PROBLEMI_VARI_GIUGNO_2010 - INFN

PROBLEMA 1)
Un’ automobile di massa M= 120 Kg si muove in orizzontale alla velocita’ costante V= 100
Km/ora. Il coefficiente di attrito e’  = 0,003.
1) si calcoli la potenza necessaria
2) il motore si arresta e si frena . Calcolare il tempo necessario per l’arresto assumendo
un coefficiente di attrito 10 volte superiore.
SOLUZIONE:
1) Sull’auto agiscono la forza del motore e quella di attrito . La velocita’ e’ costante quindi
Ftot = 0
Quindi F motrice = g = 0,003 x 120 x 9,81 = 3,5 Newton
e la potenza W = Fmotrice V= 3,5 x 27,8 = 97,2 Watt
2) E’ un moto uniformemente decelerato sotto l’azione della forza F = - 10  M g
la decelerazione vale a = F/M = -0,03 x 9,81 = 0,29 m/ sec2 . Il tempo t = V/a = 27,8/0,29 =
95,8 sec
PROBLEMA2)
Un corpo di massa M = 2 Kg e’appoggiato su un piano orizzontale . Il coefficiente di attrito
statico e’ s =0,4 e quello dinamico e’ d = 0,3. Al corpo viene applicata in un caso un forza
costante che forma un angolo di 30° con l’orizzontale e in un secondo caso una angolo di – 30°
con l’orizzontale.
1) Si calcoli nei due casi il valore massimo di F perche’ vi sia equilibrio statico.
2) Si calcoli in entrambi i casi il valore di F per cui il corpo si muove con velocita’ costante.
SOLUZIONE:
Si assuma un asse X orizzontale e Y verticale : si ha equilibrio finche’ la componente di F
lungo l’orizzontale
e’ minore o uguale alla forza di attrito statico Fa = s F y con Fy = forza totale lungo Y
Nel primo caso Fy =Fcos 30 = s (Mg - F sin 30) nel secondo Fy = F cos 30 = s ( Mg + F
sin 30)
nel primo caso si ha che deve essere F cos30 <= s ( Mg - F sin 30)
F <= s Mg / (cos 30 s sin 30)
nel secondo caso Fcos 30<= s( Mg + F sin 30) e quindi F <= s Mg / (cos 30 + s sin 30)
Per avere un moto uniforme bisogna che la trazione (cioe’ F cos 30) sia uguale alla resistenza
F cos 30 - d (Mg +/- F sin 30) = 0 cioe’ F = d Mg / (cos 30 +/ - d sin 30)
Numericamente:
F = 7,13 oppure 11,71 Newton
F = 5,78 oppure 8,18 Newton.
PROBLEMA 3)
Una carica di densita’ uniforme  e’ contenuta in una superficie cilindrica di raggio R e
infinitamente lunga.
Scrivere la legge di variazione del campo Elettrico :
1) per r < R
2) per r> R.
SOLUZIONE :
Teorema di Gauss : Il flusso attraverso una superficie di raggio r e lunghezza unitaria e’ E
2r = Q/0
dove Q e’ la carica per unita’ di lunghezza contenuta nel cilindro di raggio r. Il volume del
cilindro V = r2 e la carica in esso contenuta e’ Qr2 .
1) per r < R
E = r2 / 20r = r / 20 e cresce linearmente con r
2) per r > R
E = R2/ 20r e diminuisce come 1/r
PROBLEMA 4)
Si vuole suddividere una differenza di potenziale di 200 Volts in tre parti V1=100 V, V2 = 70
V ,V3 = 30 Volts
mediante un sistema di capacita’ C = 100 pF formato da tre condensatori in serie.
Calcolare i valori C1,C2 e C3 della capacita’ dei tre condensatori.
SOLUZIONE:
la carica Q presente sui tre condensatori e’ la stessa ed e’ uguale alla carica Q presente sul
sitema dei tre condensatori in serie
C1V1 = C2V2=C3V3= CV
da cui si ha
C1= CV/V1 = 100 x 200/100 = 200 pF
C2= 100x200/70 pF = 286 pF
pF = 667 pF
e poi C2= CV/V2 e C3 = CV/V3
e C3 = 100x200/30
Problema 5)
Tre masse uguali con massa M=1 Kg ciascuna sono sospese al soffitto come in figura.
