s_170206

STATISTICA E CALCOLO DELLE PROB.
Lunedì 6 febbraio 2017
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 2 h e 20 min (40+40+30+40)
AA 2016/2017
Aula V.08 ore 9.15
Cognome: ____________________________________ Nome: _____________________ (stampatello)
Matricola: __ __ __ __ __ __
Firma _______________________________________ (firma leggibile)
Esercizi svolti (almeno parzialmente): 1 2 3 4
(7+8+8+9 = 32p)
(crocettare)
N.B. OCCORRE CROCETTARE TUTTI I SOTTOPUNTI SVOLTI. I sottopunti o esercizi non crocettati non
saranno corretti; quelli crocettati ma neanche iniziati comporteranno una penalità. Occorre saper svolgere tutti
gli esercizi per poter consegnare il compito (con un esercizio mancante o sostanzialmente non svolto non si deve
consegnare). I compiti consegnati e corretti che evidenzieranno un risultato gravemente insufficiente, o
comunque gravi lacune nella preparazione, comporteranno il salto dell’appello successivo.
SOLUZIONI
(35 min)
1)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
Uno studente liceale ha preso i seguenti voti in una materia di profitto:
Vi = xi = 6, 6, 8, 5.25, 7.75, 6.75, 8.5, 7, 8, 4.5.
1a)
1b)
1c)
1d)
1e)
1f)
1g)
Si ricavino gli indici di tendenza centrale (media, moda, mediana) e di dispersione (range, varianza,
deviazione standard) dei dati.
Si disegni un istogramma di frequenza dei dati, impiegando 3 classi di voto.
Si scriva la definizione di k-esimo percentile e si spieghi come ricavarlo in generale.
Si ricavi il 66-esimo percentile dei dati.
Si disegni il box-plot e unitamente il dot-plot dei dati, avendo prima ricavato i 3 quartili.
Si dimostri, svolgendo tutti i passaggi occorrenti, che la varianza campionaria è uno stimatore corretto
per la varianza dell’intera popolazione.
Per la media campionaria ricavata al punto 1a), si stimi la corrispondente deviazione standard
campionaria e la dispersione relativa: Drel= s ( x ) / x .
_______
Pag. 1/12
31a)
Il numero di dati è n=10 e i dati ordinati sono 4.5, 5.25, 6, 6, 6.75, 7, 7.75, 8, 8, 8.5.
 1 n
La media campionaria è M=xi,media= x   xi =6.7757.786.8.
n i 1
La moda, il valore più probabile e con la maggiore occorrenza/frequenza nei dati, è in questo caso costituita
da due valori (distribuzione o campione bimodale) MO=xi,moda=6 e 8.
La mediana, valore che divide in due parti uguali (50 % e 50 %) l’insieme dei dati ordinato è in questo caso a
metà strada tra il 5° e il 6° dato: ME=xi,mediana=6.8756.886.9 (è anche il 50-esimo percentile).
Il range, o dinamica o escursione picco-picco, dei dati è D=xi,range=xi,max-xi,min=(8.5-4.5)=4.
n
  ( xi  x )
La varianza (campionaria) è V=s2(xi)  i 1
n 1
2
=1.74241.74.
n

