MISURE MECCANICHE E TERMICHE

MISURE MECCANICHE E TERMICHE
A.A. 2012-2013
Lezione n.8 (29.10.2012)
PRINCIPIO DI PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI
Si consideri il caso di una misura indiretta; si supponga di conoscere gli errori sulle misure dirette; si
vuol determinare l’errore sulla misura indiretta. Come esempio si può far riferimento a una misura
indiretta di velocità di un mobile a partire da misure dirette di spazio percorso e di tempo impiegato a
percorrerlo.
Sia dunque:
y (x1, x2, ….. xi, …..xn)
la grandezza misurata indirettamente attraverso le misure dirette delle grandezze x1, x2, ….. xi, …..xn. Le
misure dirette siano affette da errori x1, x 2, ….. x i, ….. x n.
Il principio di propagazione degli errori afferma che l’errore sulla misura indiretta di y è dato da:
y 
y
 ( x )
2
i
 xi2 .
i
Esempi:
Sia data una combinazione lineare di misure dirette:
y  a1 x1  a2 x2  .....ai xi  .....an xn ;
In tal caso risulta:
y 
a
2
i
xi2 ,
che nel caso di coefficienti ai unitari si semplifica nella:
y 
 x
2
i
;
Nel caso che i xi siano tutti eguali (per es., misura di una lunghezza totale come somma di misure
parziali tutte effettuate con lo stesso strumento, e, quindi, caratterizzate dalla stessa precisione), si ha:
y  x n .
Si osservi che la y 
 x
2
i
dà ragione della posizione εx =  i2 (radice della somma dei quadrati
degli errori possibili), per l’errore totale calcolato con il metodo priori
Si consideri il prodotto di più misure dirette:
y   x1, x2, ….. xi, …..xn;
In tal caso:
y 
 (x
1
 x2    xi 1  xi 1    xn ) 2 xi2
;
dividendo per y ambo i membri:
y

y
x1  x2  xi 1  xi 1  xn 2
)  xi2 ,

x


x

x

x


x
1
2
i 1
i
i 1
n
( x
e quindi:
y

y
xi2
 x2 ;
i
In questo caso pertanto, l’errore percentuale della misura indiretta è dato dalla radice quadrata della
somma dei quadrati degli errori percentuali delle misure indirette.
Si consideri ora il caso di una potenza:
y  x ;
in tal caso:
y  x  1  x x ;
dividendo per la misura indiretta:
y
x
;

y
x
misurando, per es., il diametro di un pezzo cilindrico e determinando l’errore, l’errore percentuale sulla
sezione del pezzo è il doppio dell’errore percentuale sul diametro.
Si consideri ancora il caso combinazione dei due precedenti (prodotto di potenze); per semplicità si
faccia il caso del prodotto di due potenze:
y  x1  x2 ;
posto z1  x1 e z 2  x2 ,
risulta:
2
2
z12 z 22
2 x1
2 x 2





.
z12
z 22
x12
x 22
y

y
Nel caso di un rapporto, cioè nel caso in cui sia semplicemente:
y
x1
 x1  x21 ,
x2
si ottiene:
x12 x 22
 2 ;
x12
x2
y

y
l’errore percentuale del rapporto di due misure dirette ha quindi la stessa espressione dell’errore
percentuale del prodotto di due misure dirette.
Si vuole infine calcolare l’errore quadratico medio della media (deviazione standard della media):
Poiché per definizione:
xi
,
n
x
segue che:
1
2
1
2
(n)
x 
 x 2 ,
ovvero:
x 
( n )
  x2 =
x
n
;
è così dimostrato che l’errore quadratico medio della media si ottiene calcolando l’errore quadratico
medio di una serie di misure (  x 
 ( x  x)
i
n 1
2
), e dividendo il risultato per la radice quadrata del
numero di prove n.
PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI
Il valore più probabile di una grandezza, è quello che rende minima la somma dei quadrati degli
errori.
Una semplice applicazione del principio è quella che verifica che il valor medio di una serie di misure
di una grandezza è il valore più probabile della grandezza stessa; infatti se l’errore della singola misura
è dato da:
 i  xi  x 0 ,
con x0 valore più probabile,

  ( xi  x0 ) 2 ,
e quindi posto:
   i2
 2 x0  xi  nx02 ,
x0
2
i
da cui segue appunto x0  
xi _
x
n
Un’applicazione più complessa e molto importante in campo sperimentale è quella dell’interpolazione
lineare
Sia data una serie di coppie di valori (xi , yi) rilevate sperimentalmente (per es. forze – allungamenti in
una prova di trazione). Si vuole determinare la retta “interpolante”:
y = ax + b,
che meglio approssima l’andamento della y(x) nell’ipotesi di relazione lineare a relazione fra le due
grandezze.
Allo scopo si può applicare il principio dei minimi quadrati:
Il valore più probabile di una grandezza, è quello che rende minima la somma dei quadrati degli
errori.
Prima di passare all’applicazione del principio nel caso specifico, si ricordano alcune definizioni:
_
Media x :
x
Media y :
y
_
x
i
n
y
i
n
Varianza x:  x2 
Varianza y :  y2 
 (x
_
i
 x)
n
(y
_
i
 y)
n

x

y
2
2
_
2
nx
2
i
n
2
i
_
2
ny
n
_
_
 ( xi  x)( yi  y)
Covarianza xy:  xy 
n
_ _

 xi y i  n x y
n
Se deve essere y = ax + b, l’errore sulla yi è dato da:
ei = yi – a xi – b;
Pertanto, applicando il principio dei minimi quadrati, dovrà essere minima:
e
2
i
  yi2  a 2  xi2  nb 2  2a xi yi  2b yi  2ab xi ;
Le incognite del nostro problema sono a e b, e pertanto si deve porre:
 ei2
a
  ei2
b
Dalla
b
 2a xi2  2 xi yi  2b xi  0
 2nb  2 yi  2a xi  0 .
  ei2
b
y
i
n
a
 0 , segue:
x
n
i
_
_
 y a x ;
sostituendo il valore di b nella:
_
  ei2
a
 0 , e ordinando opportunamente si trova:
_
a xi2  a x   xi yi  y xi
x y
a
x
i
_
i
2
i
 n y  xi
_
 x  xi
e quindi:
_
b= y-
 xy

2
x
_
x.
_ _
x y nx y  


 x  nx
i
i
_
2
i
2
xy
2
x
,
Calcolati a e b si può valutare l’attendibilità dell’interpolazione calcolando il valore di
e
2
i
e
2
i
;
  ( y i - a x i - b) 2 =
(y

i
 xy
 x2
_
 ( yi  y) 2  (
n( 
2
y
 xy2
 x2 )
_
xi  y 
 xy
 x2
 xy
 x2
_
) 2  ( xi  x ) 2  2
)  n (1 
2
y
_
x) 2 
 xy2
 x2 y2
 xy
 x2
_
_
 ( xi  x)( yi  y)
=
).
Posto allora:
 xy
rxy 
(coefficiente di correlazione),
 x y
si verifica facilmente che quanto più rxy è prossimo a ± 1, tanto più e vera l’ipotesi di relazione lineare
fra x e y. Viceversa quanto più rxy è prossimo a 0.
Curve esponenziali
Il procedimento esaminato si può applicare a curve esponenziali del tipo:
y =  x quando siano note sperimentalmente coppie di valori (xi , yi);

infatti:
ln y = ln  +  ln x;
posto allora:
x* = ln x
y* = ln y
a* = 
b* = ln ,
si ricade nel caso precedente.