- Matematica 1AT

Ripasso scomposizione
2AT ott 2014
SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI IN FATTORI:
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE:
Se tutti i termini del polinomio sono divisibili per uno stesso monomio, posso raccoglierlo a fattor
comune:
2
3
Nel polinomio 3x y− 6 xy +15 x tutti i termini sono divisibili per 3x, posso raccoglierlo così:
3x (xy− 2y +5x 2 ) i termini dentro la parentesi si ottengono dividendo ciascun termine per
2
il fattore raccolto ( ad es 3x y : 3x= xy …)
Per ottenere una scomposizione completa devo raccogliere sempre il MCD dei termini del
polinomio (prodotto dei soli fattori comuni presi con il minimo esponente).
Scomponi:
2
3
1) 2 ax − 6a +9 ab
2 3
2
2) 8a b +2 ab − 4 ab
2
2 4
4) 100 ab − 30 a b
2
5) 5 ab− 10 a +15 b
2 2
5 2
3 3
3) 3 x yz− 4x z +2 ax z
Alle volte anziché raccogliere a fattor comune un monomio posso raccogliere un polinomio:
2 (x+ y )− y (x+ y ) qui si può raccogliere il binomio x + y in questo modo
= (x+ y )(2− y )
Scomponi:
3
2
1) 3a (a+1 )− 2 (a+1 )
2) (x− 3 ) +2 (x− 3 )
3) (a− b ) − a (a− b )+2b (a− b )
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE:
Se non si può raccogliere a fattor comune tra tutti i termini è possibile a volte raccogliere a fattoe
comune a gruppi di elementi ( gruppi con lo stesso numero di termini).
2
Ad esempio: 2a +2b− a − ab raccolgo a 2 a 2 così:
= 2 (a+b )− a (a+b ) e dato che le due parentesi sono uguali posso fare il successivo
raccoglimento ottenendo un prodotto di due binomi
(
a+b
)(
2−
a
)
=
così è scomposto in fattori
Scomponi:
2
2
2
2
1) 3x − xy+6x− 2y
2) 2a b+3 ab − 2a− 3b
3) ax− x +5a − 5x
2
3
2
3
2
2
3
4) 2b − 6 ab+9 ax − 3 bx
5) 2x + x − 2x− 1
6) a − 2a b+ab − 2b
2
3
2 2
3
2
2
2
7) 5x + y − y− 5x y
8) a +ab+2a b+2b − 3a − 3b
2
2
3
2
2
9) ax − 2x +2 ax− 4x +a− 2
10) 3a +a b+2a − b− 2− 3a
SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI IN FATTORI:
SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA




a

b
a

b

a
b
il risultato è la differenza dei quadrati
dei due termini.
Quindi, invertendo la formula si ha la seguente scomposizione:
DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
2
2
E’ l’inverso di quanto visto sopra: a  b lo scompongo nel prodotto abab
2
2
Scomponi:
2
1) 4 x  9
a2 25
x4
2) 16
2 2
3) 19a b
4
6
4) 4a 16b
In alcuni casi prima si raccoglie a fattor comune, poi si scompone la differenza di quadrati:
2
5) a b  4b
a2 4a2x2
6) 16
4
2
7) 9x 25x
2 4
2 2
8) a x a x
Si può trovare una differenza di quadrati anche dopo i raccoglimenti parziali:
a
ax

3
ab

b
x
9) 3
3
2
2
2
2
2
ax

3
bx

3
b

2
a
10) 2
SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO NEL QUADRATO DI UN BINOMIO:
Un trinomio è un quadrato di un binomio se due dei suoi termini sono i quadrati di due monomi e il
terzo termine è il doppio prodotto dei termini trovati.
2
2
Ad esempio x 4x4 è il quadrato di x  2 perché x è il quadrato di x, 4 è il quadrato di 2 e
 4 x è il doppio prodotto di x e 2 (dato che ha il – davanti, i due termini avranno segno opposto),
2
x
2
4
x