La deviazione standard (campionaria) è DEV.ST=s  s 2 
11b)
 ( xi  x )
i 1
n 1
2
=1.3199851.321.3.
Il range dei dati si estende da 4.5 a 8.5. Per avere una dinamica dell’istogramma divisibile agevolmente
in 3 classi scegliamo un valore inferiore pari a 3 e un valore superiore pari a 9 con le 3 classi di
larghezza 2: [3-5], (5-7], (7-9] oppure [3-5), [5-7), [7-9]. L’istogramma di frequenza dei dati è mostrato
qui sotto.
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
[3-5]
(5-7]
(7-9]
[3-5)
[5-7)
[7-9]
11c) k-esimo
percentile: valore superiore al k% delle osservazioni, ed inferiore al (100-k)%.
La formula generale per ricavare l’indice di un generico k-esimo percentile è: Ik = (n+1)k /100.
Se l’indice trovato è un intero, allora il percentile cercato è proprio il dato con indice Ik ossia il valore xk tra
i dati ordinati.
Se l’indice non è intero, si ricava il valore esatto del percentile con un’interpolazione lineare tra i due dati,
con indici Ik,low=INT(Ik) e Ik,high=INT(Ik+1), corrispondenti all’intero prima e dopo di Ik. Si trova dunque il
percentile k come xk%=xINT(I,k)+( xINT(I,k+1)-xINT(I,k))×[Ik-INT(Ik)].
L’indice di posizione del 66-esimo percentile è I66=(10+1)66/100=7.26, dunque il percentile cercato si
trova a partire dal dato numero 7 e andando verso il numero 8 al 26 % della distanza tra i due dati:
66-esimo percentile=x66%=xINT(I66)+(xINT(I66+1)-xINT(I66))×[I66-INT(I66)]=x7+(x8-x7)×0.26=7.815.
11d)
21e)
I dati ordinati sono
xi = 4.5, 5.25, 6, 6, 6.75, 7, 7.75, 8, 8, 8.5.
I valori delle soglie che corrispondono ai 3 quartili (50°, 25° e 75° percentile) sono:
Il 50° percentile ha indice I50% = (10+1)50 /100 = 5.5, per cui
50° percentile = Q2 = ME = 6.75 + (7 – 6.75)0.5 = 6.875
2° quartile
Il 25° percentile ha indice I25% = (10+1)25 /100 = 2.75, per cui
25° percentile = Q1 = 5.25 + (6 – 5.25)0.75 = 5.8125
1° quartile
Il 75° percentile ha indice I75% = (10+1)75 /100 = 8.25, per cui
75° percentile = Q3 = 8 + (8 - 8)0.25 = 8
3° quartile
_______
Pag. 2/12
La dinamica interquartile è DIQ=Q3-Q1=2.188 cm. I baffi del box-plot si possono estendere fino a 1.5DIQ,
in questo caso tutti i dati sono contenuti all’interno dei baffi, che quindi si estendono dl primo all’ultimo dato.
Nel grafico seguente sono riportati sia il box-plot che il dot-plot dei dati: si osserva una buona simmetria dei
dati centrali (dalla quasi uguaglianza tra le due parti interne del box, corrispondenti al 1° e 3° quartile), una
discreta simmetria dei dati esterni al box (essendo i due baffi abbastanza asimmetrici), non ci sono punti
esterni e tantomeno punti esterni estremi.
La dimostrazione si ottiene valutando il valore atteso dell’operatore varianza campionaria s2 e
mostrando che esso è uguale alla varianza  2 della intera popolazione.
21f)


