File - Massimo Catella

Cap.2 Geometria solida
Geometria solida
Piani nello spazio
Due piani nello spazio  e  possono assumere due posizioni:
1) I piani  e
2) I piani  e 
 sono
sono paralleli: non
hanno in comune
incidenti:
nessun punto. La
hanno in
distanza tra i due
comune una
piani è il segmento
retta r che
AB ad essi
rappresenta
perpendicolare.
l’intersezione
tra i due piani.
Piani e semipiani
Un piano non ha né inizio né fine: si estende illimitatamente. Un semipiano ha origine in una retta e
da lì in poi si estende senza fine.
Angoloidi e angoli diedri
Si chiama angolo diedro ciascuna delle due zone in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi la
retta origine in comune. I due semipiani si chiamano facce dell’angolo diedro e la retta si chiama
spigolo del diedro. Il diedro che contiene il prolungamento delle due facce si chiama diedro
concavo, mentre quello che non le contiene si chiama diedro convesso. In parole povere il diedro
concavo è tra i due quello più grande, mentre il diedro convesso è il più piccolo.
Vista frontale
Vista dall’alto
Angoloide
Si chiama angoloide la parte di spazio racchiusa tra tre o più facce aventi un vertice in comune.
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Cap.2 Geometria solida
Solidi
Un solido è una figura geometrica che occupa uno spazio tridimensionale. La misura dello spazio
che il solido occupa è chiamato volume.
La superficie di un solido è la regione che separa la zona interna del solido da quella esterna.
I solidi si possono classificare in due
I poliedri a loro volta si suddividono in due gruppi
categorie.
1. poliedri convessi (non hanno rientranze)
1. Solidi a superficie curva
2. poliedri concavi (hanno almeno una
2. poliedri
rientranza)
rientranza
poliedro
Solido a superficie curva
poliedro concavo
poliedro convesso
Studieremo solo i poliedri convessi.
La superficie di una figura solida (poliedro oppure solido a superficie curva) è formata dalla parte
del solido che separa la regione interna da quella esterna.
Parti di un poliedro
Poliedro: solido avente la superficie
formata da poligoni.
Diagonale di un poliedro: segmento
che
unisce
due
vertici
non
appartenenti alla stessa faccia (è un
segmento che unendo due vertici deve
attraversare la zona interna del
solido).
Relazione di Eulero
Per ogni poliedro vale la relazione di Eulero: f  v  s  2
Dove f indica il numero delle facce del poliedro, v il numero dei vertici ed s il numero degli
spigoli.
I poliedri che studieremo si suddividono in tre gruppi:
1. i prismi
2. le piramidi
3. i poliedri regolari
Per cominciare studieremo i prismi.
Un prisma è un poliedro che ha almeno due facce congruenti (uguali) e parallele.
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Cap.2 Geometria solida
Questo poliedro non è un
prisma in quanto non ha facce
contemporaneamente
parallele e congruenti.
Questo è un prisma
Questo poliedro è un
Questo poliedro non è perché ha due facce
prisma perché ha due facce
un prisma perché non (ABCDE e FGHIJ)
(ABFE e DCGH) parallele
ha facce parallele.
che sono parallele e
e congruenti.
congruenti
Le due facce congruenti e parallele sono chiamate basi del prisma, le altre facce sono chiamate
facce laterali. Gli spigoli che formano la base sono chiamati spigoli di base, mentre gli altri spigoli
sono chiamati spigoli laterali.
La base di un prisma può essere un qualunque poligono.
Se la base è un pentagono avremo un prisma a base pentagonale.
Se la base è un triangolo, avremo un prisma a base triangolare
Se la base è un parallelogrammo avremo un prisma chiamato parallelepipedo.
prisma a base pentagonale
prisma a base triangolare
I prismi si suddividono in due gruppi:
1. prismi retti
2. prismi obliqui
Nei prismi retti gli spigoli laterali e quelli di base formano angoli di 90° e le facce laterali sono
dei rettangoli.
Nei prismi obliqui gli spigoli laterali e quelli di base non formano angoli di 90° e le facce laterali
sono dei parallelogrammi.
L’altezza di un prisma è la distanza tra le due basi.
Nei prismi retti l’altezza coincide con uno qualunque degli spigoli laterali.
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Cap.2 Geometria solida
Prisma retto a base pentagonale
Prisma obliquo a base pentagonale
Un prisma retto che ha per base un poligono regolare è chiamato prisma regolare.
I parallelepipedi
Come già detto un parallelepipedo è un prisma che ha per base un parallelogramma.
Un parallelepipedo è retto se gli spigoli laterali e gli spigoli di base formano angoli di 90° .
Un parallelepipedo è obliquo se gli spigoli laterali e gli spigoli di base non formano angoli di 90°.
Conviene sempre disegnare insieme al solido la sua base perché il solido è disegnato in prospettiva
e quest’ultima non sempre fornisce una idea precisa su come la base è fatta.
Parallelepipedo rettangolo
Il parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto avente come basi dei rettangoli. Anche le
facce laterali sono dei rettangoli che risultano essere a due a due congruenti.
Le tre dimensioni del parallelepipedo rettangolo sono la lunghezza, la larghezza (o profondità) e
l’altezza, esse vengono indicate rispettivamente con le lettere a, b e c.
parallelepipedo retto
parallelepipedo obliquo
parallelepipedo rettangolo
base del
parallelepipedo
retto
base del
parallelepipedo
obliquo
base del parallelepipedo
rettangolo
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Cap.2 Geometria solida
Sviluppo della superficie di un parallelepipedo rettangolo.
La superficie di un parallelepipedo è data dalla superficie di tutte le sue facce. Se si immagina di
tagliare il parallelepipedo lungo gli spigoli indicati nella figura in basso a sinistra con tratto-punto e
di disporre tutte le facce su di un piano, si ottiene lo sviluppo della superficie del parallelepipedo
rettangolo.
Spigoli lungo i quali si taglia
il parallelepipedo
Sviluppo della superficie
Dall’immagine che rappresenta lo sviluppo della superficie si deduce che l’area della superficie
laterale si ottiene calcolando l’area del rettangolo avente come base il segmento di lunghezza
b  a  b  a e come altezza il segmento c . Ma dalla figura si deduce anche che b  a  b  a  PB
ed allora AL  PB  c
L’area della superficie totale si calcola aggiungendo all’area della superficie laterale, l’area delle
due basi, cioè AT  AL  AB  2
Volume del parallelepipedo
Per calcolare il volume di un parallelepipedo
bisogna contare quanti cubetti aventi
ciascuno il volume di 1 cm3 si possono
inserire all’interno del parallelepipedo. Il
numero che si ottiene da questo conteggio
fornisce il volume del parallelepipedo
misurato in cm3
I cubetti contenuti nella figura a fianco sono 12,
il volume è allora di 12 cm3.
Osserviamo che si ottiene lo stesso risultato se
si calcola il volume moltiplicando tra loro le
lunghezze delle 3 dimensioni a, b e c.
Concludiamo che la formula per calcolare il
volume del parallelepipedo è V  a  b  c
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Cap.2 Geometria solida
Diagonale del parallelepipedo rettangolo.
Calcolo della diagonale d .
Considero il triangolo rettangolo ABD e calcolo la diagonale di base d B .
d B  a 2  b 2 . Elevando al quadrato entrambi i membri, si ottiene per il principio di equivalenza:
dB 
2
a
2
 b2

