Il principio d`induzione

Il principio d’induzione
Questo metodo dimostrativo è un’applicazione dell’assioma P5 del
sistema formale per l’aritmetica elementare elaborato da Giuseppe
Peano e Richard Dedekind alla fine dell’Ottocento.
In generale il principio d’induzione si applica per dimostrare enunciati
della forma seguente:
La proprietà P(n) vale per ogni numero naturale nn0,
dove n0 è un numero naturale fissato.
1. Si constata dapprima che vale P(n0). (Base dell’induzione)
2. Quindi si prova che se la proprietà vale per nn0, allora essa vale
anche per n+1, cioè P(n) implica P(n+1). (Passo induttivo)
3. Si conclude che siccome vale P(n0), vale P(n0+1), e siccome vale
P(n0+1), vale P(n0+2), e così via.
Con questa tecnica è possibile provare, ad esempio, la validità della
seguente formula per tutti i valori interi positivi di n:
n
i 
i 1
n(n  1)
2
(•)
Essa ci dice che la somma dei primi n numeri interi positivi è uguale
all’espressione a secondo membro.
Applicare il principio d’induzione significa trovare un modo generale
per derivare logicamente l’enunciato per n+1 dall’enunciato per n. Una
volta che ciò è stato fatto, basterà verificare la nostra formula per n=1:
infatti da ciò discenderà, secondo il modo generale, la validità della
formula per n=2, dalla quale seguirà poi la validità per n=3, e così
via: questa catena di deduzioni percorrerà, passo dopo passo, l’intera
sequenza dei numeri interi positivi.
Formalizziamo il principio d’induzione applicandolo al nostro caso.
Indichiamo con P(n) la formula (•). Il più piccolo valore per cui
dobbiamo dimostrare la validità di P(n) è n0=1.
1. Base dell’induzione: P(1) vale.
L’enunciato P(1) è quello ottenuto ponendo n=1 nella (•) (la
sostituzione va effettuata ogni qual volta compare n):
1
i 
i 1
1(1  1)
2
Si tratta ora di controllare che questa uguaglianza è vera. Il secondo
membro è certamente uguale a 1. Il primo membro è la somma ridotta
ad un solo addendo, i=1, che, naturalmente, vale anch’essa 1.
2. Passo induttivo: se per n1, vale P(n), allora vale P(n+1).
Dobbiamo provare l’implicazione P(n) P(n+1) per n1. Assumiamo
dunque che P(n) valga per qualche n1, come ipotesi (ipotesi
induttiva) e ne deduciamo P(n+1), che è la formula ottenuta
sostituendo, nella (1), tutti gli n con n+1:
n 1
i 
i 1
(n  1)( n  2)
2
Proviamo che il primo membro è uguale al secondo utilizzando
l’identità P(n).
n 1
n
n(n  1)
n(n  1)  2(n  1) (n  1)( n  2)
 (n  1) 

(**)
2
2
2
 i   i  (n  1) 
i 1
(*)
i 1
L’uguaglianza () si ottiene mettendo in evidenza nella somma
l’ultimo addendo, che è n+1: si è così decomposta la somma degli
addendi 1, 2, …, n, n+1 come somma degli addendi da 1 a n, più n+1.
Per scrivere la () abbiamo utilizzato la P(n), che ci consente di
sostituire la somma
n
i
i 1
con
n( n  1)
. Le restanti uguaglianze sono
2
determinate da trasformazioni algebriche elementari.
Ciò conclude la dimostrazione per induzione del nostro enunciato.
Nota: Il numero che compare a secondo membro della (•) è l’n-esimo
numero triangolare.
Un aneddoto narra che il piccolo Gauss, alle scuole elementari, scoprì
da solo la (•) e la applicò per calcolare velocemente la somma dei
primi 100 numeri interi positivi.