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ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI
Lezione V: Esempi di sistemi lineari
• Modello TD di una popolazione scolastica
• Modello TD per il calcolo dei numeri di Fibonacci
• Modello meccanico TC
• Modello circuito elettrico TC
• Regole per l’individuazione dello stato di un sistema lineare
5-1
Esempio: una scuola media
• Scopo: modellizzare l’andamento dei neo-iscritti e dei diplomati per una scuola media
• T = Z, sistema tempo discreto
• u(t): numero di neo-iscritti in prima media nell’anno t
• y(t): numero di diplomati nell’anno t
• Stato del sistema: xi (t): numero degli iscritti alla classe i-esima
• αi (t) : percentuale di promossi nella i-esima classe al tempo t
5-2
• Equazioni:
x1(t + 1) = (1 − α1 (t)) x1 (t) + u(t)
x2 (t + 1) = α1 (t)x1 (t) + (1 − α2 (t))x2 (t)
x3 (t + 1) = α2 (t)x2 (t) + (1 − α3 (t))x3 (t)
• Mappa di uscita:
y(t) = α3(t)x3 (t)
• Sistema LTV con matrici:


(1 − α1 (t))
0
0

α1 (t)
(1 − α2 (t))
0
A(t) = 
0
α2(t)
(1 − α3 (t))


1
B(t) =  0 
0
C(t) = [0 0 α3(t)]
Esempio: numeri di Fibonacci
• Obbiettivo: modellizzazione di serie numeriche definite ricorsivamente
• I numeri di Fibonacci sono definiti ricorsivamente come segue:
f0 = 0
f1 = 1
fn = fn−1 + fn−2
• Dunque:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144....
• Problema: come calcolare f100 senza calcolare i primi 99 numeri ?
5-4
• Introdotti nel 1202 da Fibonacci per studiare la rapidità di crescita di una famiglia di
conigli. Per saperne di più:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
• Possiamo definire:
·
x(n) =
fn−1
fn−2
¸
• Dunque all’istante successivo si ha:
¸
¸
·
·
·
¸
fn
fn−1 + fn−2
1 1
x(n + 1) =
=
=
x(n)
fn−1
fn−1
1 0
y(n) = [0 1] x(n)
• Per il calcolo dei numeri di Fibonacci basta risolvere il sistema LTI, con condizione
iniziale [1 0]0 .
Esempio: sistema meccanico
y
θ
u
β
• Scopo:
β
modellizzare due carrelli, accoppiati mediante una costante di elasticità e
soggetti a forze esterne
• Per le leggi della meccanica classica:
m1 ẍ1 = −θ(x1 − x2 ) − β ẋ1 + F
m2 ẍ2 = −θ(x2 − x1 ) − β ẋ2
• Scegliamo x(t) = [x1 (t), ẋ1(t), x2 (t), ẋ2 (t)]0 , u(t) = F e y(t) = x2 (t)
• Equazioni:
"
ẋ(t) =
0
−θ/m1
0
θ/m2
1
−β/m1
0
0
0
θ/m1
0
−θ/m2
0
0
1
−β/m2
#
"
x(t) +
0
1
0
0
#
u(t)
5-6
Esempio: circuito RLC
L
C
R
I
y
• Scopo: modellizzare l’andamento della tensione sul carico in funzione della corrente di
ingresso
• Equazioni:
I(t) = iL (t) + C v̇C (t) + vC /R
vc (t) = Li̇L(t)
• Scelgo x(t) = [vC (t), iL(t)]0 e u(t) = I(t).
• Equazioni in Rappresentazione locale I/S/U:
·
¸
·
¸
−1/RC −1/C
1/C
ẋ(t) =
x(t) +
u(t)
1/L
0
0
y(t) = [1 0] x(t)
5-7
Regole per l’individuazione dello stato di un sistema
• Per sistemi “fisici”: variabili che caratterizzano elementi in grado di immagazzinare
energia
1. Circuiti elettrici: correnti sugli induttori e tensioni sui condensatori
2. Sistemi meccanici: posizioni e velocità
3. Sistemi termici: temperature
4. Sistemi idraulici: pressioni e flussi
• Equazioni differenziali di ordine n in una variabile scalare y: x(t) = [y(t), ẏ(t) . . . y (n−1)(t)]
• Equazioni differenziali di ordine n in più variabili y1 , y2 . . . ym :
(n−1)
x(t) = [y1 (t) . . . y (n−1)(t) y2 (t) . . . y2(n−1) (t) . . . ym
(t)]
In realtà l’ordine può essere diverso variabile per variabile
5-8