2
e poiché radice quadrata e potenza con esponente due sono operazioni opposte,
si ottiene: d B  a  b 2 .
Adesso considero il triangolo rettangolo DBD’ e calcolo la diagonale d :
2
2
d  d B2  c 2 e ricordando che d B  a 2  b 2 , si ottiene:
2
d  a 2  b2  c2
Formulario per il parallelepipedo rettangolo.
AL  PB  c
AL  AT  AB  2
Area laterale
AT  AL  AB  2
AT  PB  c  AB  2
Area totale
V  AB  c
Volume
V  abc
V
V
c
c
Altezza
AB
a b
Perimetro di
base
PB  a  b  2
Area di base
AB  a  b
diagonale
Diagonale di
base
d  a 2  b2  c2
a
a  d 2  b2  c2
a  PB  2  b : 2
b
b  d 2  a2  c2
b  PB  2  a : 2
c
c  d 2  a2  b2
AL
c
A  AL
AB  T
2
c
AL
PB
PB 
AB 
V
c
dB  a2  b2
AB
b
A
b B
a
a
a  d B2  b 2
b  d B2  a 2
V
bc
V
b
ac
V
c
a b
a
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Cap.2 Geometria solida
Il cubo
Il cubo è un parallelepipedo rettangolo avente come base e facce laterali dei quadrati tutti
congruenti tra di loro. Nel cubo tutti gli spigoli sono congruenti tra loro e vengono indicati con la
lettera  . Per il cubo valgono le stesse formule del parallelepipedo rettangolo e a partire da queste
ultime se ne possono ricavare delle altre molto più semplici.
Formulario per il cubo
Area laterale
AL   2  4
AT   2  6
Area totale
Volume
Perimetro di base
Area di base
Cubo
Formulario per
calcolare lo spigolo 
V  3
PB    4
Diagonale
AB   2
d  1,73  
Diagonale di base
d B  1,41 
Base del cubo
P
 B
4
d
 B
1,41

