File - Massimo Catella
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Cap.2 Geometria solida Geometria solida Piani nello spazio Due piani nello spazio e possono assumere due posizioni: 1) I piani e 2) I piani e sono sono paralleli: non hanno in comune incidenti: nessun punto. La hanno in distanza tra i due comune una piani è il segmento retta r che AB ad essi rappresenta perpendicolare. l’intersezione tra i due piani. Piani e semipiani Un piano non ha né inizio né fine: si estende illimitatamente. Un semipiano ha origine in una retta e da lì in poi si estende senza fine. Angoloidi e angoli diedri Si chiama angolo diedro ciascuna delle due zone in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi la retta origine in comune. I due semipiani si chiamano facce dell’angolo diedro e la retta si chiama spigolo del diedro. Il diedro che contiene il prolungamento delle due facce si chiama diedro concavo, mentre quello che non le contiene si chiama diedro convesso. In parole povere il diedro concavo è tra i due quello più grande, mentre il diedro convesso è il più piccolo. Vista frontale Vista dall’alto Angoloide Si chiama angoloide la parte di spazio racchiusa tra tre o più facce aventi un vertice in comune. 1 Cap.2 Geometria solida Solidi Un solido è una figura geometrica che occupa uno spazio tridimensionale. La misura dello spazio che il solido occupa è chiamato volume. La superficie di un solido è la regione che separa la zona interna del solido da quella esterna. I solidi si possono classificare in due I poliedri a loro volta si suddividono in due gruppi categorie. 1. poliedri convessi (non hanno rientranze) 1. Solidi a superficie curva 2. poliedri concavi (hanno almeno una 2. poliedri rientranza) rientranza poliedro Solido a superficie curva poliedro concavo poliedro convesso Studieremo solo i poliedri convessi. La superficie di una figura solida (poliedro oppure solido a superficie curva) è formata dalla parte del solido che separa la regione interna da quella esterna. Parti di un poliedro Poliedro: solido avente la superficie formata da poligoni. Diagonale di un poliedro: segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia (è un segmento che unendo due vertici deve attraversare la zona interna del solido). Relazione di Eulero Per ogni poliedro vale la relazione di Eulero: f v s 2 Dove f indica il numero delle facce del poliedro, v il numero dei vertici ed s il numero degli spigoli. I poliedri che studieremo si suddividono in tre gruppi: 1. i prismi 2. le piramidi 3. i poliedri regolari Per cominciare studieremo i prismi. Un prisma è un poliedro che ha almeno due facce congruenti (uguali) e parallele. 2 Cap.2 Geometria solida Questo poliedro non è un prisma in quanto non ha facce contemporaneamente parallele e congruenti. Questo è un prisma Questo poliedro è un Questo poliedro non è perché ha due facce prisma perché ha due facce un prisma perché non (ABCDE e FGHIJ) (ABFE e DCGH) parallele ha facce parallele. che sono parallele e e congruenti. congruenti Le due facce congruenti e parallele sono chiamate basi del prisma, le altre facce sono chiamate facce laterali. Gli spigoli che formano la base sono chiamati spigoli di base, mentre gli altri spigoli sono chiamati spigoli laterali. La base di un prisma può essere un qualunque poligono. Se la base è un pentagono avremo un prisma a base pentagonale. Se la base è un triangolo, avremo un prisma a base triangolare Se la base è un parallelogrammo avremo un prisma chiamato parallelepipedo. prisma a base pentagonale prisma a base triangolare I prismi si suddividono in due gruppi: 1. prismi retti 2. prismi obliqui Nei prismi retti gli spigoli laterali e quelli di base formano angoli di 90° e le facce laterali sono dei rettangoli. Nei prismi obliqui gli spigoli laterali e quelli di base non formano angoli di 90° e le facce laterali sono dei parallelogrammi. L’altezza di un prisma è la distanza tra le due basi. Nei prismi retti l’altezza coincide con uno qualunque degli spigoli laterali. 