Calcolare la tensione delle tre funi.
top : T= 3 Mg= 29,4 N
mid: T = 2Mg= 19,6 N
bottom : T = Mg = 9,8 N
Problema 6)
M3
Tre masse M1=M3= 1kg, M2= 2Kg sono infilate in un’asta come in figura.
Calcolare la forza esercitata sul suolo e quelle di M2 su M1 e di M3 su M2.
F sul suolo = ( M1 + M2 + M3) x g =39,2 N
F su M1 = (M2+M3) g = 29,4 N
F su M2 = M3 xg = 9,8 N
M2
M1
PROBLEMA7)
In un piano orizzontale P e’ praticato un foro O di diametro trascurabile.
La fune F trattiene una massa m = 0,1 Kg che ruota senza attrito sul piano
P descrivendo una circonferenza di raggio R1 = 30 cm .
La velocità angolare W e’ costante e vale W = 9 rad/sec.
Sia T1 la tensione della fune in questa situazione.
Tirando lentamente la fune attraverso al foro si porta m a ruotare lungo una
circonferenza di raggio R2 = 15 cm. La tensione finale della fune e’ T2.
Calcolare:
il rapporto tra le tensioni T1 e T2
la variazione di Energia Cinetica. R1
m
F
P
O
La tensione della fune e’ una forza centrale. Il momemnto rispetto a O
e’ nullo quindi si conserva il momento della quantita’ di moto
Rispetto a O.
R1 m V1 = R2 mV2
R1 m W1 R1 = R2 m W2 R2
W2 = W1 (R1/R2)2 = 36 rad /sec
T1 = m W12 R1
T2 = m W22 R2 da cui
T1/T2 = (W1/W2)2 R1/R2 = (R2/R1)3 = 0.125
Variazione di E cin
Efin – Einiz = m [( W2R2 )2 – (W1 R1)2]/2 =1,1 joules
PROBLEMA 8)
Una bacchetta rigida, di massa trascurabile e lunghezza R= 0,6 m
e’ imperniata in P e ruota con velocità’ angolare uniforme
W  rad/sec in un piano verticale.
L’asse di rotazione e’ perpendicolare al foglio.
All’estremità’ della bacchetta e’ fissata una massa m= 1 Kg.
Calcolare:
la tensione della bacchetta nei punti A,B,C
Quale valore dovrebbe avere W perche’ in C sia T=0
C
Y
m
B
P
A
X
Le forze che agiscono su m sono la tensione T
e il peso mg.diretto verso il basso (-mg)
La forza centripeta e’ costante e vale Fc = m W 2 R = 23,7 N
diretta sempre verso il centro
Nel punto A
TA - mg = Fc
T = 33,5
In B
TB = Fc
T = 23,7
In C
TC - mg = - Fc
T = -13, 9
Perche’ sia TC = 0 deve essere -mg = -F’c = -m W’2 R
W’2 = g/R da cui
W’ = 4 ,04 rad/sec
Problema 9)
Un treno con 6 vagoni del peso di 10 tonnellate ciascuno corre in salita alla velocita’ costante
di 70 Km/ora .
Il peso del locomotore e’ di 20 tonnellate. La pendenza e’ di 2.9 gradi. Trascurare gli attriti.
Calcolare
1) la potenza istantanea impiegata
2) la tensione al gancio tra il locomotore e il primo vagone
3) la tensione al gancio dell’ultimo vagone.
1) la potenza e’ F x V
il moto e’ uniforme F tot = 0
F loc = Peso treno x sin  = 80 x 103 x 0,05 =4 x 103 N
Peso treno x sin  – F loc = 0
Potenza =4 x 103 x 0.02 x103 = 80 KW
2) il peso dei 6 vagoni e’ 60 ton.
60x103 x 0,05 =3x 103 N
3) il peso dell’ultimo vagone e’ 10 ton
10 x 103 x 0,05= 0,5x 103Problema 2
PROBLEMA 10)
Un treno di 5 vagoni di peso di 8 t ciascuno trainato da un locomotore di peso di 15 t. corre
in orizzontale a 50 Km/ora .Frena e si arresta con decelerazione a=costante in un Km.
calcolare:
1) l’energia totale dissipata dai freni
2) la forza esercita dal primo vagone sul locomotore
3) quella dell’ultimo vagone su quello che lo precede.
