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Chiara Stegher – Matr.133243 – Lezione del 10/01/02 – ore 16:30-18:30
Moto esterno
Argomenti della lezione:
-moto esterno
-sforzi normali e tangenziali
-forza di trascinamento
-area frontale
-coefficiente aerodinamico di penetrazione
-galleria del vento e teoria dei modelli (esempio)
-esercizio 1 : velocità di una goccia di pioggia
-esercizio 2 : spinta del vento sui pali di una linea elettrica
-esercizio 3 : spinta del vento su un edificio
Con il termine moto esterno indichiamo quella parte della fluidodinamica che
studia il moto dei fluidi attorno ai corpi.
Il moto esterno coinvolge tutti quei casi in cui un fluido viene a contatto con la
superficie esterna di un oggetto ed è equivalente, ai fini delle leggi fisiche, il fatto
che l’oggetto sia fermo e il fluido si muova o che il fluido sia fermo e l’oggetto si
muova. In sostanza è importante il moto relativo tra fluido e corpo di contatto.
Infatti, il moto relativo tra fluido e corpo di contatto provoca su quest’ultimo
degli sforzi (cioè forze per unità di superficie) che possono essere di due nature,
normale e tangenziale.
Lo sforzo normale è dovuto alla pressione che il fluido esercita su qualunque
superficie che vi sia immersa; tale pressione agisce perpendicolarmente all’ostacolo.
Questo genere di effetto non è dovuto alla viscosità del fluido, perciò interverrebbe
anche se il fluido fosse ideale (cioè a viscosità nulla).
Gli sforzi tangenziali nascono dall’ interazione tra le particelle del fluido a
diretto contatto con il corpo immerso (ferme rispetto ad esso per l’ipotesi di
aderenza) e quelle vicine, quando si è in presenza di moto relativo tra fluido e corpo.
Figura 1
In fig.1 vediamo la sezione frontale del cilindro con
  sforzo normale
  sforzo tangenziale
N
che vengono esplicitati come 2 , cioè come forza su unità di superficie
m
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Lezione del 10/01/02 – ora 16:30-18:30
Figura 2
La fig. 2 illustra la sezione di un filo cilindrico investito dal fluido. Il fluido
lambisce il solido e non potendolo attraversare si sposta lungo la superficie esterna.
Nel caso di un fluido reale (cioè a viscosità non nulla) si genera tra le particelle
del fluido e la superficie del cilindro un attrito viscoso che provoca la perdita, per
scambio termico, di parte dell’energia cinetica del fluido.
Gli sforzi normali tendono a diminuire procedendo da 0° a 180° in senso orario e
l’andamento della pressione sarà quello illustrato in fig.3. Gli sforzi normali danno
luogo ad una forza risultante F che tende a trascinare il corpo.
Figura 3
Gli sforzi tangenziali, ossia la tensione esercitata tangenzialmente alla superficie
del cilindro, dovuta all’attrito viscoso del fluido, hanno un andamento illustrato dal
grafico in fig.4.
Figura 4
-2-
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La forza risultante delle tensioni normali e tangenziali è una forza F applicata nel
baricentro del corpo con direzione e verso concordi a quelli del fluido, detta forza di
trascinamento FT la cui formula è
W2
FT  P  AF    AF 
 CR
2
con
AF  area frontale
  densità del fluido
w 2  u 2  velocità media
CR  coefficiente di penetrazione aerodinamico
(espresso anche come C X oppure come C F )
L’ area frontale è una grandezza caratteristica ed è definita come la proiezione
sul muro del piano d’ombra del corpo ( in fig.5 esempio di area frontale di un
camioncino).
Figura 5
C R è il coefficiente aerodinamico di penetrazione (misura il rapporto fra la
velocità di un corpo e la potenza che gli è necessaria per muoversi a quella velocità).
Ne risulta perciò che una forma è tanto più aerodinamica, quanto più basso è il
suo C R .
Per la corretta determinazione numerica del coefficiente C R devono essere noti
la forma del corpo (geometria del corpo) e il numero di Reynolds, la cui formula è
D   u  D
Re  u   