3 Cap.2 Geometria solida Prisma retto a base pentagonale Prisma obliquo a base pentagonale Un prisma retto che ha per base un poligono regolare è chiamato prisma regolare. I parallelepipedi Come già detto un parallelepipedo è un prisma che ha per base un parallelogramma. Un parallelepipedo è retto se gli spigoli laterali e gli spigoli di base formano angoli di 90° . Un parallelepipedo è obliquo se gli spigoli laterali e gli spigoli di base non formano angoli di 90°. Conviene sempre disegnare insieme al solido la sua base perché il solido è disegnato in prospettiva e quest’ultima non sempre fornisce una idea precisa su come la base è fatta. Parallelepipedo rettangolo Il parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto avente come basi dei rettangoli. Anche le facce laterali sono dei rettangoli che risultano essere a due a due congruenti. Le tre dimensioni del parallelepipedo rettangolo sono la lunghezza, la larghezza (o profondità) e l’altezza, esse vengono indicate rispettivamente con le lettere a, b e c. parallelepipedo retto parallelepipedo obliquo parallelepipedo rettangolo base del parallelepipedo retto base del parallelepipedo obliquo base del parallelepipedo rettangolo 4 Cap.2 Geometria solida Sviluppo della superficie di un parallelepipedo rettangolo. La superficie di un parallelepipedo è data dalla superficie di tutte le sue facce. Se si immagina di tagliare il parallelepipedo lungo gli spigoli indicati nella figura in basso a sinistra con tratto-punto e di disporre tutte le facce su di un piano, si ottiene lo sviluppo della superficie del parallelepipedo rettangolo. Spigoli lungo i quali si taglia il parallelepipedo Sviluppo della superficie Dall’immagine che rappresenta lo sviluppo della superficie si deduce che l’area della superficie laterale si ottiene calcolando l’area del rettangolo avente come base il segmento di lunghezza b a b a e come altezza il segmento c . Ma dalla figura si deduce anche che b a b a PB ed allora AL PB c L’area della superficie totale si calcola aggiungendo all’area della superficie laterale, l’area delle due basi, cioè AT AL AB 2 Volume del parallelepipedo Per calcolare il volume di un parallelepipedo bisogna contare quanti cubetti aventi ciascuno il volume di 1 cm3 si possono inserire all’interno del parallelepipedo. Il numero che si ottiene da questo conteggio fornisce il volume del parallelepipedo misurato in cm3 I cubetti contenuti nella figura a fianco sono 12, il volume è allora di 12 cm3. Osserviamo che si ottiene lo stesso risultato se si calcola il volume moltiplicando tra loro le lunghezze delle 3 dimensioni a, b e c. Concludiamo che la formula per calcolare il volume del parallelepipedo è V a b c 5 Cap.2 Geometria solida Diagonale del parallelepipedo rettangolo. Calcolo della diagonale d . Considero il triangolo rettangolo ABD e calcolo la diagonale di base d B . d B a 2 b 2 . Elevando al quadrato entrambi i membri, si ottiene per il principio di equivalenza: dB 2 a 2 b2 2 e poiché radice quadrata e potenza con esponente due sono operazioni opposte, si ottiene: d B a b 2 . Adesso considero il triangolo rettangolo DBD’ e calcolo la diagonale d : 2 2 d d B2 c 2 e ricordando che d B a 2 b 2 , si ottiene: 2 d a 2 b2 c2 Formulario per il parallelepipedo