PRINCIPI DI METROLOGIA

MISURE OTTICHE
mercoledì 22 febbraio 2012
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 2 h e 0 min
Secondo appello AA 2011/2012
Aula E.L.0 ore 9.15
COGNOME: ____________________________ Nome: ________________________
(stampatello)
CdLS e anno: ___________ Matricola e firma __ __ __ __ __ __ _______________ (firma leggibile)
Esercizi svolti (almeno parzialmente)
Compito intero : 1 2 3 4
PUNTEGGI:
(8+8+8+8=32 p)
N.B. gli esercizi non crocettati non saranno corretti; quelli crocettati ma neanche iniziati comporteranno una
penalità. Si chiede, se possibile, di spuntare anche le domande parziali a cui si è risposto [e.g. 1a), 1b), 1c) etc.].
SOLUZIONI
(30 min)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
Un laser a Er-Yb:glass, operante a =1532.8 nm, è realizzato con un risonatore piano-sferico (specchio
sferico con raggio di curvatura ROC=1.5 cm) e il fascio ottico, ricavato in uscita dallo specchio piano, ha una
potenza PL=4 mW. I modi longitudinali del laser hanno una distanza in lunghezza d’onda  FSR=110 pm.
1a) Calcolare il free-spectral-range ( FSR) e la lunghezza ottica (l ) del risonatore laser.
1b) Si ricavi la dimensione di macchia all’uscita del laser e l’angolo (piano) di divergenza, espresso anche in
gradi, per il fascio d’uscita in propagazione libera.
1c) Il laser descritto è utilizzato in un sistema di comunicazione FSO (Free Space Optical) indoor e viene
quindi collimato con un telescopio progettato per rendere minima la dimensione di macchia fino a una
distanza di 100 m dal laser/telescopio. Come deve essere dimensionato il waist del fascio gaussiano
(dimensione e distanza dalla sorgente/collimatore) nel range di collimazione?
1d) Si spieghi come mai tale sorgente nell’infrarosso, e con potenza ottica PL=4 mW, è stata utilizzata per un
esperimento di trasmissione indoor.
1e) Si sa che il laser a Er-Yb sinora considerato oscilla su 3 modi longitudinali (adiacenti) e se ne vuole
analizzare lo spettro mediante uno spettrometro a Fabry-Perot in scansione. Il Fabry-Perot è costituito da due
specchi piani e paralleli (R1=R2=R=99%). A quale distanza LF-P occorre posizionare i due specchi per
risolvere tutti e 3 i modi entro il free-spectral-range del Fabry-Perot? Quanto vale il fattore di merito Q dello
spettrometro a Fabry-Perot?
1a) Data la lunghezza d'onda del laser (=1532.8 nm) la sua frequenza ottica è =c/=196 THz.
Essendo / =/, si può ricavare il free-spectral-range del laser a Er-Yb come
 FSR = ( FSR/) = ( FSR/2)c=14 GHz.
Dalla relazione  FSR = c/2l si ricava la lunghezza del risonatore l = c/2 FSR = 10.68 mm  10.7 mm.
1b) All’interno della cavità laser, dopo una distanza l dallo specchio piano ove è posizionato il beam waist
con dimensione w0, il modo laser deve avere assunto un raggio di curvatura pari a quello dello specchio
sferico. Dall’espressione del raggio di curvatura al variare della distanza z dal waist (posto in z=0 e con
dimensione di macchia w0):
2
  w02  
r  z   z 1  
 
  z  
e imponendo r(l)=ROC=0.4 m, si ottiene
w0L 
l 4 ROC  l

l

1532.8 10 9  0.0107 4 15  10.7
58 m (spot laser con diametro di circa 120 m)
3.14
10.7
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come dimensione di macchia all’uscita del laser.
L’angolo di divergenza per il fascio laser diffraction-limited e con beam waist w0 è

1532.8 10 9
d=
8.5 mrad0.5 °.

w0 L 3.14  58 10 6
1c) Per avere minima dimensione di macchia su tutto il range di misura il beam waist del fascio gaussiano
deve naturalmente essere collocato a metà del range e dunque a una distanza L=50 m dall’uscita del
collimatore.
Dall’equazione che fornisce la dimensione di macchia w(L) ai due estremi del range, rispetto al centro (z=0
dove si trova il waist) si ottiene
2
   2
w L   w  
 L
 w0 
2
2
0
ovvero
  L  2 
wL   w 1   2  
  w0  
2
0
e cerchiamo la condizione per cui w(L) sia minimo, quando L=(100 m)/2=50 m.
Dunque deriviamo la dimensione di macchia (anche al quadrato) rispetto a w0 e uguagliamo a zero:
2
w2 L 
1 
 L  
 2w0  
   2 3   0
w0
w0 
   
