Nicole Mariotti

Nicole Mariotti- Matr.138691- Lezione del 10/01/02- ore 16:30- 18:30
MOTO ESTERNO
Con il termine moto esterno si vuole indicare comunemente quella parte della fluidodinamica che
studia il moto dei fluidi attorno ai corpi.
Questo particolare moto coinvolge tutti quei casi in cui un ipotetico fluido entra in contatto con una
superficie esterna di un oggetto ed è equivalente, ai fini delle leggi fisiche, il fatto che l’oggetto sia
fermo e il fluido si muova o che il fluido sia fermo e l’oggetto si muova.In poche parole è
importante il moto relativo tra fluido e corpo di contatto.
Infatti. Il moto relativo tra fluido e corpo di contatto provoca su quest’ultimo degli sforzi che
possono essere di due nature: normali e tangenziali.
Lo sforzo normale è dovuto alla pressione che il fluido esercita su qualunque superficie che vi sia
immersa; tale pressione agisce perpendicolare all’ostacolo. Questo genere di effetto non è dovuto
alla viscosità del fluido, quindi ci sarebbe anche se il fluido fosse ideale(viscosità nulla).
Lo sforzo tangenziale nasce dall’interazione tra le particelle del fluido a diretto contatto con il corpo
immerso 8ferme rispetto ad esso per l’ipotesi di aderenza) e quelle vicine, quando si è in presenza di
moto relativo tra fluido e corpo.
Studiamo adesso un caso tipico: un corpo cilindrico investito dal vento.

u
FIGURA 1
Il problema è bidimensionale,infatti occorrono due assi X e Y per dare una descrizione completa del
fenomeno. Il nostro problema è illustrato in figura 1, dove u è la velocità del fluido che scorre con
un profilo di velocità piatto. L’aria lambisce il corpo e, non potendo attraversarlo, si sposta lungo la
superficie esterna.
-11
Nel caso di un fluido reale ( viscosità non nulla) si genera tra le particelle del fluido e la superficie
del cilindro un attrito viscoso che provoca la perdita, a causa dello scambio termico, di una parte
dell’energia cinetica del fluido.
Gli sforzi normali tendono a diminuire procedendo da 0° a 180° in senso orario e l’andamento della
pressione sarà illustrato in fig.2.Gli sforzi normali danno origine ad una forza risultante F che tende
a trascinare il corpo.
Fluido ideale
Fluido reale
Pressione
pr
ps
0°
90
180°
°
Angolo
FIGURA 2
Gli sforzi tangenziali, ossia la tensione esercitata tangenzialmente alla superficie del cilindro, hanno
un andamento illustrato in fig. 3.
Tensione
Tensione tangenziale
0
Angolo
180
FIGURA 3
La forza risultante delle tensioni normali e tangenziali è una forza F applicata nel baricentro del
corpo con direzioni e verso concordi a quelli del fluido, tale forza è della forza di trascinamento FT
la cui formula è
1
FT  C R  u 2   F  AF
2
-22
dove CR è il coefficiente di penetrazione aerodinamica ; AF è l’area frontale,questa è una grandezza
caratteristica ed è definita come la proiezione sul muro del piano d’ombra del corpo.
FIGURA 4
CR è il coefficiente di penetrazione aerodinamico 8 misura il rapporto tra la velocità di un corpo e la
potenza che gli è necessaria per muoversi a quella velocità ). Ne risulta perciò che una forma è tanto
più aerodinamica, quanto più basso è CF.
Per la corretta determinazione numerica del coefficiente di penetrazione aerodinamica devono
essere noti la forma del corpo e il numero di Reynolds ( è un numero puro che vale circa 1200 ), la
cui formula è
D   u  D
Re  u   