1) E=1/2 M V2
M= 55x103/9.8 Kg = 5,6x103 Kg
V= 50x103 /3600 = 0,014 x103 = 14 m/sec
E= 549 x 103 Joules
2) v = vin –at s= ½ a t2 at = vin s= ½ a t2 = ½ vin/t x t2 = ½ vin x t t=2s/vin =144 sec
a= vin/t = 0,096 m/sec^2
la forza f = p x 5/g x a = 40x 103 /9.8 x 0,098 = 392 N
3) 80 N e’ 5 volte piu’ piccola.
Problema 11)
Un tubo di massa trascurabile e con le pareti liscie contiene una masse scorrevole di 10 gr . Il
suo centro e’ connesso all’estremita’ del tubo da una fune ideale lunga 12 cm . Il tubo ruota in
un piano orizzontale intorno ad un asse verticale passante per il suo estremo con una velocita’
angolare di 5  rad/sec.
Calcolare
1) la tensione della fune.
2) il valore del momento della quantita’ di moto
3) il lavoro fatto per portare il sistema nelle condizioni finali
T = m 2 l = 10 x 10- 3x 246 x 0.12 = 0,295 N
Mq = m v l = m l 2 = 10 x 10- 3x 15,7 x 144 x 10- 4 = 22,6 x 10-4
Kg m2 sec- 1
L = Ecin finale = ½ m v2 = ½ m w2 l2 = 10 x 10-3 x 246 x 144 x 10 - 4 = 354 x 10- 4 Joules
Problema 12)
Un tubo di massa trascurabile e con le pareti lisce contiene una massa scorrevole di 20 gr. Il
suo centro e’ connesso all’estremità’ del tubo da una fune ideale lunga 15 cm . Il tubo ruota in
un piano orizzontale intorno ad un asse verticale passante per il suo estremo e la tensione
della fune vale T = 1,45 N
Calcolare
1) il valore di W
2) il valore del momento della quantita’ di moto
3) il lavoro fatto per portare il sistema dalla quiete alle condizioni finali.
T = M w2 l
w=
T / Ml  1,45 / 20  103  15  102  21,9 rad/sec = 6,44 x  rad/sec
Mq = M v l = M w l2 = 20x10- 3 x 21,9 x 152 x 10- 4 = 98,6 x 10- 4 Kg m2 sec-1
L = Ecin finale = ½ m v2 = ½ m w2 l2 = 0,5 x 20 x 10- 3 x 21,92 x 152 x 10-4
= 1079 x 10- 4 Joules
Problema 13)
Un sistema di tre condensatori uguali di capacita’ Ci = 1 F e’ disposto come in figura .
F = 10- 6 Farad
Il sistema viene portato alla tensione V = 100 Volt.
Calcolare:
1) la capacita’ totale
2) il lavoro fatto dal generatore
1
Ctot = C + C/2 = 1,5 mF
E= ½ Ctot V2 = ½ x 1,5 x 10- 6 x 104 = 0,75 x 10- 2 Joules
Problema 14)
Nel sistema di condensatori in figura C1=1pF,C2=2pF,C3 e C4 = 3pF.
Farad
La carica totale e’ Q = 4,5 x 10 -7 Coulomb
Calcolare
1) La tensione ai capi del sistema
2) L’energia totale immagazzinata
1 pF = 10-9
C3
C1
C2
C4
Ctot = C1 + C2 + C3 /2 = 4,5 pF
V= Q/C = 4.5 X 10- 7 / 4,5 x 10- 9 = 100 V
E= ½ CV2 = ½ x 4.5 x 10- 9 x 104 = 2.25 x 10- 5 Joules
PROBLEMA 15)
Determinare la velocità’ V che bisogna imprimere ad un grave posto sulla superficie di un
pianeta perche’ possa sfuggire alla sua attrazione gravitazionale:
1) considerare il caso della terra Mt = 5,98 x 1024 kg e Rt = 6,37x 106 m
2) e il caso della luna Ml = 7,38 x 1022 e Rl = 1,74 x 106 m.