dove
D  lunghezza caratteristica (es.:diametro nel caso di sfera o cilindro)
 = viscosità cinematica del fluido
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Il valore di C R si trova su grafici caratteristici delle varie forme geometriche. Nel
grafico in fig.6 è riportato il coefficiente C R in funzione del numero di Reynolds per
le forme semplici di cilindro e sfera.
Figura 6
Nel caso reale risulta molto complesso calcolare analiticamente il valore  ( ) e
(). Per i casi più complessi, ovvero per casi in cui i solidi non siano delle figure
geometriche elementari, è praticamente impossibile valutare numericamente le
grandezze di cui sopra.. Per questi motivi, la fluidodinamica esterna viene studiata
principalmente per via sperimentale, cioè con le cosiddette gallerie del vento.
Nella galleria del vento un modello dell’oggetto da studiare, mantenuto fisso,
viene investito da una corrente d’aria pari a quella che l’oggetto dovrebbe possedere
nel moto reale, spostandosi esso stesso nell’aria.Si possono così osservare e misurare
caratteristiche aerodinamiche, variazioni di temperatura e di pressione, turbolenze.
Lo studio dei sistemi complessi (per esempio ali di aerei, automobili, radiatori,
ecc.) richiederebbe, specialmente per oggetti di grandi dimensioni, gallerie del vento
molto grosse e quindi molto costose. A questo inconveniente pone rimedio la teoria
dei modelli che, come dice la parola stessa, fa uso di modelli in scala del sistema da
studiare. Secondo la teoria dei modelli, infatti, è possibile studiare la fluidodinamica
esterna di un sistema con lunghezza caratteristica L usando un modello in scala del
sistema stesso con lunghezza caratteristica L’<L, i risultati così ottenuti possono
essere riportati sul modello originale tramite numeri puri.
La grandezza caratteristica di un sistema è la dimensione di una particolare zona
presa come riferimento per tutte le altre e scalando questa viene scalato l’intero
sistema. Nella studio fluidodinamica esterna la grandezza presa come riferimento è l’
area frontale (vedi fig.5).
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Esempio
Si vuole calcolare la velocità da applicare ad un modello di automobile in galleria
del vento in modo che i risultati ottenuti possano essere riportati correttamente sul
modello originale.
Modello scala 1:2
u   300 km
L  4m
h
'
'
L  2m
u  ?
Re  Re' come ipotesi base della teoria dei modelli, che esplicitata diventa
u  L
 aria

u ì  L'
 aria
semplificando ottengo
u '  u  
L
Lì
da cui
u '  2u 
u '  600 km
h
600 km h è quindi la velocità da applicare al modello in galleria del vento.
La teoria dei modelli può anche essere utilizzata per calcolare le spinte del vento
sugli edifici.
ESERCIZIO 1
Una goccia di pioggia, approssimata con una sferetta di diametro D=1mm , cade
liberamente in aria atmosferica alla temperatura di 20°C. Si vuole calcolare la
velocità raggiunta dalla goccia.
F attrito
F peso
Figura 7
Poiché la goccia è di piccole dimensioni, la sua velocità limitata ci permette di
trascurarne le deformazioni dovute alla pressione dell’aria, che tenderebbero ad
appiattirla.
La goccia d’acqua non scende con moto uniformemente accelerato, come si
potrebbe pensare, ma dopo un primo aumento lineare si assesta su un valore
asintotico, poiché è soggetta a due forze in equilibrio fra loro, la forza peso e la forza
d’attrito.
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In questo caso la forza peso
Fpeso  M  g
dove M   H 2 O  Vgoccia e g = accelerazione di gravità
diventa quindi
1
Fpeso   H 2 O    D 3  g
6
dove D è il diametro della goccia (D = 1 mm)
La forza d’attrito è data da
u2
Fattrito  CR   aria    AF
2
2
dove u  velocità di caduta e l’area frontale è data da
AF 
D 2
4
Queste due forze all’equilibrio devono essere uguali
1
u 2 D 2
 H 2 O    D3  g  CR   aria   
6
2
4
semplifico e ottengo
1
u2 1
 H 2 O   D1  g  CR   aria   
6
2 4
da cui ricavo
u 
4 Dg  H 2 O


3 CR  aria
Se CR fosse costante u crescerebbe con D .
Ma CR cala all’aumentare di D, quindi la velocità diventa costante.
Questo calcolo ha però un errore, o meglio un’approssimazione, non tiene infatti
conto della forza di galleggiamento Fg (che deriva dal principio di Archimede)
Fg   fluido  V  g
con V  volume
Utilizzo la forza di galleggiamento per ottenere la forza peso netta
Fpeso  Fg  Fpesonetto
La F pesonetto è quindi espressa come


Fpesonetto  M  g   H 2 O   aria  V  g
F attrito
F galleggiamento
F peso
Figura 8
La forza di galleggiamento agisce anche nella goccia d’acqua (fig.8).
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Lezione del 10/01/02 – ora 16:30-18:30
La formula per trovare u  diventa quindi
u 

4 Dg  H 2 O   aria


3 CR
 aria

Per trovare CR devo avere il valore di Re
Re 
u  D

Poiché anche Re dipende dalla velocità, devo procedere per tentativi ipotizzando
valori di u .
Tentativo 1
Ipotizzo u*  1m
e lo vado a sostituire nella formula precedente
s
1  0,001
 58,8
17  10 6
Controllo il valore sul diagramma di Reynolds e trovo
CR  1.7
Sostituisco il valore trovato nell’equazione di u 
Re 
4 0.001  9.81 1000  1.2