E s 2 x  


1

E   xk2   2 x  xk  nx 2  
n  1  k
k


2

1
2
1
 
2

E   xk    xk  xk  n  xk   
n  1  k
k
 n k
n k
 



1
 1
E   xk2    xk  xk  
n  1  k
k
 n k




1
1
 1
E   xk2    xk2   xk x j  
n  1  k
n k j
 n k



1  1 
1
2
1   E xk   Exk E x j  
n  1  n  k
n k j


 
1  n  1  2
nn  1 2 
2
 x  

n   x     x  

n  1  n 
n



  2 x    2 x    2 x    2 x 
deviazione standard campionaria prevista per la media campionaria è s( x )  s ( x) / n =0.4174 e la
corrispondente dispersione relativa è Drel= s ( x ) / x =0.06166.2 %.
11g) La
TOT. 11 punti su 10 ma va bene perché l’esercizio è lungo e completo (sia pure molto semplice).
_______
Pag. 3/12
(40 min)
2a)
2b)
2c)
2d)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
Uno studente frequenta ogni sabato una discoteca che ha moltissimi clienti. Ogni volta che si reca in
discoteca lo studente chiede individualmente a 100 ragazze se vogliono uscire con lui, in caso di
risposta affermativa riesce a segnarsi il loro contatto (telefono/email). Ad ogni richiesta effettuata, la
probabilità che lo studente riesca a ottenere un contatto è pari al 20 %.
Si illustri, motivandone la scelta, quale modello di probabilità si applica a questo caso.
Quanto vale la probabilità di ottenere 4 contatti su 10 ragazze interrogate?
Quanto vale la probabilità di ottenere almeno un contatto dalle prime 5 ragazze interrogate?
In un mese che contiene quattro sabati con quale probabilità lo studente otterrà 4 contatti?
Quanto vale invece la probabilità che lo studente ottenga tra 50 e 80 contatti?
Dalle tante ragazze contattate sul lungo periodo, lo studente riceve una telefonata ogni due giorni.
Quanto vale la probabilità che in un mese (di 30 giorni) lo studente riceva esattamente 20 telefonate?
Quanto vale invece la probabilità che lo studente riceva più di 200 telefonate in un anno di 366 giorni?
Se lo studente riceve una telefonata (da una ragazza contattata) il giorno 25 di Settembre, quanto vale la
probabilità che egli non riceva ulteriori telefonate sino alla fine del mese.
_______
Pag. 4/12
che ogni prova è un processo di Bernoulli (lo studente ottiene il contatto, “successo!”, oppure non
lo ottiene, chiaramente insuccesso), le prove sono indipendenti e la probabilità di successo in ogni prova
è costante, la probabilità di x contatti acquisiti su n richiesti segue la distribuzione binomiale.
n
Possiamo indicare con B(x,n;p)=   p x (1  p) n x è la distribuzione binomiale ovvero la funzione di
 x
probabilità binomiale (funzione densità di probabilità di massa o PMF), che fornisce appunto la probabilità di
ottenere x successi su n prove indipendenti ciascuna con probabilità di successo p.
In questo caso la probabilità di successo è p =0.2 e cerchiamo la probabilità di ottenere x=4 successi su
n=10 prove, dunque
n
10 
4
P(4 successi su 10 prove )    p x (1  p) nx   0.2 (0.8)104  8.8 %
 x
4
n
10  10!
n!
avendo ricordato che   
e dunque in questo caso   
 210
 x  x!(n  x)!
 4  4!16!
La probabilità cercata è quindi P(x=4, n=10; p=0.2)=B(4,10;2)=8.8 %9 %.
La probabilità di ottenere invece almeno 1 successo su 5 prove si può calcolare come
P=P(x≥1 su n=5)=1-P(x=0 su n=5)=1-(0.8)5=67 %.
In modo molto più laborioso, questa stessa probabilità P si può anche calcolare come:
5
5
 5 i
 0.2 (1  0.2) 5i
B
(
i
,
5
,
0
.
2
)



i 1
i 1  i 
22a) Dato
32b)
In un mese lo studente interroga un numero complessivo di ragazze n=4100=400.
P(x=4, n=400, p=0.2)=B(4,400;0.2)=7.110-33 calcolata come:
 4  4
400!
400  399  398  397 4 396
0.2 (1  0.2) 396 
P  
0.2 4 0.8396 
0.2 0.8  7.110 33
400
4
!

396
!
4

3

2

1


La seconda probabilità cercata, di ottenere invece tra 50 e 80 successi su 400 prove si può ottenere,
con enorme laboriosità, dalla somma di tutte le 31 probabilità elementari di interesse:
80
80 400

 x

0.2 (1  0.2) 400 x
B
(
x
,
400
,
0
.
2
)