rettangolo. AL PB c AL AT AB 2 Area laterale AT AL AB 2 AT PB c AB 2 Area totale V AB c Volume V abc V V c c Altezza AB a b Perimetro di base PB a b 2 Area di base AB a b diagonale Diagonale di base d a 2 b2 c2 a a d 2 b2 c2 a PB 2 b : 2 b b d 2 a2 c2 b PB 2 a : 2 c c d 2 a2 b2 AL c A AL AB T 2 c AL PB PB AB V c dB a2 b2 AB b A b B a a a d B2 b 2 b d B2 a 2 V bc V b ac V c a b a 6 Cap.2 Geometria solida Il cubo Il cubo è un parallelepipedo rettangolo avente come base e facce laterali dei quadrati tutti congruenti tra di loro. Nel cubo tutti gli spigoli sono congruenti tra loro e vengono indicati con la lettera . Per il cubo valgono le stesse formule del parallelepipedo rettangolo e a partire da queste ultime se ne possono ricavare delle altre molto più semplici. Formulario per il cubo Area laterale AL 2 4 AT 2 6 Area totale Volume Perimetro di base Area di base Cubo Formulario per calcolare lo spigolo V 3 PB 4 Diagonale AB 2 d 1,73 Diagonale di base d B 1,41 Base del cubo P B 4 d B 1,41 d 1,73 AB 3V AL 2 AT 6 Gli esercizi riguarderanno il calcolo dell’area della superficie ed il volume del prisma retto. Le formule sono uguali a quelle già ricavate per il parallelepipedo rettangolo ricordando però che l’area ed il perimetro della base vanno calcolati utilizzando le formule specifiche relative alla base del prisma. Formulario per il prisma retto. Area laterale Area totale volume altezza AL PB h AT AL AB 2 V AB h V h AB Perimetro di base PB AL h Area di base AB V h AL AT AB 2 AT PB h AB 2 h AB AL PB AT AL 2 L’altezza è indicata con la lettera h Alle formule del prisma bisogna aggiungere quelle per calcolare l’area ed il perimetro della base che dipendono dal tipo di poligono che costituisce la base del prisma retto. 7 Cap.2 Geometria solida Formulari per calcolare l’area ed il perimetro della base dei poligoni che costituiscono la base dei prismi TRAPEZIO è un quadrilatero avente due lati paralleli chiamati basi b b h Area AB 1 2 B 2 L’altezza è indicata PB b1 b2 1 2 con la lettera h per Perimetro B AB 2 distinguerla hB altezza dall’altezza del b1 b2 prisma h A 2 b1 b2 B Somma delle basi hB 2 1 AB 2 A 2 b2 b2 B b1 Base maggiore hB hB Formule riguardanti le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore. AH è la proiezione AH b2 b1 KB Calcolo di AH del lato obliquo AD KB b2 b1 AH Calcolo di KB sulla base maggiore 2 1 Calcolo di b2 b2 b1 AH KB KB è la proiezione del lato obliquo CB Calcolo di b1 b1 b2 AH KB sulla base maggiore Base minore b1 PARALLELOGRAMMO è un quadrilatero avente i lati a due a due paralleli e congruenti AB b hB Area PB b 2 Perimetro A P 2 b B base b B hB 2 Lato obliquo PB b 2 2 ROMBO è un quadrilatero avente i lati congruenti e le diagonali perpendicolari d d Area AB 1 2 2 PB 4 Perimetro d 1 è la diagonale PB : 4 Lato del rombo maggiore, d 2 è la A 2 Diagonale d1 B diagonale minore maggiore d 2 Diagonale minore d2 AB 2 d1 Se il rombo viene fatto ruotare e poggiare il lato diventa la base del parallelogramma. Area Lato altezza AB hB A B hB hB AB hB 8 Cap.2 Geometria solida POLIGONI REGOLARI p a Area AB 2 F AB B 2 A 2 PB n Perimetro PB B a P AB Lato B n F A 2 a B a f Apotema PB n indica il numero dei lati del poligono. a indica l’apotema del poligono. indica il lato del poligono. a f NUMERI FISSI PER I POLIGONI REGOLARI Poligono regolare Numero di lati Numero fisso (f) Numero fisso (F) Triangolo 3 0,289 0,4335 Quadrato 4 0,5 1 Pentagono 5 0,688 1,72 Esagono 6 0,866 2,598 Ettagono 7 1,038 3,633 Ottagono 8 1,207 4,828 Ennagono 9 1,374 6,183 decagono 10 1,539 7,695 Osservazioni sui poligoni regolari Ogni poligono regolare può essere diviso in un numero di triangoli