così da ottenere la dimensione del waist al centro del range:
2w04
 L 
 2

  
2

w0 =
L
5 mm

e la dimensione di macchia agli estremi del range:
w 2 L  
L
L
 L  

2

    L

2

w(L)= 2w0 7 mm
1d) Il laser a Er-Yb:glass a 1.54 m opera a una lunghezza d'onda eye-safe ed è quindi particolarmente
adatto per applicazioni in spazio libero dove il possibile intercettamento con l’occhio umano non costituisce
un pericolo (per livelli di potenza inferiori ad alcune decine di milliwatt).
1e) L’intervallo spettrale coperto dai 3 modi longitudinali adiacenti del laser è modi=2FSR=28 GHz. Per
risolvere i 3 modi del laser entro un free-spectral-range del Fabry-Perot usato come spettrometro, deve essere
FSR,F-P=c/2LF-Pmodi, ad esempio FSR,F-P=0.5FSR+modi+0.5FSR=(0.5+2+0.5)FSR=3FSR=42 GHz,
da cui si ricava LF-Pc/(2modi)=3108 m/s/(42 GHz)=3.56 mm. Scegliamo di lavorare con LF-P=3 mm e
quindi con FSR,F-P=50 GHz.
La larghezza di riga dello spettrometro è FWHM,F-P=FSR,F-P/F, dove F è la finesse dell’interferometro.
Come noto F= R / 1  R  e nel caso specifico, con R=0.99, F312.6 da cui si ricava immediatamente
FWHM,F-P160 MHz.
Il fattore di merito dello spettrometro è Q=/FWHM,F-P=(474 THz)/(160 MHz)1.22106.
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(30 min)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) Un telemetro laser a onda continua (fmod=100 kHz) viene impiegato per misure geodetiche.
2a) Quale è la distanza massima misurabile (prima di superare il range di non-ambiguità del telemetro)?
2b) Se la misura di sfasamento tra il fascio laser lanciato e quello ritornato dal bersaglio risolve 5 mrad,
quanto vale la risoluzione L sulla misura di distanza?
Come dipende la risoluzione relativa dalla distanza?
Quanto vale la migliore risoluzione relativa ottenibile?
2c) Se un bersaglio cooperativo distante 1 km viene misurato con il telemetro a onda continua, quanto vale in
gradi lo sfasamento misurato tra onda lanciata e onda ritornata dal bersaglio?
Si evidenzi qualche criticità di questa misura.
2d) Eseguendo una misura di distanza dello stesso bersaglio, posto a 1 km, con un telemetro pulsato (laser a
Nd:YAG in Q-switching p10 ns) quanto varrà il tempo di volo misurato (round-trip)?
Con quale risoluzione temporale, T, occorrerebbe misurare il ritardo tra l’impulso lanciato e quello di
ritorno per avere una risoluzione confrontabile con il caso del telemetro a onda continua?
2e) Come si confronta T con la durata dell’impulso e con quale altro tipo di laser, sempre impulsato, si
potrebbe migliorare la risoluzione rispetto alla questa misura impulsata con il Nd:YAG in Q-switching?
2a) Il non-ambiguity range del telemetro, Lna, è legato al tempo di non ambiguità, Tna, dalla relazione
2Lna=cTna
Inoltre da 2fmodTna = 2 si ricava Tna=1/fmod10 s.
c 1
Quindi Lna=
=1.5108 (m/s) / 100103 Hz=1500 m.
2 f mod
2b) La misura di distanza, entro il non-ambiguity range, si ottiene dalla relazione
c 1
 =SL- 238 m/rad×
L=
2 2f mod
dove SL- è la sensibilità della misura, vista come dipendenza della lunghezza L dalla fase .
Dunque
c 1
 =238 m/rad×510-3 rad=1.2 m (=cost.)
L=
2 2f mod
Con una risoluzione relativa L/LL-1 che dipende dalla distanza L misurata e di fatto migliora
all’aumentare della distanza
La migliore risoluzione relativa si ottiene dunque all’estremo del range di misura e vale
(L/L)ottimo=(L/Lna)=1.2 m/1500 m=810-4.
2c) Lo sfasamento accumulato dal segnale di luce in una andata e ritorno dal bersaglio è:
L=L/SL-=(1000 m)/(238 m/rad)4.2 rad=240 ° (d’altronde L=360×1000/1500=360×2/3=240 °).
Una criticità della misura con questo telemetro topografico è che occorre posizionare un corner-cube al
termine del range di misura, lungo 1 km, e allineare tale retroriflettore con il laser/ottiche di
lancio/ricezione.
2d) Il tempo di volo (round-trip) è TL=2L/c=6.67 µs. Nella misura per tempo di volo, L=(c/2)×T e per
avere L=1.2 m (come per il telemetro a onda continua) deve essere T=(2/c)×L8 ns. Impiegando il laser
in Q-switching indicato nell’esercizio, la risoluzione temporale richiesta risulta di poco inferiore alla durata
dell’impulso ottico (T=8 nsp=10 ns) e dunque T/p1. La misura in queste condizioni non è agevole e
difficilmente si potrà avere una risoluzione temporale meglio di 0.1×p=1 ns, corrispondente a una minima
variazione di lunghezza di 15 cm.
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2e) Per migliorare sensibilmente la risoluzione, temporale e quindi di misura spaziale), si può impiegare un
laser con impulsi di durata più breve. Ad esempio, utilizzando una sorgente laser in mode-locking con
p,ml10 ps, si ottiene T/p,ml=800 per cui la misura diviene più agevole e anzi si può pensare di avere
