Cattedra (P – Z) - Prof. Giuseppe Arbia

CORSO DI STATISTICA
Cattedra (P – Z) - Prof. Giuseppe Arbia
Soluzioni della serie di esercizi n. 7 (10 gennaio 2003)
Quesito n. 1 Un amico (?) vi chiede di scommettere € 5 nel lancio simultaneo di 2 dadi regolari. Si perde la posta in
gioco se non esce un sei, si riceve il doppio della posta se esce un sei e si riceve il triplo della posta se escono due sei.
Conviene giocare a questo gioco? (Suggerimento: Calcolare la speranza matematica). Qual è la varianza del guadagno?
Vi sono 36 casi possibili. 62 = 36
1, 1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,3 6,5 6,6
In 1 caso si vince il triplo (6,6)
In 10 casi si vince il doppio (6,1 6,2 6,3 6,3 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6)
In 33 casi si perde
La variabile casuale X = guadagno quindi assume la seguente funzione di probabilità:
X
-5
10
15
Prob(X)
25/36
10/36
1/36
Il cui valore atteso è:
E(X) =  5
25
10
1  125  100  15
10
 10  15 
   0,271
36
36
36
36
36
Essendo il guadagno atteso negativo, non conviene giocare a questo gioco. (In un gioco equo il guadagno atteso, cioè
la speranza matematica del guadagno, deve essere = 0)
La varianza del guadagno è:
X
-5
10
15
X-E(X)
(X-E(X))^2 P(X)
(x-E(X))^2 P(X)
-4,729 22,36344
0,694
15,53016736
10,271 105,4934
0,278
29,30373361
15,271 233,2034
0,028
6,477873361
1,000
51,312
VAR(X) = 51.312
Quesito n. 2 - Un’urna contiene 5 palline contrassegnate con i numeri da 1 a 5. Si estraggono congiuntamente 2 palline
in modo casuale e si indica con X la variabile casuale “numero più alto estratto”, con Y la variabile casuale “numero più
basso estratto” e con Z la variabile “somma dei due numeri”. Calcolare la speranza matematica (media) e la varianza di
X, Y e Z.
Vi sono 20 casi possibili.
1,2 1,3 1,4 1,5
2,1
2,3 2,4 2,5
3,1 3,2
3,4 3,5
4,1 4,2 4,3
4,5
5,1 5,2 5,3 5,4
La variabile casuale X = numero più alto estratto quindi assume la seguente funzione di probabilità:
X
1
2
3
4
5
Prob(X)
0
2/20
4/20
6/20
8/20
Il cui valore atteso è:
E(X) = 2
2
4
6
8 4  12  24  40 80
3 4 5 

4
20
20
20
20
20
20
La varianza della X è:
X
1
2
3
4
5
X-E(X)
-3
-2
-1
0
1
(X-E(X))2
9
4
1
0
1
Prob(X) =f(X)
0
2/20
4/20
6/20
8/20
f(X) (X-E(X))2
0
8/20
4/20
0
8/20
20/20
VAR(X) = 1
La variabile casuale Y = numero più basso estratto assume la seguente funzione di probabilità:
Y
1
2
3
4
5
Prob(Y)
8/20
6/20
4/20
2/20
0
Il cui valore atteso è:
E(Y) = 1
8
6
4
2 8  12  12  8 40
2 3 4


2
20
20
20
20
20
20
La varianza della Y è:
Y
1
2
3
4
5
Y-E(Y)
-1
0
1
2
3
VAR(Y) = 1.2
(Y-E(Y))2
1
0
1
4
9
Prob(Y) =f(Y)
8/20
6/20
4/20
2/20
0
f(Y) (Y-E(Y))2
8/20
0
4/20
16/20
0
24/20
La variabile casuale Z = somma dei due numeri assume la seguente funzione di probabilità:
Z
3
4
5
6
7
8
9
Prob(Z)
2/20
2/20
4/20
4/20
4/20
2/20
2/20
Il cui valore atteso è:
E(Z) = 3
2
2
4
4
4
2
2 6  8  16  24  28  16  18 116
4 4 6 7 8 9


 5.8
20
20
20
20
20
20
20
20
20
La varianza della Z è:
Z
3
4
5
6
7
8
9
Z-E(Z)
-2.8
-1.8
-0.8
0.2
1.2
2.2
3.2
(Z-E(Z))2
7.84
3.24
0.64
0.04
1.44
4.84
10.24
Prob(Z) =f(Z)
2/20
2/20
4/20
4/20
4/20
2/20
2/20
f(Z) (Z-E(Z))2
0.784
0.324
0.128
0.008
0.288
0.484
1.024
3.04
VAR(Z) = 3.04
Quesito n. 3 – (proseguimento quesito n.9 - 6 serie) Un’urna contiene N1 palline azzurre e N – N2 palline nere, con p =
N1 /N . Estraendo con reimmissione n palline,
Qual è la probabilità di ottenere (a) nessuna nera?, (b) 1 nera?, (c) 2 nere?, (d) x nere?
a) P(NESSUNA NERA) = P(AA…….A) = p p……… p = pn
b) P(1 nera) = P(NA……A) + P(AN……A) + ………+P(AAN) = n (p……… p (1-p)) = n pn-1 (1-p)
 n
 n
 n
  P(NNA……A) =   (p……p (1-p)(1-p)) =   pn-2 (1-p) 2
 2
 2
 2
 n
 n
d) P (x nere) =   P( 
NN......
NN
AAA
......
AAA
) =   (p……p (1-p)….(1-p)) =