d
1,73
  AB
3V

AL
2

AT
6
Gli esercizi riguarderanno il calcolo dell’area della superficie ed il volume del prisma retto.
Le formule sono uguali a quelle già ricavate per il parallelepipedo rettangolo ricordando però che
l’area ed il perimetro della base vanno calcolati utilizzando le formule specifiche relative alla base
del prisma.
Formulario per il prisma retto.
Area laterale
Area totale
volume
altezza
AL  PB  h
AT  AL  AB  2
V  AB  h
V
h
AB
Perimetro di base
PB 
AL
h
Area di base
AB 
V
h
AL  AT  AB  2
AT  PB  h  AB  2
h
AB 
AL
PB
AT  AL
2
L’altezza è indicata con la
lettera h
Alle formule del prisma bisogna aggiungere quelle per calcolare l’area ed il perimetro della base
che dipendono dal tipo di poligono che costituisce la base del prisma retto.
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Cap.2 Geometria solida
Formulari per calcolare l’area ed il perimetro della base dei poligoni che costituiscono la base dei prismi
TRAPEZIO è un quadrilatero avente due lati paralleli chiamati basi
b  b   h
Area
AB  1 2 B
2
L’altezza è indicata
PB  b1  b2   1   2  con la lettera h per
Perimetro
B
AB  2
distinguerla
hB 
altezza
dall’altezza del
b1  b2
prisma h
A 2
b1  b2  B
Somma delle basi
hB
2
1
AB  2
A 2
 b2
b2  B  b1
Base maggiore
hB
hB
Formule riguardanti le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore.
AH è la proiezione
AH  b2  b1  KB
Calcolo di AH
del lato obliquo AD
KB  b2  b1  AH
Calcolo di KB
sulla base maggiore
2
1
Calcolo di b2
b2  b1  AH  KB
KB è la proiezione
del lato obliquo CB
Calcolo di b1
b1  b2  AH  KB
sulla base maggiore
Base minore
b1 
PARALLELOGRAMMO è un quadrilatero avente i lati a due a
due paralleli e congruenti
AB  b  hB
Area
PB    b  2
Perimetro
A
P    2 
b B
base
b B
hB
2
Lato obliquo


PB  b  2
2
ROMBO è un quadrilatero avente i lati congruenti e le diagonali
perpendicolari
d d
Area
AB  1 2
2
PB    4
Perimetro
d 1 è la diagonale
  PB : 4
Lato del rombo
maggiore, d 2 è la
A 2
Diagonale
d1  B
diagonale minore
maggiore
d

2
Diagonale minore
d2 
AB  2
d1
Se il rombo viene fatto ruotare e poggiare il lato  diventa la base del parallelogramma.
Area
Lato
altezza
AB    hB
A
 B
hB
hB 
AB

hB

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Cap.2 Geometria solida
POLIGONI REGOLARI
p a
Area
AB   2  F AB  B
2
A 2
PB    n
Perimetro
PB  B
a
P
AB
Lato
 B

n
F
A 2
a B
a   f
Apotema
PB
n indica il numero dei lati del poligono.
a indica l’apotema del poligono.
 indica il lato del poligono.