risoluzioni L anche dell’ordine del millimetro (risolvendo T6.7 psp,ml).
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(30 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
In figura è riportato lo schema di un estensimetro, o strain-gauge, realizzato incollando un tratto di fibra
ottica (indice di rifrazione nF = 1.5) ad una barra metallica di cui si vuole misurare la deformazione. Lo
strumento si basa su di uno schema di lettura interferometrico ed è costituito interamente da elementi in fibra
ottica. L’accoppiatore 50%/50% si comporta per la radiazione luminosa come un beam splitter, e le facce di
uscita dei tratti di fibra di lunghezza L3 ed L5 sono metallizzate, in modo da riflettere completamente la luce
che vi incide. La sorgente impiegata è un laser a semiconduttore DFB stabilizzato che emette una potenza di
10 mW alla lunghezza d’onda, in aria, λ = 1550 nm, con larghezza della riga di emissione di 300 kHz.
Laser
a Semiconduttore
L1
L
L2
L3
(con isolatore ottico)
L4
L5
fotodiodo
Iph
accoppiatore
50% - 50%
La barra metallica ha lunghezza L = 1.55 m, e le lunghezze degli altri tratti di fibra sono pari a: L1 = L5 = 1
m, L2 = L3 = 0.5 m; e L4 = 0.25 m (la lunghezza dei cammini ottici che attraversano l’accoppiatore in fibra è
trascurabile). La deformazione della barra metallica (strain) è definita come:  = L/L, ove L è la variazione
di lunghezza che subisce la barra.
3a) A quale interferometro classico (in aria) corrisponde lo schema proposto in figura? Qual è la risoluzione
spaziale dello strumento, se si esegue la misura per semplice conteggio di frange del segnale
interferometrico? Si determini la relazione analitica che lega la variazione di fase ottica  in funzione
della deformazione L della barra metallica.
3b) Se la barra subisce una deformazione  = 0.00002 (20 strain, si calcoli il numero di frange
interferometriche che si osservano all’uscita del fotorivelatore. Il risultato ottenuto dipende dal valore
della lunghezza del tratto di fibra L1? Motivare la risposta.
3c) Se la barra subisce la deformazione  in un tempo T = 1 ms, qual è la frequenza di ripetizione delle
frange interferometriche osservate? Per rispondere si ipotizzi che la deformazione sia lineare con il
tempo.
3d) Nel tempo T nel quale la barra subisce la deformazione , la lunghezza d’onda del laser varia di 10 pm.
Tale variazione di lunghezza d’onda può causare un errore di misura?
3e) Ipotizzando che la banda massima di elaborazione del segnale interferometrico sia B = 1 MHz, quale
sarebbe la massima velocità di deformazione osservabile correttamente dallo strumento?
3a) Lo strumento è basato su di un interferometro di Michelson, caratterizzato da una risoluzione spaziale
pari a λ/2 se si esegue la misura per semplice conteggio di frange nel segnale interferometrico. La
deformazione della barra comporta una uguale deformazione del tratto di fibra ad essa collegato, con
conseguente variazione del cammino ottico lungo il braccio di misura dell’interferometro. Quando la
barra si deforma, si ha una variazione di cammino ottico pari a: Lott = 2LnF (il fattore 2 tiene conto del
cammino di andata e ritorno nel tratto di fibra L2-L-L3). La variazione di fase misurata
dall’interferometro è data da:  = (Lott2)/ = (L4nF)/.
3b) La variazione di lunghezza della barra è data da: L = L.
Il numero di frange interferometriche osservate all’uscita del fotorivelatore è dato da:
Nfr = /2 = [(L4nF)/] / 2 = [(0.000021.5541.5)/1.5510-6] / 2 = 60.
Variazioni della lunghezza L1 non comportano una variazione nel numero di frange
interferometriche che si osservano quando la barra è deformata. Infatti, il tratto L1 costituisce uno dei
percorsi comuni dell’interferometro.
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3c) Se si osservano Nfr in un tempo T, la frequenza di ripetizione corrispondente è: frep,fr = Nfr / T = 60 kHz.
3d) In un interferometro sbilanciato (come quello qui considerato), in corrispondenza di una variazione di
lunghezza d’onda  = 10 pm si genera una variazione di fase data, in modulo, dalla seguente formula:
 = 2Lott / 2 = 2[2(L2 + L + L3 – L5)nF] / 2 = 121.6 rad.
Tale sfasamento corrisponde a circa 19.35 frange interferometriche (19.35 volte il 2). Quindi, poiché al
punto 3b) si era calcolato che la deformazione  = +210-5 produceva circa 60 frange, si può concludere
che la variazione di lunghezza d’onda in questione comporta un significativo errore di misura, che
ammonta a circa il 32 % del misurando.
3e) Per una corretta misura è necessario che la durata di ogni frangia interferometrica sia superiore o al più
uguale (T=1/B) all’inverso della banda di elaborazione del segnale. Come ricordato al punto a), ad una