isosceli uguale al numero dei lati del poligono. Ad esempio se guardiamo il pentagono nella figura a fianco ci accorgiamo che esso è suddiviso in cinque triangoli isosceli. I cinque triangoli sono congruenti ed inoltre OA OB OC OD OE . L’altezza di ciascuno dei triangoli si chiama apotema e tutti i triangoli hanno la stessa apotema. Gli angoli in figura sono stati calcolati con il procedimento seguente: 360 : 5 72 180 180 72 108 Il triangolo AOB è isoscele perché OA OB e di conseguenza Si deduce allora che 108 : 2 54 9 Cap.2 Geometria solida Se il poligono regolare è un esagono si trova che ciascuno dei 6 triangoli in cui l’esagono è suddiviso è un triangolo equilatero. Infatti ripetendo per l’esagono la dimostrazione che è stata fatta per il pentagono, si ottiene: 360 : 6 60 180 180 60 120 Il triangolo AOB è isoscele perché OA OB e di conseguenza Si deduce allora che 120 : 2 60 In conclusione abbiamo trovato che 60 , ma un triangolo avente tutti gli angoli congruenti è sicuramente equilatero ed allora OA OB AB Cuneo Il cuneo è un prisma a base triangolare poggiato su una faccia laterale. Nella figura quest’ultima faccia è il rettangolo ABGE, mentre le due facce uguali e parallele sono i triangoli ABC e EGF. Per cui per fare i calcoli bisogna tenere conto del fatto che le basi sono i triangoli ABC e EGF, mentre l’altezza è il segmento BG. Ad esempio si avrà V AABC BG Solidi di rotazione Un importante gruppo di solidi a superficie curva sono i solidi di rotazione. Un solido di rotazione è il solido che si ottiene facendo ruotare di 360° una superficie intorno ad una attorno ad una retta chiamata asse di rotazione. Solido ottenuto dalla rotazione Solido ottenuto dalla rotazione Solido ottenuto dalla rotazione di un rettangolo intorno alla di un triangolo rettangolo di un trapezio scaleno intorno sua altezza intorno al cateto maggiore. alla base maggiore. 10 Cap.2 Geometria solida Cilindro retto cilindro obliquo Cilindro retto (l’altezza condotta dal centro della base superiore al il piede nel centro della base inferiore) Cilindro obliquo (l’altezza condotta dal centro della base superiore non al il piede nel centro della base inferiore) Si chiama cilindro retto il solido ottenuto dalla rotazione di una dimensione del rettangolo intorno ad una sua dimensione. Parti del cilindro. Si chiama generatrice il lato del rettangolo che ruotando di 360° disegna e quindi genera il cilindro. Le circonferenze che delimitano superiormente ed inferiormente il cilindro si chiamano basi. Il cilindro potrebbe essere immaginato come in prisma avente come base una circonferenza per cui per il cilindro valgono le stesse formule dei prismi. Bisogna però ricordare che il perimetro di base va sostituito con la lunghezza della circonferenza. Cilindro equilatero Nel cilindro equilatero, il quadrilatero ABDE è un quadrato. Il cilindro equilatero ha l’altezza uguale al doppio del raggio. h 2r Calcolo dell’area della superficie laterale e totale. Ricordo alcune formule valide per la circonferenza ed il cerchio: A r 2 e C 2r Parto dalle formule valide per i prismi: AL PB h C h 2rh V AB h r 2 h 11 Cap.2 Geometria solida Formulario per il cilindro Area laterale Area totale volume altezza AL C h AL AT AB 2 AL 2rh AT AL AB 2 V AB h V V h 2 AB r AT 2rh 2 r 2 AT 2r h r Lunghezza della circonferenza Area di base raggio C V r h A A h L L C 2r 2 AL h C 2r V h AB r 2 AB r AB r AL 2h AT AL 2 V r h AB L’altezza è indicata con la lettera h ed il raggio con la lettera r Solidi composti Un solido composto è formato dall’unione di due o più solidi, consideriamo due prismi retti sovrapposti in modo che 1. la base del solido