a
f

NUMERI FISSI PER I POLIGONI REGOLARI
Poligono regolare Numero di lati Numero fisso (f) Numero fisso (F)
Triangolo
3
0,289
0,4335
Quadrato
4
0,5
1
Pentagono
5
0,688
1,72
Esagono
6
0,866
2,598
Ettagono
7
1,038
3,633
Ottagono
8
1,207
4,828
Ennagono
9
1,374
6,183
decagono
10
1,539
7,695
Osservazioni sui poligoni regolari
Ogni poligono regolare può essere diviso in un
numero di triangoli isosceli uguale al numero
dei lati del poligono. Ad esempio se guardiamo
il pentagono nella figura a fianco ci accorgiamo
che esso è suddiviso in cinque triangoli isosceli.
I cinque triangoli sono congruenti ed inoltre
OA  OB  OC  OD  OE .
L’altezza di ciascuno dei triangoli si chiama
apotema e tutti i triangoli hanno la stessa
apotema. Gli angoli in figura sono stati calcolati
con il procedimento seguente:
  360 : 5  72
    180    180  72  108
Il triangolo AOB è isoscele perché OA  OB e
di conseguenza   
Si deduce allora che     108 : 2  54
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Cap.2 Geometria solida
Se il poligono regolare è un esagono si trova che
ciascuno dei 6 triangoli in cui l’esagono è
suddiviso è un triangolo equilatero.
Infatti ripetendo per l’esagono la dimostrazione
che è stata fatta per il pentagono, si ottiene:
  360 : 6  60
    180    180  60  120
Il triangolo AOB è isoscele perché OA  OB e
di conseguenza   
Si deduce allora che     120 : 2  60
In
conclusione
abbiamo
trovato
che
      60 , ma un triangolo avente tutti
gli angoli congruenti è sicuramente equilatero
ed allora OA  OB  AB
Cuneo
Il cuneo è un prisma a base triangolare poggiato su una faccia laterale. Nella figura quest’ultima
faccia è il rettangolo ABGE, mentre le due facce uguali e parallele sono i triangoli ABC e EGF. Per
cui per fare i calcoli bisogna tenere conto del fatto che le basi sono i triangoli ABC e EGF, mentre
l’altezza è il segmento BG.
Ad esempio si avrà V  AABC  BG
Solidi di rotazione
Un importante gruppo di solidi a superficie curva sono i solidi di rotazione.
Un solido di rotazione è il solido che si ottiene facendo ruotare di 360° una superficie intorno ad
una attorno ad una retta chiamata asse di rotazione.
Solido ottenuto dalla rotazione Solido ottenuto dalla rotazione Solido ottenuto dalla rotazione
di un rettangolo intorno alla di un triangolo rettangolo di un trapezio scaleno intorno
sua altezza
intorno al cateto maggiore.
alla base maggiore.
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Cap.2 Geometria solida
Cilindro retto cilindro obliquo
Cilindro retto
(l’altezza condotta
dal centro della base
superiore al il piede
nel centro della base
inferiore)
Cilindro obliquo
(l’altezza condotta dal
centro della base
superiore non al il
piede nel centro della
base inferiore)
Si chiama cilindro retto il solido ottenuto dalla rotazione di una dimensione del rettangolo intorno
ad una sua dimensione.
Parti del cilindro.
Si chiama generatrice il lato del
rettangolo che ruotando di 360°
disegna e quindi genera il cilindro.
Le circonferenze che delimitano
superiormente ed inferiormente il
cilindro si chiamano basi.
Il cilindro potrebbe essere immaginato come in prisma avente come base una circonferenza per cui
per il cilindro valgono le stesse formule dei prismi. Bisogna però ricordare che il perimetro di base
va sostituito con la lunghezza della circonferenza.
Cilindro equilatero
Nel cilindro equilatero, il quadrilatero ABDE è
un quadrato.
Il cilindro equilatero ha l’altezza uguale al
doppio del raggio.
h  2r
Calcolo dell’area della superficie laterale e totale.
Ricordo alcune formule valide per la circonferenza ed il cerchio:
A  r 2
e
C  2r
Parto dalle formule valide per i prismi:
AL  PB  h  C  h  2rh
V  AB  h  r 2 h
11
Cap.2 Geometria solida
Formulario per il cilindro
Area
laterale
Area totale
volume
altezza
AL  C  h
AL  AT  AB  2
AL  2rh
AT  AL  AB  2
V  AB  h
V
V
h
 2
AB r
AT  2rh  2  r 2
AT  2r h  r 
Lunghezza
della
circonferenza
Area di
base
raggio
C
V  r h
A
A
h L  L
C 2r
2
AL
h
C  2r
V
h
AB  r 2
AB
r
AB 
r