Si ponga G = 6,67 x 10-11 m3/kg sec2
SOLUZIONE :
la forza di gravita’ e’ conservativa e l’energia totale si conserva . L’energia potenziale
gravitazionale
e’ U = - G M m /R
Energia iniziale
E = ½ m v02 – GMt m/Rt uguale all’energia finale che e’ zero (r =
infinito e vfin =0)
da cui v0 2 = 2 G Mt/Rt = 11,18 Km/sec
oppure v02 = 2 G Ml/Rl = 2,37 km/sec
PROBLEMA 16)
Un’ automobile di massa M= 120 Kg si muove in orizzontale alla velocita’ costante V= 100
Km/ora. Il coefficiente di attrito e’  = 0,003.
3) si calcoli la potenza necessaria
4) il motore si arresta e si frena . Calcolare il tempo necessario per l’arresto assumendo
un coefficiente di attrito 10 volte superiore.
SOLUZIONE:
1) Sull’auto agiscono la forza del motore e quella di attrito . La velocita’ e’ costante quindi
Ftot = 0
Quindi F motrice = g = 0,003 x 120 x 9,81 = 3,5 Newton
e la potenza W = Fmotrice V= 3,5 x 33,3 = 116,7 Watt
2) E’ un moto uniformemente decelerato sotto l’azione della forza F = - 10  M g
la decelerazione vale a = F/M = -0,03 x 9,81 = 0,3 m/ sec2 . Il tempo t = V/a = 33,3 /0,3 = 111
sec
PROBLEMA 17)
Un carrello si muove orizzontalmente con accelerazione a = 5 m/sec2.
Al tempo t=0 da un supporto solidale al carrello e alto h = 1m cade un punto materiale di
massa m che ricade sul carrello. A t=0 la velocita’ del carrello e’ V0
1)Calcolare la distanza rispetto al carrello percorsa dal punto al momento dell’impatto.
2) Si ripeta il calcolo nel caso che il punto materiale venga lanciato, dallo stesso supporto
,verso l’alto con velocita’ tale da raggiungere l’altezza h = 5 m rispetto al piano del carrello
SOLUZIONE :
L’accelerazione del carrello non ha componenti verticali.
Il tempo di caduta del punto e’ t2 = 2h/g in questo tempo il carrello percorre lungo
l’orizzontale lo spazio
x = v0 t + ½ a t2 e il punto percorre x = v0 t .
La distanza percorsa rispetto al carrello e’ d = - ½ at2 = - ½ x 5 x 2 / g = - 0,51 m
Per raggiungere h = 5m il punto deve salire di 4 m impiegando il tempo t1 = (2h/g) ½ = (8/g) ½
, poi deve scendere di 5 metri impiegando t2 = (10/g) ½ . Con il ragionamento precedente il
punto si sara’ spostato rispetto al carrello di x = ½ a t2 = ½ a ( t1 + t2)2 = 9,25 m
PROBLEMA18)
Un corpo di massa M = 2 Kg e’appoggiato su un piano orizzontale . Il coefficiente di attrito
statico e’ s =0,4 e quello dinamico e’ d = 0,3. Al corpo viene applicata in un caso un forza
costante che forma un angolo di 30° con l’orizzontale e in un secondo caso una angolo di – 30°
con l’orizzontale.
1) Si calcoli nei due casi il valore massimo di F perche’ vi sia equilibrio statico.
2) Si calcoli in entrambi i casi il valore di F per cui il corpo si muove con velocita’ costante.
SOLUZIONE:
Si assuma un asse X orizzontale e Y verticale : si ha equilibrio finche’ la componente di F
lungo l’orizzontale
e’ minore o uguale alla forza di attrito statico Fa = s F y con Fy = forza totale lungo Y
Nel primo caso Fy =Fcos 30 = s (Mg + F sin 30) nel secondo Fy = F cos 30 = s ( Mg - F
sin 30)
nel primo caso si ha che deve essere F cos30 <= s ( Mg - F sin 30)
F <= s Mg / (cos 30 s sin 30)
nel secondo caso Fcos 30<= s( Mg + F sin 30) e quindi F <= s Mg / (cos 30 + s sin 30)
Per avere un moto uniforme bisogna che la trazione (cioe’ F cos 30) sia uguale alla resistenza
F cos 30 - d (Mg +/- F sin 30) = 0 cioe’ F = d Mg / (cos 30 +/ - d sin 30)
Numericamente:
F = 7,13 oppure 11,71 Newton
F = 5,78 oppure 8,18 Newton.