frangia interferometrica corrisponde una variazione di cammino ottico pari a Lott = ( / 2) / nF. Se ne
ricava la velocità come vmax = Lott / T. Pertanto, la massima velocità di deformazione consentita per
effettuare una misura corretta della deformazione vale: vmax = [( / 2) / nF]  B = 0.517 m/s  0.5 m/s.
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(30 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4a) Si commentino le differenze di prestazioni ottenibili con la stabilizzazione in frequenza di un laser
rispetto a riferimenti assoluti (molecole) o relativi (Fabry-Perot).
4b) Un laser a Nd:YAG a singola frequenza (del tipo monolitico NPRO) viene duplicato esternamente in un
cristallo PPLN (Periodically-Poled Lithium Niobate) ottenendo 20 mW in seconda armonica a partire da
0.5 W di potenza in fondamentale. L’uscita nel verde viene stabilizzata in frequenza al centro di una
transizione molecolare della molecola di iodio, alla frequenza =563 260 223 513 kHz nota con incertezza
u()=5 kHz. Il sistema di stabilizzazione retroaziona il segnale di errore su una cella Peltier che regola la
temperatura del cristallo NPRO di Nd:YAG. Si suppone che il laser stabilizzato raggiunga un livello di
stabilità in 2a armonica pari a 100 volte meglio dell’accuratezza, u()/, con cui è nota la frequenza della
transizione molecolare.
Nel caso del laser considerato nell’esercizio, si commenti la presunta banda di retroazione del sistema di
controllo e si indichi come si potrebbero migliorare le prestazioni del sistema.
Quanto vale la stabilità di frequenza, assoluta e relativa, ottenuta in 2a armonica? E in fondamentale?
4c) Si considera ancora il laser a NPRO stabilizzato come al punto 4b). La lunghezza d'onda in fondamentale
del laser viene impiegata come riferimento (R) in un wavemeter da laboratorio che opera, in aria, secondo lo
schema mostrato in figura. Per ipotesi il carrello mobile viene arrestato in corrispondenza di un numero intero
di conteggi di frange di interferenza alla lunghezza d'onda di riferimento R.
Nd:YAG
2X
X
s
R
Con l’esperimento si vuole misurare la lunghezza d'onda “incognita” (X) di un laser a He-Ne nel rosso,
spostando il carrello mobile di una quantità s=20 cm.
Quante frange di interferenza si contano sui fotorivelatori PDR e PDX?
Da cosa è determinato e quanto vale l’errore massimo X nella determinazione di X?
OPZIONALE:
4d) Due laser a NPRO simili a quello sinora descritto vengono fatti battere su un rivelatore al Si, nel verde, e
su uno al Ge, nell’infrarosso. Se i laser hanno una stabilità di frequenza nel verde al livello di 5×10 -10, quanto
varranno le varianze di Allan dei due battimenti (verde e IR)?
4a) Vedi appunti e dispense del Corso.
Il riferimento assoluto (e.g. la transizione di una molecola) garantisce una accuratezza nella stabilizzazione
che è assai indipendente dalle specifiche tecniche/luogo/condizioni dell’esperimento. I Fabry-Perot non
possono garantire accuratezza ma solo buona stabilità relativa.
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4b) La banda di retroazione del sistema di controllo sarà limitata a pochi hertz a causa del sistema di
attuazione (termico): la costante di tempo termica del cristallo di YAG a NPRO può essere dell’ordine di
qualche secondo. Per aumentare la banda di retroazione e dunque le prestazioni del laser stabilizzato,
converrebbe impiegare un attuatore più veloce: di tipo piezoelettrico (B1kHz-100kHz) o elettroottico
esterno (BkHz-MHz).
L’accuratezza con cui è noto il centro-riga della transizione considerata è u(green)=5 kHz e pertanto,
secondo i dati, la stabilità ottenuta nel verde (2a armonica) è green=u(green)/100=50 Hz, con una stabilità
relativa green/green=(50 Hz)/(563 260 223 513 kHz)=8.9×10-14.
La stabilità di frequenza in (armonica) fondamentale, IR=green/2282 THz, è tale che
IR/IR=green/green=8.9×10-14, esattamente uguale alla stabilità relativa in 2a armonica mentre la stabilità
assoluta in fondamentale è IR=green/2=25 Hz.
4c) La lunghezza d'onda in fondamentale è IR=c/IR=1065.227 nm=R. Per ricavarne l’incertezza,
consideriamo che, essendo /=-/, deve valere u(green)/green=u(IR)/IR=u(green)/green=u(IR)/IR e
dunque u(IR)=IRu(IR)/IR=9.4810-20 m0.1 am: se ne deduce u(R)=u(IR)10-19 m.
Per il laser a He-Ne nel rosso, sappiamo che =X632.8 nm.
Il fotodiodo PDR conta il cammino ottico 4s (si veda la Figura per comprendere il motivo del fattore 4
rispetto allo spostamento del carrello mobile) in termini di R (si ha una frangia di interferenza ogni R/2,
essendo un “cammino di sola andata”, seppure “ripiegato 4 volte” rispetto al s prodotto dal carrello mobile).
Tale fotodiodo conterà dunque un numero di frange
4s
0.8 m

