ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI Lezione V: Esempi di sistemi lineari • Modello TD di una popolazione scolastica • Modello TD per il calcolo dei numeri di Fibonacci • Modello meccanico TC • Modello circuito elettrico TC • Regole per l’individuazione dello stato di un sistema lineare 5-1 Esempio: una scuola media • Scopo: modellizzare l’andamento dei neo-iscritti e dei diplomati per una scuola media • T = Z, sistema tempo discreto • u(t): numero di neo-iscritti in prima media nell’anno t • y(t): numero di diplomati nell’anno t • Stato del sistema: xi (t): numero degli iscritti alla classe i-esima • αi (t) : percentuale di promossi nella i-esima classe al tempo t 5-2 • Equazioni: x1(t + 1) = (1 − α1 (t)) x1 (t) + u(t) x2 (t + 1) = α1 (t)x1 (t) + (1 − α2 (t))x2 (t) x3 (t + 1) = α2 (t)x2 (t) + (1 − α3 (t))x3 (t) • Mappa di uscita: y(t) = α3(t)x3 (t) • Sistema LTV con matrici: (1 − α1 (t)) 0 0 α1 (t) (1 − α2 (t)) 0 A(t) = 0 α2(t) (1 − α3 (t)) 1 B(t) = 0 0 C(t) = [0 0 α3(t)] Esempio: numeri di Fibonacci • Obbiettivo: modellizzazione di serie numeriche definite ricorsivamente • I numeri di Fibonacci sono definiti ricorsivamente come segue: f0 = 0 f1 = 1 fn = fn−1 + fn−2 • Dunque: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.... • Problema: come calcolare f100 senza calcolare i primi 99 numeri ? 5-4 • Introdotti nel 1202 da Fibonacci per studiare la rapidità di crescita di una famiglia di conigli. Per saperne di più: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html • Possiamo definire: · x(n) = fn−1 fn−2 ¸ • Dunque all’istante successivo si ha: ¸ ¸ · · · ¸ fn fn−1 + fn−2 1 1 x(n + 1) = = = x(n) fn−1 fn−1 1 0 y(n) = [0 1] x(n) • Per il calcolo dei numeri di Fibonacci basta risolvere il sistema LTI, con condizione iniziale [1 0]0 . Esempio: sistema meccanico y θ u β • Scopo: β modellizzare due carrelli, accoppiati mediante una costante di elasticità e soggetti a forze esterne • Per le leggi della meccanica classica: m1 ẍ1 = −θ(x1 − x2 ) − β ẋ1 + F m2 ẍ2 = −θ(x2 − x1 ) − β ẋ2 • Scegliamo x(t) = [x1 (t), ẋ1(t), x2 (t), ẋ2 (t)]0 , u(t) = F e y(t) = x2 (t) • Equazioni: " ẋ(t) = 0 −θ/m1 0 θ/m2 1 −β/m1 0 0 0 θ/m1 0 −θ/m2 0 0 1 −β/m2 # " x(t) + 0 1 0 0 # u(t) 5-6 Esempio: circuito RLC L C R I y • Scopo: modellizzare l’andamento della tensione sul carico in funzione della corrente di ingresso • Equazioni: I(t) = iL (t) + C v̇C (t) + vC /R vc (t) = Li̇L(t) • Scelgo x(t) = [vC (t), iL(t)]0 e u(t) = I(t). • Equazioni in Rappresentazione locale I/S/U: · ¸ · ¸ −1/RC −1/C 1/C ẋ(t) = x(t) + u(t) 1/L 0 0 y(t) = [1 0] x(t) 5-7 Regole per l’individuazione dello stato di un sistema • Per sistemi “fisici”: variabili che caratterizzano elementi in grado di immagazzinare energia 1. Circuiti elettrici: correnti sugli induttori e tensioni sui condensatori 2. Sistemi meccanici: posizioni e velocità 3. Sistemi termici: temperature 4. Sistemi idraulici: pressioni e flussi • Equazioni differenziali di ordine n in una variabile scalare y: x(t) = [y(t), ẏ(t) . . . y (n−1)(t)] • Equazioni differenziali di ordine n in più variabili y1 , y2 . . . ym : (n−1) x(t) = [y1 (t) . . . y (n−1)(t) y2 (t) . . . y2(n−1) (t) . . . ym (t)] In realtà l’ordine può essere diverso variabile per variabile 5-8