PROBLEMA 19)
Due fili paralleli, rettilinei e infinitamente lunghi, di sezione trascurabile son0 carichi con
densita’ lineare di carica 1=+ 10-8 e 2 = – 0,5 10-8 C/m. Essi sono distanti d= 5 cm.
Calcolare il campo elettrico nel punto di mezzo della loro congiungente, e la forza per unita’
di lunghezza con la quale si attraggono.
(0 = 8,85x 10 -12 C/ Vm )
SOLUZIONE:
Il campo si calcola con il teorema di Gauss
Il flusso attraverso una superficie di raggio r e
lunghezza unitaria e’ E 2r = /0
Per r = d/2 sara’ E1 = 1/ (2 0 d/2) ed E2= - 2/( 2 0 d/2).
Il campo risultante in d/2 e’ la sovrapposizione dei due
E= (1-2)/( 2 0 d/2) = 1,5 10-8/ (3,14 x 8.85 x 10-12 x 0,05) = 1,08 V/m
La forza con cui un filo attrae l’altro e’ F = (1x2)/( 2 0 d) = 0,5 x 10-16 / 2,78 x 10-14 =
0,18 x 10-2 N
PROBLEMA 20)
Una carica di densita’ uniforme  e’ contenuta in una superficie cilindrica di raggio R e
infinitamente lunga.
Scrivere la legge di variazione del campo Elettrico :
3) per r < R
4) per r> R.
SOLUZIONE :
Teorema di Gauss : Il flusso attraverso una superficie di raggio r e lunghezza unitaria e’ E
2r = Q/0
dove Q e’ la carica per unita’ di lunghezza contenuta nel cilindro di raggio r. Il volume del
cilindro V = r2 e la carica in esso contenuta e’ Qr2 .
1) per r < R
E = r2 / 20r = r / 20 e cresce linearmente con r
2) per r > R
E = R2/ 20r e diminuisce come 1/r
PROBLEMA 21)
Si abbia una distribuzione sferica di carica di raggio R e di densita’ uniforme
Si scriva l’espressione del campo elettrico per
1) r < R
2) r > R
SOLUZIONE:
Teorema di Gauss
Il flusso di E attraverso una superficie sferica di raggio r
Q/0
dove Q =  4/3 r3 e’ la carica totale contenuta all’interno della superficie.
1) r < R
2) r > R
e’ E 4r2 =
E =  4/3 r3 / 40 r2 = r /30 E aumenta linearmente con r
E = 4/3 R3/ 4r20
E diminuisce come 1/r2
PROBLEMA 22)
Si vuole suddividere una differenza di potenziale di 200 Volts in tre parti V1=100 V, V2 = 70
V ,V3 = 30 Volts
mediante un sistema di capacita’ C = 100 pF formato da tre condensatori in serie.
Calcolare i valori C1,C2 e C3 della capacita’ dei tre condensatori.
SOLUZIONE:
la carica Q presente sui tre condensatori e’ la stessa ed e’ uguale alla carica Q presente sul
sitema dei tre condensatori in serie
C1V1 = C2V2=C3V3= CV
da cui si ha
C1= CV/V1 = 100 x 200/100 = 200 pF
C2= 100x200/70 pF = 286 pF
pF = 667 pF
e poi C2= CV/V2 e C3 = CV/V3
e C3 = 100x200/30
Problema 23)
Nella figura la lunghezza del filo, di massa trascurabile, che
sostiene la pallina P al suo centro e’ L=30 cm, la massa
della pallina e’ 2gr ,la sua carica elettrica e’ Q = 10 -7 Coulomb.
Le dimensioni della pallina sono trascurabili rispetto a L.
Inizialmente la pallina e’ tenuta ferma contro la superficie
piana e infinita di un conduttore che viene caricato positivamente.
La pallina viene accompagnata fino a che’ raggiunge una posizione
L
di equilibrio in cui l’angolo del filo con il piano conduttore e’ di 45o
Calcolare:
1) la tensione T del filo
+
2) il campo elettrico sulla superficie del conduttore
3) l’energia cinetica della pallina al passaggio per la posizione
di equilibrio se anziche’ essere accompagnata viene lasciata libera.