dove
D = lunghezza caratteristica (es. diametro del cilindro ) e v è la viscosità cinematica del fluido.
Il valore di CR si trova su grafici caratteristici delle varie forme geometriche. Nel grafico seguente
riportiamo tale coefficiente in funzione del numero di Reynolds per forme semplici quali cilindro e
sfera.
-33
Per i casi più complessi, cioè quando i solidi non sono delle figure geometriche elementari, è
impossibile valutare le grandezze del grafico. Per questi motivi, la fluidodinamica esterna viene
studiata principalmente per via sperimentale, cioè con le cosiddette gallerie del vento.
Le gallerie del vento sono strutture utilizzate per compiere studi fluidodinamica e in particolare
aerodinamici; infatti, vi si effettuano esperimenti per la misura degli sforzi che il vento provoca su
una apparecchiatura ( auto, aereo, ecc..). In questo modo si evita di ricorrere a metodi di calcolo
numerici assai complessi.
Lo studio dei sistemi complessi richiederebbe, per oggetti di grandi dimensioni, gallerie del vento
molto grosse e quindi molto costose. A questo pone rimedio la teoria dei modelli che fa uso di
modelli in scala del sistema da studiare.
-44
ESERCIZIO 1
Una goccia di pioggia, approssimata con una sferetta di diametro D=1mm , cade liberamente in
aria atmosferica alla temperatura di 20°C. Si vuole calcolare la velocità raggiunta dalla goccia.
F attrito
F peso
Figura 1
Poiché la goccia è di piccole dimensioni, la sua velocità limitata ci permette di trascurarne le
deformazioni dovute alla pressione dell’aria, che tenderebbero ad appiattirla.
La goccia d’acqua non scende con moto uniformemente accelerato, come si potrebbe pensare,
ma dopo un primo aumento lineare si assesta su un valore asintotico, poiché è soggetta a due forze
in equilibrio fra loro, la forza peso e la forza d’attrito.
In questo caso la forza peso
Fpeso  M  g
dove M   H 2 O  Vgoccia e g = accelerazione di gravità
diventa quindi
1
Fpeso   H 2 O    D 3  g
6
dove D è il diametro della goccia (D = 1 mm)
La forza d’attrito è data da
u2
Fattrito  CR   aria    AF
2
2
dove u  velocità di caduta e l’area frontale è data da
AF 
D 2
4
Queste due forze all’equilibrio devono essere uguali
1
u2 D 2
3
 H 2 O    D  g  CR   aria  
6
2
4
semplifico e ottengo
1
u2 1
 H 2 O   D1  g  CR   aria   
6
2 4
da cui ricavo
u 
4 Dg  H 2 O


3 CR  aria
Se CR fosse costante u crescerebbe con D .
Ma CR cala all’aumentare di D, quindi la velocità diventa costante.
Questo calcolo ha però un errore, o meglio un’approssimazione, non tiene infatti conto della forza
di galleggiamento Fg (che deriva dal principio di Archimede)
Fg   fluido  V  g
5
con V  volume
Utilizzo la forza di galleggiamento per ottenere la forza peso netta
Fpeso  Fg  Fpesonetto
La F pesonetto è quindi espressa come


Fpesonetto  M  g   H 2 O   aria  V  g
F attrito
F galleggiamento
F peso
Figura 2
La forza di galleggiamento agisce anche nella goccia d’acqua (fig.8).
La formula per trovare u  diventa quindi
u 

4 Dg  H 2 O   aria


3 CR
 aria

Per trovare CR devo avere il valore di Re
Re 
u  D

Poiché anche Re dipende dalla velocità, devo procedere per tentativi ipotizzando valori di u .
Tentativo 1
Ipotizzo u*  1m
s
e lo vado a sostituire nella formula precedente
1  0,001
 58,8
17  10 6
Controllo il valore sul diagramma di Reynolds e trovo
CR  1.7
Sostituisco il valore trovato nell’equazione di u 
Re 
4 0.001  9.81 1000  1.2


 2.53 m
s
3
1.7
1.2
Il valore calcolato non concorda con quello di u * che avevamo ipotizzato.
u 
Tentativo 2
Ipotizzo u *'  2.53 m
s
e ottengo
Re 
2.53  0,001
 149
17  10 6
da cui
CR  1
Sostituisco il valore trovato
-66
4 0.001  9.81 1000  1.2


 3.3 m
s
3
1
1.2
'
Il valore calcolato non concorda con quello di u * che avevamo ipotizzato.
u 
Tentativo 3
Riprovo ipotizzando u *''  3.3 m
s
e ottengo
Re 
3.3  0,001
 194
17  10 6
da cui
CR  0.8
e
u 
4 0.001  9.81 1000  1.2