 x
 x
xvolte
( n  x ) volte
c) P (2 nere) =
 n  n-x
  p (1-p) x
 x
Quesito n. 4 Considerare il lancio di due tetraedi (dadi a 4 facce) con i lati numerati da 1 a 4. Siano X il più piccolo dei
due numeri usciti e Y il più grande. Determinare:
a)
La speranza matematica e la varianza delle due variabili
b)
La probabilità P(X2,Y2)
c)
X e Y sono indipendenti?
Vi sono 16 casi possibili.
1,1 1,2 1,3 1,4
2,1 2,2 2,3 2,4
3,1 3,2 3,3 3,4
4,1 4,2 4,3 4,4
La variabile casuale X = numero più piccolo dei 2 numeri usciti, assume la seguente funzione di probabilità:
X
1
2
3
4
Prob(X)
7/16
5/16
3/16
1/16
Il cui valore atteso è:
7
5
3
1 7  10  9  4 30
2 3 4 

 1.875
16
16
16
16
16
16
E(X) = 1
La varianza della X è:
X
1
2
3
4
X-E(X)
-0.875
0.125
1.125
2.125
(X-E(X))2
0.7656
0.0156
1.265
4.5156
Prob(X) =f(X)
7/16
5/16
3/16
1/16
f(X) (X-E(X))2
0.3349
0.0048
0.237
0.2822
0.8589
VAR(X) = 0.8589
La variabile casuale Y = numero più grande dei 2 numeri usciti, assume la seguente funzione di probabilità:
Y
1
2
3
4
Prob(Y)
1/16
3/16
5/16
7/16
Il cui valore atteso è:
1
3
5
7 1  6  15  28 50
2 3 4 

 3.125
16
16
16
16
16
16
E(Y) = 1
La varianza della Y è:
Y
1
2
3
4
Y-E(Y)
-2.125
-1.125
-0.125
0.875
VAR(Y) = 0.8589
(Y-E(Y))2
4.5156
1.265
0.0156
0.7656
Prob(Y) =f(Y)
1/16
3/16
5/16
7/16
f(Y) (Y-E(Y))2
0.2822
0.237
0.0048
0.3349
0.8589
b)
La funzione di probabilità doppia è
X
1
2
3
4
Marginale
Y
P(X2,Y2) =
1
1/16
0
0
0
1/16
2
2/16
1/16
0
0
3/16
3
2/16
2/16
1/16
0
5/16
4
2/16
2/16
2/16
1/16
7/16
Marginale
7/16
5/16
3/16
1/16
1
2
2
1
2
1
9
    

16 16 16 16 16 16 16
(zona in grassetto nella tabella precedente)
c) No perché, ad esempio, nella prima casella della tabella (X=1 ed Y=1) si ha 1/16 * 7/16  1/16.
Quesito n. 5 Un mazzo di carte è formato da una regina, un re, un asso di picche e un asso di cuori. Si attribuiscono 2
punti ai due assi, 1 punto al re e 0 punti alla regina. Si estraggono con reinserimento 2 carte. Sia X la variabile casuale
che descrive la somma dei punteggi ottenuti.
a) Costruire lo spazio degli eventi
b) Costruire la funzione di probabilità di X
c) Determinare la speranza matematica e la varianza di X
Casi possibili = 16 = 42
Prima carta 
Seconda carta
Q
K
A
A
Q
K
A
A
0
1
2
2
1
2
3
3
2
3
4
4
2
3
4
4
Quindi
X
0
1
2
3
4
P(X)
1/16
2/16
5/16
4/16
4/16
X P(X)
0
2/16
10/16
12/16
16/16
40/16
X-E(X)
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
(X-E(X))2
6.25
2.25
0.25
0.25
2.25
P(X) (X-E(X))2
0.3906
0.2812
0.0781
0.0625
0.5625
1.375
E(X) = 2.5
Var(X) = 1.375
Quesito n. 6 Il consumo annuale X di pesce in Italia è distribuito normalmente con media 15 Kg e varianza 225.
a) Calcolare la probabilità che una persona scelta a caso consumi una quantità di pesce compresa tra 15 Kg e 19
Kg di pesce.
b) Calcolare la probabilità che una persona scelta a caso consumi esattamente una quantità di pesce di 10 Kg.
c) Calcolare la probabilità che estraendo 5 persone con reiserimento quattro di esse consumino una quantità di
pesce compresa tra 15 Kg e 19 Kg di pesce.
a) X  N(15, 225)
2 = 225
 = 15
P(15<X<19) = P((15-15)/15 < Z < (19-15)/15) =
= P(0< Z < 0,266) = P(-  < Z < 0,266) – P(-  < Z < 0) =
= 0,6026 – 0,5 = 0,1026
b) P(X = 10 ) = 0
c) P(15<X<19) = 0,1026 = p
P(4 persone su 5 tali che 15<X<19 ) =
= (5 4) p4 (1-p) = 5 (0,1026)4 (0,8974) = 0,00049
Legge binomiale