AL
2h
AT  AL
2
V
r
h
AB 
L’altezza è indicata con la
lettera h ed il raggio con
la lettera r
Solidi composti
Un solido composto è formato dall’unione di due o più solidi, consideriamo due prismi retti
sovrapposti in modo che
1. la base del solido posto in alto sia più piccola di quella del solido posto in basso
2. la base del solido posto in alto sia interamente contenuta in quella del solido posto in basso
2


1
Immagine delle basi
Il solido in basso è indicato con il numero 1, mentre, il solido in alto è indicato con il numero 2
Il volume del solido composto si calcola addizionando i volumi V  V1  V2
L’area della superficie laterale si calcola addizionando le due superfici laterali AL  AL1  AL 2 .
Per calcolare l’area della superficie totale osserviamo che:
1) all’area della superficie laterale vanno aggiunte
a) l’area del quadrilatero ABCD
b) le due aree scure in figura
2) le aree scure in figura sono equivalenti all’area della base della figura 1
12
Cap.2 Geometria solida
Concludiamo allora che l’area della superficie
totale si calcola aggiungendo all’area della
superficie laterale due volte l’area della base del
solido numero 1:
AT  AL 2  AL1  2  AB1
Ma poiché AT 1  AL1  2  AB1
Si deduce che la formula da utilizzare è
AT  AT 1  AL 2
Formulario
Volume
V  V1  V2
Area laterale
AL  AL1  AL 2
Area totale
AT  AT 1  AL 2
Solidi concavi
Un solido concavo è un solido avente una rientranza, per alcuni solidi concavi come quello in figura
è facile calcolare il volume e l’area della superficie.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Il volume si calcola sottraendo dal volume del solido 1, il volume del solido 2: V  V1  V2 .
L’area della superficie laterale si calcola con la stessa formula dei solidi sovrapposti
AL  AL1  AL 2 , anche l’area della superficie totale si calcola con la formula dei solidi sovrapposti:
AT  AT 1  AL 2 . Infatti, si può vedere che l’area del contorno rosso e del quadrato rosso in fig.1
sono congruenti all’area della base del solido numero 1.
13
Cap.2 Geometria solida
Piramide
La piramide è un poliedro limitato da un
poligono detto base e da tanti triangoli
quanti sono i lati del poligono, aventi tutti
un vertice in comune. Il vertice, di solito. È
indicato con la lettera V.
L’altezza è il segmento condotto dal vertice
perpendicolarmente alla base. Il punto in cui l’altezza
interseca la base è chiamato piede dell’altezza.
Base della piramide
Il nome di una piramide è legato alla forma del poligono che ne è la base, una piramide avente come
base un triangolo si chiama piramide a base triangolare, una piramide avente come base un
pentagono si chiama piramide a base pentagonale e così via.
Classificazione delle piramidi
Una piramide può essere retta, obliqua o regolare
Una piramide per essere retta deve soddisfare due requisiti:
1. si deve poter inscrivere una circonferenza nella sua base
2. il piede dell’altezza deve coincidere con il centro della circonferenza inscritta
Piramide retta a base quadrangolare
Piramide a base quadrangolare non retta (obliqua)
Una piramide obliqua è una piramide per la quale non vale almeno uno dei due requisiti richiesti
affinché la piramide sia retta.
Una piramide regolare è una piramide che oltre che essere retta ha come base un poligono regolare
Ricorda che una piramide regolare a base quadrangolare è una piramide retta avente come base un
quadrato.
14
Cap.2 Geometria solida
Tutte le considerazioni che faremo comprese le formule che otterremo per il calcolo della superficie
e del volume piramide saranno valide solo per le piramidi rette (e quindi anche per le piramidi
regolari visto che sono anch’esse delle piramidi rette)
Sviluppo della superficie di una
piramide retta
Se si immagina di tagliare una piramide
retta lungo gli spigoli laterali e si
dispone la piramide su di un piano, si
ottiene lo sviluppo della superficie della
piramide retta. Consideriamo come
esempio una piramide retta a base
quadrangolare.
Dallo
sviluppo
della
superficie
laterale, si
vede che le
altezze dei 4
triangoli che
formano la
superficie
laterale
hanno tutte
la
stessa
lunghezza.
Le 4 altezze
congruenti
vengono
chiamate
APOTEMA
Il calcolo della superficie laterale consiste nel calcolare l’area dei 4 triangoli aventi tutti quanti la
stessa altezza chiamata apotema, si otterrà così:
15
Cap.2 Geometria solida
AB  a BD  a DE  a EA  a
a P a