4

2
quindi scompongo così: x
Scomponi:
2 2
2
2
2
2
10
xy

25
1) x 6x9 2) a b 2ab
3) x y 
4) 9a 16a
4
2
4
4
2
2
x2 960
x 6) 12
a

9
b

36
ab
ab
4
a
9
b
5) 100
7) x 2x 18) 36
8
42
4
10
a
b
25
b
9) a
Ricordiamo che:
CUBO DI UN BINOMIO
Sviluppa:
3
3
1) 2x  1
2) a  2b
1
2
10) 4a a1
3
3
2
2
3


a

b

a

3
a
b

3
ab

b
3
3) x  3y
3
4) 1  3y
3
5) 2x 3y
SCOMPOSIZIONE DI UN QUADRINOMIO NEL CUBO DI UN BINOMIO
Riconosco che un quadrinomio è un cubo di un binomio se : due suoi termini sono due cubi, gli altri
due sono i tripli prodotti presenti nello sviluppo.
3
2
2
3
3
3
6
a
x

12
ax

8
x
Ad esempio nel polinomio: a
individuo a che è il cubo di a e 8x che è il
cubo di 2x, gli altri due termini sono i tripli prodotti di a e 2x :
2
2
a

2
x
12
ax
3a22
x6
a2x e 3
3
quindi scompongo in a  2x
Scomponi:
3
3
2
3
2
b23
b1
x

1

12
x

6
x3) a

9
a

27
a

27
1) b 3
2) 8
6
4
22
3
3
3
2
2
3
xy

3
xy
y
a
b
12
a
b

6
ab
4) 8
5) x
3
6
22
4
a

b

27
a
b

9
ab
6) 27
TRINOMIO PARTICOLARE DI 2° GRADO
Osserviamo cosa succede se moltiplichiamo tra loro due binomi di primo grado nella stessa lettera



x

2
x

5

..........
..........
..........
.........
del tipo: 
dove due termini si sommano e otteniamo il trinomio: ………………….
2
nel quale x ha coefficiente 1;
il termine di primo grado ha coefficiente : …….. che è la somma di ……………..;
il termine noto è il prodotto …………………..
Per scomporre un trinomio di quel tipo devo determinare due numeri che diano come somma il
coefficiente di 1° grado e come prodotto il termine noto.
2
ES: scomponiamo x 6x8 dobbiamo determinare due numeri la cui somma = ……….
E il cui prodotto = ………



x
..........
..
x
..........
.
Una volta trovati scriviamo: 
Scomponi:
2
2
1) x 5x62) x 9x18
2
x16
5) x 10
2
4) y 6 y
2
3) a 7a30
2
6) a 145a
2
2
7) x x728) a 3a40
Alle volte prima si deve raccogliere:
4
3
2
1) a 5a 4a
x3
10
x2
12
x
2) 2
4 2
2
3
2
2
2

a
x

7
a

7
ax

10
a

10
x
3) a
2
2
bx

8
bx

9

12
x

3
x

6
b
4) 2
Scomposizione della somma e differenza di due cubi:





b

a

b
a

b

ab
Utilizziamo le due formule: a
3
3
2
2


3
3
2
2


a

b

a

b
a

b

ab
3
2




8

x

2
x

4

2
x
Es: x
Scomponi:
3
1) a  1 ;
3
3
2) 8x  y
3
3
3) 27a  y
6
4) x  27
A) Scomponi i polinomi:
x4
16
x2x3
1) 64
4
3
3
3
b

ab
2) a a
3
2
2
3
6
a
b

12
ab

8
b
4) a
2
5) x 8x7
2
2
4
2
3
a

9
b

30
b

20
a

25

12
ab
a

12
a

8
a
6) 4
7) 4
3
2
x

18
x
9x
3) 2
8
4
8) x 2x 1