x
x 50
x 50

Tuttavia lo svolgimento a mano di questo calcolo risulta proibitivo.
Si può osservare che il numero n di prove è “elevato” tanto da ottenere np=80>>5 e n(1—p)=320>>5, il che
consente dunque di approssimare la distribuzione binomiale con una distribuzione normale che ha la stessa
media =np=80 e varianza  2=np(1-p)=64. La deviazione standard è  =8 e possiamo standardizzare la
variabile normale mediante la trasformazione z=(x-)/, così da cercare l’integrale della VNS tra i due
estremi za=(49.5-80)/8=-3.81 e zb=(80.5-80)/8=0.06. Visti i due valori za<-3.8 e zb0, l’integrale della
cumulativa P=(b)-(a)=P(za<z<zb)=P(a<x<b), senza necessità di calcolarlo, deve essere circa uguale a
metà dell’area sotto tutta la curva di densità di probabilità della VNS e dunque P0.5=50 %. Cercando i
valori di (z) nella tabella della cumulativa per la VNS si ottiene (b=0.06)=0.52392252 % e invece
(a=-3.81)=1-(+3.81)=1-0.999952=0.0000480.005 %<<1 %. Pertanto P= (b)- (a)52 %.
La variabile casuale “numero di telefonate arrivate in un determinato tempo” segue una distribuzione
poissoniana. Infatti, in questo caso si parte da un processo di Bernoulli (una telefonata può arrivare o non
arrivare), con una probabilità di “successo” molto bassa se si riduce a piacere l’intervallo di tempo ed un
numero molto alto di estrazioni (le telefonate che possono arrivare in un anno sono molte ma più in generale
il numero di estrazioni, o verifiche nell’intervallo elementare di tempo, contenute in un intervallo di tempo
finito è molto elevato). Inoltre l’arrivo delle telefonate si può ritenere in prima approssimazione scorrelato
(questa ipotesi ad un’analisi fine del caso potrebbe anche non essere valida: si pensi ad esempio a giornate
speciali come il giorno del compleanno del ragazzo oppure festività come il Natale/Capodanno). Siamo
quindi nelle condizioni in cui si può considerare valido il limite per n→ di una distribuzione binomiale: è
32c)
_______
Pag. 5/12
e   x
,
x  0,1,2... si ottiene matematicamente
x!
dalla distribuzione binomiale quando il numero di estrazioni n è molto alto e la probabilità di successo p è
molto bassa, con  = np finito e pari al valore medio delle estrazioni nel tempo.
Su un mese di 30 giorni il valor medio delle telefonate in arrivo è  = [1/(2 g)] × 30 g = 15.
La probabilità di ricevere esattamente 20 telefonate nel mese è pari a:
e  x e 151520
P(x=20)=
=4.2 %

