti, parallele, sghembe cioè non complanari).
Mar. 07-12
Discussione di sistemi con interpretazione geometrica. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore.
Prodotto scalare e sua relazione con il coseno dell'angolo tra vettori. Angoli ottusi e prodotto scalare negativo.
Vettori ortogonali e prodotto scalare nullo. Vettore normale a un piano e suo utilizzo per calcolare l'angolo tra
piani. L'angolo tra due rette è invece calcolabile, semplicemente, come angolo tra due relativi vettori direttori.
Gio. 09-12
Proiezione ortogonale vettoriale. Coefficienti di Fourier. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio
di dimensione 2 (mediante una sua base ortogonale, decomponendo la proiezione in somma delle due proiezioni
sui rispettivi vettori della base). Esercizi vari su piani paralleli, vettori normali, rette perpendicolari a piani.
Ven. 10-12
Esercizi vari. Angolo tra retta e piano. Utilizzo di fasci impropri di piani (ricerca del piano parallelo a un dato
piano e passante per un punto). Distanza punto-retta (non esiste una formula semplice, quindi utilizziamo un
piano perpendicolare alla retta e passante per il punto, ecc.). Distanza punto-piano e analogo bidimensionale
(distanza punto-retta nel piano euclideo). Vettore normale a un sottospazio definito da una sola equazione: è il
vettore (a,b), (a,b,c), (a,b,c,d), ecc. Distanza tra rette parallele. Distanza tra rette sghembe. Retta che interseca
due rette sghembe in corrispondenza della minima distanza (retta perpendicolare a entrambe e incidente).
Mar. 14-12
Componente ortogonale di un vettore rispetto a un sottospazio. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Costruzione di una base ortogonale a partire da un sottospazio di cui sono note le equazioni cartesiane.
Costruzione di equazioni di un sottospazio a partire da una sua base. Equazioni del sottospazio ortogonale a un
dato sottospazio. Prodotto vettoriale e calcolo di aree di triangoli nello spazio (in due dimensioni occorre
annullare la terza componente).
Gio. 16.12
Funzioni. Immagine, controimmagine, dominio, codominio. Simboli vari, attinenti alle funzioni. Applicazioni
(o "funzioni") lineari. Esempi di applicazioni non lineari. Definizione di un'applicazione lineare tra spazi R^c
mediante una matrice. Il prodotto tra la matrice e il vettore x delle variabili equivale al calcolo di f(x). Iniettività,
suriettività, biiettività.
Ven. 17-12
Definizione generale di applicazione lineare. La matrice di una tale applicazione ha, per colonne, le immagini
ordinate di ciascun vettore di una base fissata nel dominio, scritte nelle coordinate di una base fissata nel
codominio. Nucleo di un'applicazione lineare. Composizione di applicazioni lineari e corrispondente prodotto di
matrici. Invertibilità di un'applicazione lineare e relativa matrice inversa. Autovettori, autovalori e loro calcolo
mediante il polinomio caratteristico. Il nucleo è costituito precisamente dagli autovettori il cui autovalore è 0
(oltre al vettore nullo).
Mar. 11-01-11
Cambiamento di coordinate, da una base a un'altra. Matrice del cambiamento di coordinate. Diagonalizzazione
di applicazioni lineari mediante il cambiamento di coordinate riferito agli autovettori. Utilizzo più generale delle
matrici del cambiamento di coordinate, nel dominio o nel codominio (o in entrambi gli spazi).
Gio. 13-01
Nozioni basilari sull'ellisse. Equazione canonica di un'ellisse. Rotazione di un'ellisse mediante un
cambiamento di coordinate. Calcolo di autovettori di una matrice opportuna (quella relativa ai monomi di grado
2 di un dato polinomio) e rotazione conseguente, per trasformare un'equazione nella forma canonica di un'ellisse.
Ven. 14-01
Nozioni basilari sull'iperbole. Definizioni di ellisse ed iperbole mediante i due fuochi (le frasi sono molto
simili) o mediante un fuoco e la direttrice (fissando l'eccentricità). Coniche come sezioni di un cono infinito.
Parabola come opportuna sezione di un cono. Circonferenza. Rotazione del riferimento per ottenere la forma
canonica di un'iperbole a partire da un polinomio di grado 2 (ancora senza monomi di primo grado). Teorema
spettrale. Matrici ortogonali.
Mar. 18-01
Nozioni basilari sulla parabola. Rotazione del riferimento al fine di studiare le caratteristiche di una data
parabola. Nuove e vecchie coordinate del vertice o di altri punti. Nuove e vecchie equazioni della direttrice (o di
altre entità). Traslazione del riferimento. Somma di sottospazi (sottospazio generato dall'unione dei generatori).
Intersezione di sottospazi e formula di Grassmann.
Gio. 20-01
Matrice di ordine 3 relativa a una conica. Calcolo del centro di un'ellisse o di un'iperbole. Traslazioni. Sfera.
Descrizione generale delle quadriche (polinomi di grado 2 in tre incognite). Approfondimenti su applicazioni
lineari generali.
Ven. 21-01
Aggiunte finali e approfondimenti vari. Esercizi vari. Circonferenza nello spazio (intersezione di una sfera e
un piano). Equazioni parametriche di sottospazi. Coefficienti di Fourier come coordinate rispetto a una data base
ortogonale. Scrittura dell'equazione canonica di una conica mediante gli autovalori e l'invarianza del
determinante di ordine 3 (esempio dell'iperbole). Esercizi sul cambiamento di coordinate, sulla rotazione di
coniche, sugli autovettori.
Esercizi assegnati e argomenti del testo consigliato:
Libro di testo (compresi gli esercizi nei relativi paragrafi):
Abbiamo analizzato tutti gli argomenti essenziali del testo.
Esercizi vari (dr. Vietri, prefisso “V” sottinteso):
Tutti (gli esercizi sulle coniche, per ultimi).
NOTA: nel V19,2 la soluzione è infinito alla 0, non alla 1.
Esercizi complementari (prof. Del Fra):
Tutti (gli esercizi sulla circonferenza e la sfera, per ultimi).
Esercizi sulle coniche (prof.ssa Carrara):
I relativi appunti sono disponibili sul sito e anche in forma cartacea.
Errata corrige del libro di testo:
Vedere la pagina principale del sito. Il foglio dell’errata corrige è ancora disponibile.