 3.69 m
s
3
0.8
1.2
Il risultato ottenuto non concorda con il valore di u '' che avevamo ipotizzato. Si deve procedere
ancora per tentativi fino ad arrivare ad un risultato che soddisfi entrambe le equazioni di u  e di Re .
ESERCIZIO 2
Si vuole calcolare il momento flettente alla base del palo in c.a. di una linea elettrica, causata
dall’azione del vento che soffia con velocità di 100 km/h per poterlo dimensionare correttamente.
100 km/h
F (filo)
F (palo)
momento
flettente
Figura 3
Dati dell’esercizio:
-77
u   100 km  27.77 m
h
s
D FILO  3mm
D PALO  10cm
LFILO  50m
LPALO  10m
M F  F  braccio  momento flettente
Determino la forza del filo
1
FF  C RF  u 2   aria  AFF
2
Calcolo il numero di Reynolds per trovare il coefficiente aerodinamico C RF
ReF 
u   DFILO
 aria

27.77  0.003
 4902
17  10 6
da cui ottengo
C RF  1
Sostituisco il risultato ottenuto nell’equazione iniziale
1
2
FF  1   27.77   1.2  0.003  50  69.4 N
2
Su superfici piccole le spinte del vento sono irrisorie.
Determino la forza del palo
1
FP  C RP  u 2   aria  AFP
2
Calcolo il numero di Reynolds per trovare il coefficiente aerodinamico C RP
ReP 
u   DPALO
 aria

27.77  0.10
 163400
17  10 6
da cui ottengo
C RP  1.2
Sostituisco il risultato ottenuto nell’equazione della forza
1
2
FP  1.2   27.77   1.2  0.10  10  555 N
2
F (filo)=69.4N
5m
F (palo)=555N
5m
vento
Figura 4
In fig.10 il diagramma delle forze (la FPALO è applicata nel baricentro del palo stesso)
Il filo scarica la forza sul palo.
8
Calcolo il momento alla base del palo
M F  69.4N 10m  555N  5m  3469N  m
Il risultato ottenuto è l’azione a cui il palo in c.a. deve essere dimensionato.
ESERCIZIO 3
Si vuole calcolare la spinta del vento sull’edificio.
1
2
100 km/h
h=30 m
F
b=80 m
Figura 5
Dati dell’esercizio:
u   100 km  27.77 m
h
s
Sulla parete 1. la pressione agisce sull’intera superficie in maniera uniforme, mentre
la velocità è nulla.
Sulla parete 2. invece non c’è contropressione (la possiamo trascurare), mentre la
velocità non è nulla.
u12
P
u2
P
 1  2  2
2  aria
2  aria
ma per ipotesi
u12
0
2
P2
0
 aria
e semplificando otteniamo
P1
 aria

u 22
2
da cui
P1   aria 
27.77   463Pa N 
u2
 12 
 2
2
2
m 
2
Calcolo la forza F (spinta del vento sull’edificio) in funzione della pressione e dell’area frontale
(area della parete) dall’equazione.
N
F  P1  b  h   463 2  80m  30m  1110000 N
m
9
Le spinte del vento sono azioni critiche per gli edifici che hanno un grande
sviluppo in altezza e grandi superfici (vengono dimensionati per resistere alle azioni
orizzontali).
Un altro caso pericoloso, per le strutture basse, sono le strutture a copertura sferica.
Fy
100 km/h
40 m
Figura 6
In questo caso la forza di trascinamento è diretta principalmente verso l’alto. Mentre nel caso
precedente ho considerato C x (componente orizzontale di C R ) unitario, in questo secondo esempio
il coefficiente C y (componente verticale di C R ) non è trascurabile.
Considero il caso più clamoroso
C y  10
Utilizzo questo valore per trovare C y
27.77   1600  7403000 N
u2
Fy  C y   aria   AF  10  1.2 
2
2
Il valore ottenuto è molto più grande del peso della struttura, che va in crisi facilmente.
Per il calcolo delle azioni del vento esistono delle norme UNI che indicano i fattori di sicurezza
anche per le strutture geometriche più complicate.
2
-1010