x!
20!
Nell’arco (intervallo) temporale di un anno di 366 gg il numero medio di telefonate è ancora descritto
da una VC di Poisson ma ora con media  = 1/(2 gg) × 366 gg = 183. Per calcolare la probabilità richiesta
P=P(x>200 con =183) occorrerebbe calcolarla per differenza come P=1-P(x200 con =183) e dunque
200 e    x
200e 183183 x
1 
P=P(x>200 con =183)=P(x200 con =183)= 1  
x!
x  0 x!
x 0
La impraticabilità del conto, senza l’ausilio del calcolatore, è del tutto evidente.
Tuttavia, si può osservare che il numero di intervalli elementari di tempo in un anno è alto a piacere
(riducendo la durata dell’intervallo) mantenendo qui una media =183>5, il che consente di approssimare la
distribuzione poissoniana con una distribuzione normale che ha la stessa media ==183 e varianza
 2==183. La deviazione standard è  13.53 e possiamo standardizzare la variabile normale mediante la
usuale trasformazione z=(x-)/ (“standardizzazione” di una VN in VNS), così da cercare l’integrale della
VNS tra i due estremi z*=(200.5-183)/13.53+1.29 e +. Tale coda destra della gaussiana corrisponde in area
anche alla coda sinistra con z=-z* e dunque la probabilità cercata è P= (-1.29)0.0985310 %.
Il calcolo esatto effettuato mediante la distribuzione di Poisson, effettuato con l’ausilio del calcolatore, porta
a una probabilità P=P(x>200 con =183)=11%, che è lo stesso risultato ottenuto con l’approssimazione
gaussiana.
possibile dimostrare che la distribuzione di Poisson f ( x) 
L’intervallo (spesso e anche qui di tempo) che intercorre tra il verificarsi di un evento e il
successivo per eventi distribuiti secondo la distribuzione di Poisson, segue una distribuzione esponenziale
(continua e con PDF f(t)=exp(-t) dove  è il parametro della distribuzione) Il parametro  è il numero
medio di arrivi nell’intervallo unitario considerato (se l’intervallo ha un’unità di misura M, le dimensioni di 
sono M-1 e quelle di t ancora M per cui il prodotto t rimane sempre un numero puro) che coincide sia con la
media che con la varianza della distribuzione di Poisson. La distribuzione cumulativa della distribuzione
esponenziale è invece F(t)=1-exp(-t).
Nel caso considerato, cercando la probabilità che l’intervallo di tempo tra la telefonata avvenuta e quella
successiva superi i 5 giorni (tempo T=5 g con =0.5 g-1), si può osservare che tale probabilità è pari a uno
meno la probabilità che l’intervallo di tempo intercorrente tra le telefonate sia inferiore o uguale a 5 giorni:
pertanto P(t>T=5 g)=1-P(tT=5 g)=1-F(T=5 g)=exp(-T)=exp(-2.5)8.2 %.
Oppure tale probabilità si può anche calcolare come la probabilità di non ricevere telefonate per 5 giorni e
quindi P(x=0, =2.5)=[(2.5)0×e-2.5]/0!=0.082=8.2 %.
22d)
_______
Pag. 6/12
(30 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3) Un preside di Scuola vuole valutare se per un dato corso si ha una probabilità di promozione troppo alta.
La media di promozione attesa è pari al 60 % degli iscritti, mentre un corso si ritiene “troppo facile” se la
probabilità di promozione supera il 75 %. Per questo particolare corso, su 70 studenti iscritti, sono stati
promossi 62 studenti.
3a) Si effettui un test statistico, con livello di significatività pari al 5 %, con lo scopo di verificare se la
probabilità di promozione per questo corso è maggiore del 75 %.
3b) Quanto vale il valore P del test effettuato?
3c) Si ripeta il test su un singolo appello con 4 studenti, tutti promossi. Questo test si può considerare
attendibile come il precedente?
_______
Pag. 7/12
53a) Effettuiamo
il test statistico richiesto (test di proporzioni, in quanto vogliamo stimare la probabilità
di un avvenimento). La VC binomiale che conta il numero di studenti promossi è approssimabile con una
VC gaussiana se n·p>5 e n·(1-p)>5 e in questo caso tale ipotesi è bene verificata (si ottiene 52.5 e 8.75,
rispettivamente): dunque potremo eseguire un test Z. Seguiamo gli 8 passi descritti nel libro di testo:
1. Il parametro di interesse è la probabilità di promozione p
2. H0: p = 0.75 (ipotesi nulla)
3. H1: p > 0.75 (il test è a un lato solo, in quanto vogliamo dimostrare che la probabilità di promozione è
maggiore del 75 %)
4. Livello di significatività richiesto  = 0.05 (attenzione, su un solo lato)
X 
X  np0
5. La statistica di test è: Z 0 


np0 (1  p0 )
6. Rifiutiamo H0 se Z > Z = 1.645. (questo risultato si ricava dalla tabella della funzione cumulativa
(z) in corrispondenza del valore di probabilità  previsto nel test)
X 
X  np0
62  70  0.75
62  52.5
7. Calcoliamo quindi Z 0 
 2.622




np0 (1  p0 )
70  0.75  0.25
13.125
8. Concludendo, poiché Z0 = 2.622 > Z , rifiutiamo l’ipotesi nulla con livello di significatività 0.05:
c’è abbastanza evidenza che la probabilità di promozione sia maggiore del 75 %.
23b) Il
valore P, che corrisponde al livello di significatività (valore di probabilità) di soglia tra
l’accettazione ed il rifiuto di H0, si può ricavare direttamente dalla tabella dei valori della funzione
cumulativa in corrispondenza del valore ZP=Z0 del test considerato:
ZP = Z0 = 2.622, per cui il valore P = 1-(Z0) =1-0.9956 0.44 %.
L’interpretazione di questo valore è che l’ipotesi nulla sarebbe stata dichiarata falsa (rifiutata) per qualsiasi
livello di significatività  maggiore dello 0.44 %. In questo caso con  = 5 % si è rifiutato H0.
33c) Ripetiamo
il test, partendo direttamente dal punto 7., perché i punti precedenti sono identici:
X  np0
4  4  0.75
7. Calcoliamo quindi Z 0 
 1.155