posto in alto sia più piccola di quella del solido posto in basso 2. la base del solido posto in alto sia interamente contenuta in quella del solido posto in basso 2 1 Immagine delle basi Il solido in basso è indicato con il numero 1, mentre, il solido in alto è indicato con il numero 2 Il volume del solido composto si calcola addizionando i volumi V V1 V2 L’area della superficie laterale si calcola addizionando le due superfici laterali AL AL1 AL 2 . Per calcolare l’area della superficie totale osserviamo che: 1) all’area della superficie laterale vanno aggiunte a) l’area del quadrilatero ABCD b) le due aree scure in figura 2) le aree scure in figura sono equivalenti all’area della base della figura 1 12 Cap.2 Geometria solida Concludiamo allora che l’area della superficie totale si calcola aggiungendo all’area della superficie laterale due volte l’area della base del solido numero 1: AT AL 2 AL1 2 AB1 Ma poiché AT 1 AL1 2 AB1 Si deduce che la formula da utilizzare è AT AT 1 AL 2 Formulario Volume V V1 V2 Area laterale AL AL1 AL 2 Area totale AT AT 1 AL 2 Solidi concavi Un solido concavo è un solido avente una rientranza, per alcuni solidi concavi come quello in figura è facile calcolare il volume e l’area della superficie. Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Il volume si calcola sottraendo dal volume del solido 1, il volume del solido 2: V V1 V2 . L’area della superficie laterale si calcola con la stessa formula dei solidi sovrapposti AL AL1 AL 2 , anche l’area della superficie totale si calcola con la formula dei solidi sovrapposti: AT AT 1 AL 2 . Infatti, si può vedere che l’area del contorno rosso e del quadrato rosso in fig.1 sono congruenti all’area della base del solido numero 1. 13 Cap.2 Geometria solida Piramide La piramide è un poliedro limitato da un poligono detto base e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti un vertice in comune. Il vertice, di solito. È indicato con la lettera V. L’altezza è il segmento condotto dal vertice perpendicolarmente alla base. Il punto in cui l’altezza interseca la base è chiamato piede dell’altezza. Base della piramide Il nome di una piramide è legato alla forma del poligono che ne è la base, una piramide avente come base un triangolo si chiama piramide a base triangolare, una piramide avente come base un pentagono si chiama piramide a base pentagonale e così via. Classificazione delle piramidi Una piramide può essere retta, obliqua o regolare Una piramide per essere retta deve soddisfare due requisiti: 1. si deve poter inscrivere una circonferenza nella sua base 2. il piede dell’altezza deve coincidere con il centro della circonferenza inscritta Piramide retta a base quadrangolare Piramide a base quadrangolare non retta (obliqua) Una piramide obliqua è una piramide per la quale non vale almeno uno dei due requisiti richiesti affinché la piramide sia retta. Una piramide regolare è una piramide che oltre che essere retta ha come base un poligono regolare Ricorda che una piramide regolare a base quadrangolare è una piramide retta avente come base un quadrato. 14 Cap.2 Geometria solida Tutte le considerazioni che faremo comprese le formule che otterremo per il calcolo della superficie e del volume piramide saranno valide solo per le piramidi rette (e quindi anche per le piramidi regolari visto che sono anch’esse delle piramidi rette) Sviluppo della superficie di una piramide retta Se si immagina di tagliare una piramide retta lungo gli spigoli laterali e si dispone la piramide su di un piano, si ottiene lo sviluppo della superficie della piramide retta. Consideriamo come esempio una piramide retta a base