  AB  BD  DE  EA   B
2
2
2
2
2
2
L’area totale si ottiene aggiungendo all’area laterale quella della base
AL 
AT  AL  AB
Per disegnare una piramide retta è
necessario disegnare il cerchio inscritto
alla base, indicare i punti in cui la
circonferenza tocca gli spigoli di base
(punti di tangenza). Poi si disegna uno
dei raggi che collega il centro della
circonferenza con uno dei punti di
tangenza, si disegna il segmento che
collega il punto di tangenza con il
vertice della piramide. Il segmento così
ottenuto è l’apotema della piramide.
Infine si disegna l’altezza che collega il
vertice della piramide con il centro
della circonferenza inscritta.
L’altezza,
l’apotema ed il
raggio di base
formano sono i
lati
di
un
triangolo
rettangolo e per
essi si può
applicare
il
teorema
d
Pitagora.
Il raggio del
cerchio inscritto
è chiamato anche
apotema di base
e si calcola con
la
formula:
A 2
r  aB  B
PB
a  h2  r 2
h  a2  r 2
r  a2  h2
.Il volume di una piramide si calcola con la formula V 
AB  h
. Questo perché il volume di una
3
1
del volume di un prisma avente la base e l’altezza congruenti a quelli
3
della piramide. (Si può dimostrare prendendo una piramide ed un prisma con la stessa base e la
stessa altezza e riempiendoli di sabbia si vedrà che il prima contiene 3 volte più sabbia rispetto alla
piramide).
piramide è esattamente
16
Cap.2 Geometria solida
Formulario
Area totale
PB  a
2
AT  AL  AB
Area di base
AB  AT  AL
Area laterale
volume
altezza
Perimetro di base
AL 
AB  h
3
V 3
h
AB
AL  AT  AB
AB 
V 3
h
AB 
PB  r
2
V
PB 
AL  2
a
Apotema
a  h2  r 2
Raggio
r  a2  h2
h  a2  r 2
AB  2
r
A 2
a L
PB
PB 
r
AB  2
PB
Il cono retto
Il cono retto è un solido di rotazione
ottenuto da una rotazione di 360° di un
triangolo rettangolo intorno ad uno dei
suoi cateti, l’ipotenusa del triangolo che
ruotando disegna il cono retto è chiamata
generatrice del cono.
Nel cono retto in analogia con la piramide retta, il piede dell’altezza coincide con il centro della
circonferenza
Il cono retto potrebbe essere immaginato come una piramide retta avente come base una
circonferenza per cui le formule attraverso cui si calcolano la superficie ed il volume della piramide
che abbiamo ottenuto per il cono possono essere applicate al cono retto, ricordando però che l’area
della base si calcola con la formula AB    r 2 e che al posto del perimetro di base bisogna
considerare la lunghezza della circonferenza che si calcola con la formula C  2    r
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Cap.2 Geometria solida
Parti del cono
L’altezza, l’apotema ed il raggio
di base formano sono i lati di un
triangolo rettangolo e per essi si
può applicare il teorema d
Pitagora.
In analogia con la
piramide,
la
generatrice viene
chiamata apotema
a  h2  r 2 ;
h  a2  r 2
r  a2  h2
Formulario
Area totale
C a
2
AT  AL  AB
AT    r  a    r 2
Area di base
AB    r 2
AB  AT  AL
AB  h
3
V 3
h
AB
 r2 h
Area laterale
volume
altezza
Circonferenza
AL 
V
C
AL  2
a
Apotema
a  h2  r 2
Raggio
r  a2  h2
AL    r  a
V 
3
V 3
h
 r2
A 2
C B
r
AL
a
 r
A 2
r B
C
AL  AT  AB
AB 
V 3
h
h  a2  r 2
AL  2
C
V 3
r
 h
a
r
AL
 a
Cono retto equilatero
Nel cono retto, il triangolo VAB è un isoscele.
Nel cono retto equilatero il triangolo VAB è equilatero e
l’apotema è uguale al doppio del raggio.
a  2r
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Cap.2 Geometria solida
La sfera e la superficie sferica
r
.C
La sfera è un solido di rotazione ottenuto dalla rotazione
di 360° di una semicerchio intorno al suo diametro.
Si chiama sfera lo spazio che il semicerchio occupa
durante la rotazione.
La semicirconferenza che limita il semicerchio durante la
rotazione genera una superficie curva chiamata
superficie sferica.
Le parti di una sfera sono il suo centro (indicato dalla
lettera C) ed il raggio indicato dalla lettera r. Il raggio
della sfera è il segmento che connette il centro della sfera
con un qualunque punto della superficie sferica
Area della superficie sferica e volume della sfera
L’area della superficie sferica si calcola con la formula S  4    r 2
4
Il volume della sfera è V     r 3
3
Formulario della sfera
Superficie
S  4   r 2
Volume
4
V    r3
3
Raggio
S
3 V
r
r3
4 
4 
Solidi regolari (solidi platonici)
Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti tra loro e tutti i
diedri e gli angoloidi sono rispettivamente congruenti tra di loro.
Tra tutti i poliedri esistenti ne esistono solo 5 che sono regolari. Essi sono: il tetraedro regolare,
l’esaedro regolare o cubo, l’ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l’icosaedro regolare.
I 5 poliedri regolari sono riportati nella figura in basso e per ogni solido è indicata la terna (F,S,V)
dove F = numero delle facce, S = numero degli spigoli e V = numero dei vertici.
Tetraedro
Cubo o Esaedro
Ottaedro
Dodecaedro
Icosaedro
(4,6,4)
(6,12,8)
(8,12,6)
(12,30,20)
(20,30,12)
(immagini e parte del testo © www.wikipedia.it)
Il tetraedro regolare è limitato da 4 triangoli equilateri congruenti.
Il cubo o esaedro regolare è limitato da 6 quadrati congruenti
L’ottaedro regolare è limitato da 8 triangoli equilateri congruenti.
Il dodecaedro regolare è limitato da 12 pentagoni equilateri congruenti.
L’icosaedro regolare è limitato da 20 triangoli equilateri congruenti.
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Cap.2 Geometria solida
Area della superficie e volume di un poliedro regolare
L’area della superficie totale di un poliedro regolare si calcola moltiplicando l’area di una faccia per
il numero totale delle facce:
( n indica il numero delle facce, ed AF indica l’area di una faccia)
AT  n  AF
Il volume si calcola moltiplicando la lunghezza di uno spigolo per un numero fisso indicato dalla
lettera 
(  indica la lunghezza di uno spigolo)
V  3 
Numeri fissi per il calcolo del volume:
Poliedro regolare Numero fisso
Formulario per i poliedri regolari
Tetraedro
0,118
Superficie totale
AT  n  AF
Cubo
1
Area di una faccia
AF  AT : n
Ottaedro
0,471
Volume
V  3 
Dodecaedro
icosaedro
7,663
2,182
Spigolo
3
V