NR=
=751 880 frange
R 1065.23 10-9 m
Analogamente, per il fotodiodo PDX che conta le frange sulla stessa variazione di cammino ottico (4s)
in termini di X (la lunghezza d'onda incognita), si ottiene un conteggio
4s
0.8 m

NX=
1 264 223 frange
X 632.8  10-9 m
Solitamente nella misura con il wavemeter si decide di arrestare il carrello mobile quando NR è un
numero intero e dunque la relazione 4s=NRR è “esatta” (esente da errore/incertezza di quantizzazione e con
una incertezza bassa quanto è bassa l’incertezza su R, che in buona approssimazione sarà qui ritenuta
trascurabile). L’equazione della misura si ottiene dall’eguaglianza NXXNRR (=4s), dove il “circa uguale”
è dovuto al fatto che NX viene approssimato con la sua parte intera pur non essendo un numero intero di
conteggi. Volendo accettare questa ultima approssimazione, si può empiricamente ricavare X=(NR/NX)R.
Nel ricavare l’errore massimo sulla misura di X, continuando a ritenere trascurabile la modestissima
incertezza su R e poiché è rigorosamente nulla l’incertezza su NR (numero intero contato senza errori), si
ottiene l’errore/incertezza su X come X= (NRR)(NX/N2X). Considerando il caso peggiore di errore di
conteggio NX=1, si ottiene
1
1
X= N R R  2  (751 880 1065.2 nm ) 
=510-13 m=0.5 pm
2
NX
(1 264 223)
4d) Il rumore di frequenza in termini relativi, /, è uguale sia nel verde che nell’infrarosso (essendo green=2IR e
green=2IR). La frequenza di battimento tra due laser alle frequenze 1 e 2 è batt=2-1 e dunque la sua varianza
è  2(batt)= 2(1)+ 2(2). In questo caso, tanto per i battimenti nel verde quanto nell’IR, 12 e inoltre
 2(1) 2(2)= 2.
La varianza di Allan del battimento,  2 approssimabile con (/)2, è
  
  
=2 2=225×10-20=5×10-19








laser1 
laser 2
ed è uguale sia nel verde che e nell’infrarosso, dato che le fluttuazioni relative di frequenza sono uguali alle
due lunghezze d'onda. Il fattore due, nella varianza del battimento rispetto alla varianza del singolo laser,
deriva dall’avere considerato il battimento tra due sorgenti laser con la stessa instabilità di frequenza e
dunque dal calcolo della somma di due varianze uguali tra loro (o circa uguali).
2
2
2
Allan
_______
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