quadrangolare. Dallo sviluppo della superficie laterale, si vede che le altezze dei 4 triangoli che formano la superficie laterale hanno tutte la stessa lunghezza. Le 4 altezze congruenti vengono chiamate APOTEMA Il calcolo della superficie laterale consiste nel calcolare l’area dei 4 triangoli aventi tutti quanti la stessa altezza chiamata apotema, si otterrà così: 15 Cap.2 Geometria solida AB a BD a DE a EA a a P a AB BD DE EA B 2 2 2 2 2 2 L’area totale si ottiene aggiungendo all’area laterale quella della base AL AT AL AB Per disegnare una piramide retta è necessario disegnare il cerchio inscritto alla base, indicare i punti in cui la circonferenza tocca gli spigoli di base (punti di tangenza). Poi si disegna uno dei raggi che collega il centro della circonferenza con uno dei punti di tangenza, si disegna il segmento che collega il punto di tangenza con il vertice della piramide. Il segmento così ottenuto è l’apotema della piramide. Infine si disegna l’altezza che collega il vertice della piramide con il centro della circonferenza inscritta. L’altezza, l’apotema ed il raggio di base formano sono i lati di un triangolo rettangolo e per essi si può applicare il teorema d Pitagora. Il raggio del cerchio inscritto è chiamato anche apotema di base e si calcola con la formula: A 2 r aB B PB a h2 r 2 h a2 r 2 r a2 h2 .Il volume di una piramide si calcola con la formula V AB h . Questo perché il volume di una 3 1 del volume di un prisma avente la base e l’altezza congruenti a quelli 3 della piramide. (Si può dimostrare prendendo una piramide ed un prisma con la stessa base e la stessa altezza e riempiendoli di sabbia si vedrà che il prima contiene 3 volte più sabbia rispetto alla piramide). piramide è esattamente 16 Cap.2 Geometria solida Formulario Area totale PB a 2 AT AL AB Area di base AB AT AL Area laterale volume altezza Perimetro di base AL AB h 3 V 3 h AB AL AT AB AB V 3 h AB PB r 2 V PB AL 2 a Apotema a h2 r 2 Raggio r a2 h2 h a2 r 2 AB 2 r A 2 a L PB PB r AB 2 PB Il cono retto Il cono retto è un solido di rotazione ottenuto da una rotazione di 360° di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti, l’ipotenusa del triangolo che ruotando disegna il cono retto è chiamata generatrice del cono. Nel cono retto in analogia con la piramide retta, il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza Il cono retto potrebbe essere immaginato come una piramide retta avente come base una circonferenza per cui le formule attraverso cui si calcolano la superficie ed il volume della piramide che abbiamo ottenuto per il cono possono essere applicate al cono retto, ricordando però che l’area della base si calcola con la formula AB r 2 e che al posto del perimetro di base bisogna considerare la lunghezza della circonferenza che si calcola con la formula C 2 r 17 Cap.2 Geometria solida Parti del cono L’altezza, l’apotema ed il raggio di base formano sono i lati di un triangolo rettangolo e per essi si può applicare il teorema d Pitagora. In analogia con la piramide, la generatrice viene chiamata apotema a h2 r 2 ; h a2 r 2 r a2 h2 Formulario Area totale C a 2 AT AL AB AT r a r 2 Area di base AB r 2 AB AT AL AB h 3 V 3 h AB r2 h Area laterale volume altezza Circonferenza AL V C AL 2 a Apotema a h2 r 2 Raggio r a2 h2 AL r a V 3 V 3 h r2 A 2 C B r AL a r A 2 r B C AL AT AB AB V 3 h h a2 r 2 AL 2 C V 3 r h a r AL a Cono retto equilatero Nel cono retto, il triangolo VAB è un isoscele. Nel cono retto equilatero il triangolo VAB è equilatero e l’apotema è uguale al doppio del raggio. a 2r 18 Cap.2 Geometria solida La sfera e la superficie sferica r .C La sfera è un solido di rotazione