 2.53 m
s
3
1.7
1.2
Il valore calcolato non concorda con quello di u * che avevamo ipotizzato.
u 
Tentativo 2
Ipotizzo u *'  2.53 m
s
e ottengo
Re 
2.53  0,001
 149
17  10 6
da cui
CR  1
Sostituisco il valore trovato
4 0.001  9.81 1000  1.2


 3.3 m
s
3
1
1.2
Il valore calcolato non concorda con quello di u *' che avevamo ipotizzato.
u 
Tentativo 3
Riprovo ipotizzando u *''  3.3 m
s
e ottengo
Re 
3.3  0,001
 194
17  10 6
da cui
CR  0.8
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Lezione del 10/01/02 – ora 16:30-18:30
e
u 
4 0.001  9.81 1000  1.2


 3.69 m
s
3
0.8
1.2
Il risultato ottenuto non concorda con il valore di u '' che avevamo ipotizzato. Si
deve procedere ancora per tentativi fino ad arrivare ad un risultato che soddisfi
entrambe le equazioni di u  e di Re .
ESERCIZIO 2
Si vuole calcolare il momento flettente alla base del palo in c.a. di una linea
elettrica, causata dall’azione del vento che soffia con velocità di 100 km/h per
poterlo dimensionare correttamente.
100 km/h
F (filo)
F (palo)
momento
flettente
Figura 9
Dati dell’esercizio:
u   100 km  27.77 m
h
s
DFILO  3mm
DPALO  10cm
LFILO  50m
LPALO  10m
M F  F  braccio  momento flettente
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Lezione del 10/01/02 – ora 16:30-18:30
Determino la forza del filo
1
FF  C RF  u 2   aria  AFF
2
Calcolo il numero di Reynolds per trovare il coefficiente aerodinamico C RF
ReF 
u   DFILO
 aria

27.77  0.003
 4902
17  10 6
da cui ottengo
C RF  1
Sostituisco il risultato ottenuto nell’equazione iniziale
1
2
FF  1   27.77   1.2  0.003  50  69.4 N
2
Su superfici piccole le spinte del vento sono irrisorie.
Determino la forza del palo
1
FP  C RP  u 2   aria  AFP
2
Calcolo il numero di Reynolds per trovare il coefficiente aerodinamico C RP
ReP 
u  DPALO
 aria

27.77  0.10
 163400
17  10 6
da cui ottengo
C RP  1.2
Sostituisco il risultato ottenuto nell’equazione della forza
1
2
FP  1.2   27.77   1.2  0.10  10  555 N
2
F (filo)=69.4N
5m
F (palo)=555N
5m
vento
Figura 10
In fig.10 il diagramma delle forze (la FPALO è applicata nel baricentro del palo stesso)
Il filo scarica la forza sul palo.
Calcolo il momento alla base del palo
M F  69.4N 10m  555N  5m  3469N  m
Il risultato ottenuto è l’azione a cui il palo in c.a. deve essere dimensionato.
-9-
Lezione del 10/01/02 – ora 16:30-18:30
ESERCIZIO 3
Si vuole calcolare la spinta del vento sull’edificio.
1
2
100 km/h
h=30 m
F
b=80 m
Figura 11
Dati dell’esercizio:
u   100 km  27.77 m
h
s
Sulla parete 1. la pressione agisce sull’intera superficie in maniera uniforme, mentre
la velocità è nulla.
Sulla parete 2. invece non c’è contropressione (la possiamo trascurare), mentre la
velocità non è nulla.
u12
P
u2
P
 1  2  2
2  aria
2  aria
ma per ipotesi
u12
0
2
P2
0
 aria
e semplificando otteniamo
P1
 aria

u 22
2
da cui
P1   aria 
27.77  463Pa N 
u2
 12 
 2
2
2
m 
2
Calcolo la forza F (spinta del vento sull’edificio) in funzione della pressione e
dell’area frontale (area della parete) dall’equazione.
N
F  P1  b  h   463 2  80m  30m  1110000 N
m
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Lezione del 10/01/02 – ora 16:30-18:30
Le spinte del vento sono azioni critiche per gli edifici che hanno un grande
sviluppo in altezza e grandi superfici (vengono dimensionati per resistere alle azioni
orizzontali).
Un altro caso pericoloso, per le strutture basse, sono le strutture a copertura sferica.
Fy
100 km/h
40 m
Figura 12
In questo caso la forza di trascinamento è diretta principalmente verso l’alto.
Mentre nel caso precedente ho considerato C x (componente orizzontale di C R )
unitario, in questo secondo esempio il coefficiente C y (componente verticale di C R )
non è trascurabile.
Considero il caso più clamoroso
C y  10
Utilizzo questo valore per trovare C y
27.77   1600  7403000 N
u2
 AF  10  1.2 
2
2
Il valore ottenuto è molto più grande del peso della struttura, che va in crisi
facilmente.
Per il calcolo delle azioni del vento esistono delle norme UNI che indicano i
fattori di sicurezza anche per le strutture geometriche più complicate.
2
Fy  C y   aria 
-11-