Alcuni minerali hanno la forma di un solido platonico ad esempio la pirite può cristallizzare come
un cubo oppure come un ottaedro
Cubo
ottaedro
(immagini e parte del testo © www.wikipedia.it)
Peso specifico
Il peso specifico è il peso di una unità di volume del solido stesso. L’unità di volume solitamente è
un cm 3 oppure un dm 3 o anche un m 3 .
Un cm 3 indica lo spazio occupato da un cubo avente il lato di un cm e definizioni simili hanno le
altre unità di volume.
Il peso specifico si calcola a partire dalla seguente formula:
P
ps 
V
Formule inverse:
P  ps  V
P
V 
ps
L’unità di misura del peso specifico dipende dalla scelta dell’unità di volume e perciò potrà essere:
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Cap.2 Geometria solida
Kg
t
g
oppure
o anche 3 .
3
3
dm
m
cm
Tabella di alcuni pesi specifici (
Acciaio
Alluminio
Ferro
Acqua a 4° C
Acqua di mare
Olio d’oliva
g
)
cm 3
7,86
2,7
7,8
1
1,03
0,76
A causa della stratificazione prodotta dalla forza di gravità, se si sovrappongono due sostanze aventi
peso specifico diverso e che non si mescolano, la sostanza con il peso specifico più basso andrà a
posizionarsi al di sopra di quella con il peso specifico più alto.
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