ottenuto dalla rotazione di 360° di una semicerchio intorno al suo diametro. Si chiama sfera lo spazio che il semicerchio occupa durante la rotazione. La semicirconferenza che limita il semicerchio durante la rotazione genera una superficie curva chiamata superficie sferica. Le parti di una sfera sono il suo centro (indicato dalla lettera C) ed il raggio indicato dalla lettera r. Il raggio della sfera è il segmento che connette il centro della sfera con un qualunque punto della superficie sferica Area della superficie sferica e volume della sfera L’area della superficie sferica si calcola con la formula S 4 r 2 4 Il volume della sfera è V r 3 3 Formulario della sfera Superficie S 4 r 2 Volume 4 V r3 3 Raggio S 3 V r r3 4 4 Solidi regolari (solidi platonici) Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti tra loro e tutti i diedri e gli angoloidi sono rispettivamente congruenti tra di loro. Tra tutti i poliedri esistenti ne esistono solo 5 che sono regolari. Essi sono: il tetraedro regolare, l’esaedro regolare o cubo, l’ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l’icosaedro regolare. I 5 poliedri regolari sono riportati nella figura in basso e per ogni solido è indicata la terna (F,S,V) dove F = numero delle facce, S = numero degli spigoli e V = numero dei vertici. Tetraedro Cubo o Esaedro Ottaedro Dodecaedro Icosaedro (4,6,4) (6,12,8) (8,12,6) (12,30,20) (20,30,12) (immagini e parte del testo © www.wikipedia.it) Il tetraedro regolare è limitato da 4 triangoli equilateri congruenti. Il cubo o esaedro regolare è limitato da 6 quadrati congruenti L’ottaedro regolare è limitato da 8 triangoli equilateri congruenti. Il dodecaedro regolare è limitato da 12 pentagoni equilateri congruenti. L’icosaedro regolare è limitato da 20 triangoli equilateri congruenti. 19 Cap.2 Geometria solida Area della superficie e volume di un poliedro regolare L’area della superficie totale di un poliedro regolare si calcola moltiplicando l’area di una faccia per il numero totale delle facce: ( n indica il numero delle facce, ed AF indica l’area di una faccia) AT n AF Il volume si calcola moltiplicando la lunghezza di uno spigolo per un numero fisso indicato dalla lettera ( indica la lunghezza di uno spigolo) V 3 Numeri fissi per il calcolo del volume: Poliedro regolare Numero fisso Formulario per i poliedri regolari Tetraedro 0,118 Superficie totale AT n AF Cubo 1 Area di una faccia AF AT : n Ottaedro 0,471 Volume V 3 Dodecaedro icosaedro 7,663 2,182 Spigolo 3 V Alcuni minerali hanno la forma di un solido platonico ad esempio la pirite può cristallizzare come un cubo oppure come un ottaedro Cubo ottaedro (immagini e parte del testo © www.wikipedia.it) Peso specifico Il peso specifico è il peso di una unità di volume del solido stesso. L’unità di volume solitamente è un cm 3 oppure un dm 3 o anche un m 3 . Un cm 3 indica lo spazio occupato da un cubo avente il lato di un cm e definizioni simili hanno le altre unità di volume. Il peso specifico si calcola a partire dalla seguente formula: P ps V Formule inverse: P ps V P V ps L’unità di misura del peso specifico dipende dalla scelta dell’unità di volume e perciò potrà essere: 20 Cap.2 Geometria solida Kg t g oppure o anche 3 . 3 3 dm m cm Tabella di alcuni pesi specifici ( Acciaio Alluminio Ferro Acqua a 4° C Acqua di mare Olio d’oliva g ) cm 3 7,86 2,7 7,8 1 1,03 0,76 A causa della stratificazione prodotta dalla forza di gravità, se si sovrappongono due sostanze aventi peso specifico diverso e che non si mescolano, la sostanza con il peso specifico più basso andrà a posizionarsi al di sopra di quella con il peso specifico più alto. 21
