Macro competenze: applicazioni dell'algebra alla geometria piana.
1) In un triangolo isoscele ABC la differenza tra il lato e la semibase è cm 4; l’altezza AD
misura cm 8. Determinare la lunghezza del segmento MN parallelo alla base e tale che l’area
del triangolo AMN sia uguale ai 9/16 dell’area del triangolo dato. Determinare inoltre la
lunghezza del raggio del cerchio inscritto.
2) Sui cateti di un triangolo rettangolo si descrivono due semicerchi esterni al triangolo; il
semicerchio circoscritto al triangolo determina su di essi due figure, dette “Lunule di
Ippocrate”, la cui somma è equivalente al triangolo rettangolo dato.
3) Trovare le misure dei lati di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza di raggio
cm 4 ed avente il perimetro lungo cm 16√5.
4) In un semicerchio di raggio r inscrivere un trapezio di perimetro 2p.
5) Circoscrivere ad un semicerchio di raggio r un trapezio isoscele di perimetro 2p.
6) Un rettangolo ed un triangolo isoscele hanno la stessa base lunga dm 120 ed ugual altezza;
determinare la misura dell’altezza sapendo che il perimetro del rettangolo è 5/4 di quello del
triangolo.
7) In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 60°, il perimetro
misura cm 50 e l’area cm2 50√3. Determinare le lunghezze dei lati del trapezio.
8) In un semicerchio di centro O e diametro AB = 30 cm si conduca una corda MN parallela ad
AB; sia P la proiezione di M sul diametro; calcolare la lunghezza della corda sapendo che il
perimetro del trapezio MNOP è lungo cm 60.
9) L’area di un segmento di cerchio determinato da una corda uguale al raggio è cm2 3(2π3√3). Determinare la misura del raggio del cerchio.
10) Considerare un triangolo rettangolo avente i lati di lunghezza 5, 12 e 13. Un cerchio di
raggio 1 si muove all’interno del triangolo in modo da toccare sempre almeno uno dei suoi
lati. Quanto è lungo il percorso descritto dal cerchio dopo essere tornato alla posizione di
partenza.
11) Un appezzamento di terreno di forma triangolare deve essere diviso in due parti di ugual
superficie per mezzo di una linea retta passante per un punto assegnato di un lato del
triangolo. Come si può fare? E se l’appezzamento fosse di forma quadrangolare e lo si
dovesse dividere con una linea retta passante per un suo vertice?
12) Nella figura a destra determinare il raggio del cerchio piccolo,
sapendo che il quarto di cerchio inscritto nel quadrato ha raggio
unitario.
13)
Macro competenze: dimostrazioni di geometra con metodo sintetico.
1) Dagli estremi di una corda AB non passante per il centro di una circonferenza conduci le
rette ad essa tangenti; da un punto P della circonferenza traccia le perpendicolari PH alla
corda AB, PQ e PS alle due tangenti e dimostra che PH è medio proporzionale fra PQ e PS.
2) Un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza; dimostra che il diametro è medio
proporzionale fra le basi del trapezio.
3) In un triangolo ABC, rettangolo in A, traccia la bisettrice dell’angolo di vertice B che
incontra AC in D; dal punto medio M dell’ipotenusa BC traccia la perpendicolare
all’ipotenusa stessa che incontra la retta della bisettrice in P e il lato AC in Q.
Dimostra che:
a) i triangoli ADB e BMP sono simili
b) il triangolo DQP è isoscele
c) CD = 2MP
4) Due circonferenze γ1 e γ2 sono secanti. Per un punto esterno alle due circonferenze ed
appartenente alla retta della corda comune MN traccia una secante che incontra γ1 in A e B
(con PA < PB) ed una seconda secante che incontra γ2 in C e D (con PC < PD).
Dimostra che il rettangolo di lati PB e AP è equivalente al rettangolo di lati PD e PC.
5) Un triangolo ABC è inscritto in una semicirconferenza di diametro BC; una retta
perpendicolare al diametro per un suo punto P incontra la retta del lato AC in D, la retta del
lato AB in F e la circonferenza in E. dopo aver dimostrato che i triangoli DPC, AFD e ABC
sono simili, dimostra che PE è medio proporzionale fra PD e PF.
Macro competenze: equazioni e disequazioni letterali.
2ax3 – (4a2–2a+1)x2 – (4a2–2a+1)x + 2a = 0
(1 – m)x2 – 3x – m – 1 > 0
a+x
x+3
+ ––––––
(a – 2)2
a2–5a+6
1
a–3
x – 3 2a
<
– 6 > – x2 – a
Macro competenze: disequazioni di grado superiore al 2°.
4x4 – 17x3 + 17x – 4 0
6(x – 1)2
7
100
+
x2
x
3x2 + 6x + 3
2x5 – 5x4 + 2x3 + 2x2 – 5x + 2 < 0
(81x4 – 16)15 (27 – 64x3)16
0
(2x2 + 3x√3 – 6) 17
4x + 1 | 2x2 + x |
x6 – 1 < 0
x6 – 1 > 0
x6 + 1 < 0
x6 + 1 > 0
x7 – 1 < 0
x7 – 1 > 0
x7 + 1 < 0
x7 + 1 > 0
x2n – a < 0
x2n – a > 0
x2n + a < 0
x2n + a > 0
x2n+1 – a < 0
x2n+1 – a > 0
x2n+1 + a < 0
x2n+1 + a > 0
Macro competenze: equazioni irrazionali.
Macro competenze: disequazioni razionale di grado 2.
Fare riferimento al testo in adozione.
Macro competenze: sistemi di disequazioni di grado 2 in un incognita.
Fare riferimento al testo in adozione.
Macro competenze: disequazioni di grado 2 con valore assoluto.
Fare riferimento al testo in adozione.
Per ogni macro competenze fare anche riferimento al testo in adozione.