np0 (1  p0 )
4  0.75  0.25
8. Concludendo, poiché Z0 = 1.155 < Z , in questo caso non rifiutiamo l’ipotesi nulla con livello di
significatività 0.05. Evidentemente non abbiamo abbastanza dati per rifiutare l’ipotesi nulla.
In realtà questo test è decisamente poco attendibile, in quanto l’approssimazione normale della
distribuzione binomiale, che sta alla base del procedimento svolto (si veda il punto 5. del test dove è stato
scelto di utilizzare una statistica Z), in questo caso non è applicabile. Nella pratica usuale, l’approssimazione
gaussiana alla binomiale si considera accettabile per np>5 e n(1-p)>5. In questo caso abbiamo np=3 e
n(1-p)=1, quindi le probabilità calcolate con un modello gaussiano e con il corrispondente test Z sono
sicuramente approssimate male.
_______
Pag. 8/12
(40 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4a) Si spieghi perché uno strumento che esegue misure quantizzate presenta una incertezza intrinseca. A
quale categoria appartiene questa incertezza?
4b) Si dimostri, mostrando tutti i passaggi svolti, che uno strumento con misura uniformemente quantizzata
presenta una incertezza intrinseca direttamente proporzionale alla larghezza dell’intervallo di quantizzazione.
Per la dimostrazione si consideri un intervallo di quantizzazione uniforme tra i valori a (estremo inferiore) e b
(estremo superiore), come mostrato in figura. N.B. Si ricavino per la misura la sua varianza e la sua
incertezza standard.
a
b
x
4c) Si ricavi, svolgendo tutti i passaggi, il valore atteso per una misura che cade nell’intervallo tra a e b.
4d) Un uomo di massa 78,115 kg (nota per ipotesi con incertezza trascurabile) sale su una bilancia
elettronica digitale con portata 150,0 kg e risoluzione 100 g. Si indichi la misura, m ed u(m), dello strumento
(ritenuto ideale). Si esprima la misura con l’incertezza in notazione concisa e a due cifre decimali.
4e) Una seconda determinazione della massa dello stesso uomo, tuttavia effettuata in modo diverso e
indipendente, ha portato a una PDF gaussiana centrata sul valore M=79 kg e di piena larghezza 3 kg al 99.7 %
di probabilità. Si esprima la misura di M e si valuti il minimo fattore di copertura necessario per avere
compatibilità tra questa misura e la precedente.
OPZIONALE
4f) Una terza misura della massa dell’uomo è stata eseguita effettuando misure ripetute con una bilancia
analogica. Sono state rilevate 51 letture che hanno fornito un valor medio Mrip=78.5 kg con una deviazione
standard campionaria pari a 8 kg.
Si valuti rapidamente la compatibilità tra questa terza misura e le due precedenti.
Si stimi l’incertezza dell’incertezza, u[(u(Mrip)], per questa misura.
_______
Pag. 9/12
strumento con misura quantizzata presenta una incertezza intrinseca in quanto a un’intera fascia di
valori del misurando lo strumento associa un unico valore numerico misurato. Pertanto il valore di
misura è rappresentativo di un intervallo di valori, per ipotesi con densità di probabilità (PDF) di tipo
uniforme (rettangolare), e la sua media e la deviazione standard (incertezza tipo) si possono calcolare
mediante analisi statistica su una PDF assunta a priori (incertezza di categoria B). Questa incertezza viene
solitamente chiamata incertezza di quantizzazione ed è intrinseca a tutti i fenomeni e misure che riportano
su una scala di valori discreti una grandezza originariamente continua.
24a) Lo
24b) È
noto che un intervallo di quantizzazione uniforme di larghezza x=(b-a) ha valore centrale (medio)
(x)=(b+a)/2 e varianza 2(x)=(x)2/12 da cui una deviazione standard o incertezza tipo (x)=u(x)=x/ 12 .
Per dimostrare questi risultati, cominciamo riportando la funzione analitica che descrive la PDF uniforme
nell’intervallo [a, b]:
 0
 1
px   
b  a
 0
xa
a xb
xb
Calcoliamo quindi la sua varianza:


2
UNI
b

x     x  b  a  px dx    x  b  a  1 dx 
2 
2  ba
a 
 
2
  x  b  a 
1 
2 

ba 
3

3




2
b
1

ba
1  b  a   a  b 
 


3  2   2 
3
3

1 1
b  a 2
3



2
b

a


12
 24 b  a
a
da cui l’incertezza tipo è appunto u(x)=(x)=
ba
12
e risulta direttamente proporzionale alla larghezza
dell’intervallo. Varianza e incertezza standard sono dunque 2=(b-a)2/12 e =(b-a)/ 12 0.29×(b-a).
24c)
Il valore atteso della misura si calcola come:

b
1
 UNI x    xpx dx  
dx 
 x

b

a
a

1  x2 

ba
 2 
b

a


1 1 2
ba
b  a2 
ba 2
2
Dunque la media è =(b+a)/2.
24d) Il
valore numerico letto dalla bilancia è di 78.1 kg. Il valore misurato dallo strumento digitale ideale è
m=78.100 kg, mentre l’incertezza tipo u(m)=m/ 12 =(100 g)/ 12 =29 g=0.029 kg, avendo già espresso il
valore numerico di m con un numero di cifre significative proporzionate al livello di incertezza della misura
(quest’ultima espressa, come dalle raccomandazioni internazionali in materia, con 2 cifre significative: nel
caso specifico, le decine e le unità di grammi). Dunque in notazione concisa m=78.100(29) kg.
questo caso il valor medio è M=79 kg mentre l’incertezza standard è u(M)=(3 kg)/6=0.5 kg, dato che
99.7 % di confidenza corrisponde per una gaussiana a un intervallo di confidenza a ±3 dalla media: dunque
la misura in notazione concisa è M=79.0(5) kg oppure M=79.0 kg±0.5 kg.
24e) In
_______
Pag. 10/12
Siamo in presenza di 2 misure differenti, e assunte come indipendenti, della medesima grandezza fisica. Le
due misure hanno fornito valori diversi e con incertezze differenti. Si avrà compatibilità tra coppie di
misure indipendenti se la distanza tra i due valori di misura è inferiore alla radice quadrata della
somma quadratica delle due incertezze, eventualmente estesa per un fattore di copertura k:
M   M   k u 2 M    u 2 M   , con valori possibili/plausibili k=1, 2, o 3. Naturalmente a valori k
inferiori corrispondono compatibilità più forti.
Nel caso considerato m=78100 g con u(m)=29 g e M=79000 g con u(M)=500 g. si ottiene compatibilità per un
fattore fattori di copertura k1.8, e pertanto kcomp,min=1.8.
OPZIONALE (punti aggiuntivi)
24f) L’incertezza, di categoria A sul valor medio M =78.5 kg delle n=51 misure ripetute, si valuta come
rip
uA(Mrip)=s(Mrip,i)/ n =(8 kg)/ 51 =1.1 kg. Essendo la distanza tra questa misura e le altre inferiore alla
incertezza della misura stessa è evidente che la misura è compatibile, già con kcomp=1, con le altre.
Il numero di gradi di libertà della stima di incertezza di categoria A è =A=n-1=50 e dunque la
corrispondente incertezza relativa ur[u(Mrip)]=1/ 2 =1/ 100 =0.1=10-1 per cui l’incertezza assoluta
sull’incertezza è u[(u(Mrip)]=ur[u(Mrip)]u(Mrip)=0.1(1.1 kg)0.1 kg.
TOT. 12 punti su 10 ma includendo anche la domanda/risposta OPZIONALE.
_______
Pag. 11/12
Esercizio ___ (continua)
[foglio addizionale per eventuale esercizio “lungo”]
INDICARE IL RICHIAMO IN FONDO ALLA PAGINA DELL’ESERCIZIO CORRISPONDENTE
_______
Pag. 12/12