+
+
+
+
+
+
+
+
all’equilibrio deve essere
qE + T sin 45 = 0
mg + Tcos 45 = 0
T =mg/cos45= 27.7 x 10-3 N E=mg tang 45/q =19,6x104 V/m
Le forze sono due, qE e mg, entrambe conservative, quindi la variazione di energia cinetica e’
uguale al loro lavoro, l’energia cinetica iniziale e’ nulla quindi
Ecin = qELsin45– mgL(1-cos45) = 2.5 x 10-3 Joules
PROBLEMA 24)
Un filo rettilineo di sezione trascurabile e di lunghezza infinita possiede una densita’ lineare di
carica  = 10-8 Coulomb/m.
Calcolare:
1) Il campo elettrostatico a distanza y = 1cm dal filo
2) la differenza di potenziale tra tale punto e uno posto a 3 cm dal filo.
Si ponga 0 = 8.85 x 10-12
SOLUZIONE 3) :
1) Si applica il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di lunghezza L e raggio y, coassiale
con il filo. Essendo il filo indefinitamente lungo il campo non ha componenti parallele al filo ma
solo ad esso perpendicolari, cioe’ radiali.
Il flusso attraverso la superficie cilindrica e’
F = 2y x L x E =  x L/0
da cui
3
E =  / 2 0 y = 18 x 10 V/m
2) La differenza di potenziale si puo’ ottenere calcolando il lavoro del campo per spostare una
carica unitaria da y1 = 1 cm a y2 = 3 cm.
W = integrale (tra y1 e y2) (q E dy) = integrale ( / 2 0 y ) = (½  / 2 0 ) log y2/y1 = 198.7 Volt
( q e’ uguale a 1)
PROBLEMA 25)
Un condensatore piano ad armature quadrate di lato a = 50 cm, distanti d=2 cm, e’ caricato al
potenziale
V0 = 1000 Volt. Un blocco di materiale dielettrico con costante dielettrica relativa k = 5 a
forma di parallelepipedo con basi quadrate di lato a e altezza d , puo’ entrare e scorrere senza
attrito tra le due armature.
Calcolare:
1)
2)
3)
4)
il valore dell’energia elettrostatica iniziale (senza blocco inserito)
l’energia elettrostatica quando il blocco e’ entrato di una profondita’ x (formula)
la forza che agisce sul blocco quando e’ entrato di una profondita’ x (formula)
il valore dell’energia cinetica del blocco quando e’entrato del tutto.
Si consideri che il processo avvenga a carica costante q = q0 e si ponga 0 = 8.85 x 10-12
Si noti che in assenza di attriti il blocco viene attratto all’interno del condensatore e esce dalla
parte opposta, ma viene richiamato indietro rimanendo ad oscillare intorno alla posizione
centrale di equilibrio .
SOLUZIONE 26) :
1) E’ un condensatore piano di capacita’ C0 = 0 a2/d = 110,6 x 10-12 Farad , q0 = C0 V0 = 110,6 x
10-9 Coul.
W0 = ½ q02/ C0 = 55,3 x 10-6 Joules
2) Quando il dielettrico e’ entrato di x , il condensatore puo’ essere considerato come un sistema di
due condensatori in parallelo di capacita’
C1 = 0 k x a / d
e
C2 = 0 (a-x) a / d
e possiede l’energia elettrostatica
2
2
W = ½ q0 / (C1+C2) = (qo d / 2 0 a ) / [( k-1) x + a )]
3) La forza e’
F= dW/dx = (q02d/ 2 0 a) (k-1)/[(k-1) x +a ] 2
N
4) Poiche’ la forza elettrostatica e’ conservativa e non ci sono attriti l’energia cinetica e’ uguale al
lavoro fatto
quando il blocco e’ entrato del tutto
L = integrale (per x che varia tra 0 e a) di (F dx) = (qo2 d/ 20 a 2) (k-1) / k = 4.46 x 10-5 Joules
OPPURE
C fin = kC0
Joules
L = - (Wfin – W0 ) = ½ q02/ C0 - ½ q02/ kC0 = W0 (1- 1/k) =W0 (k-1)/k = 4,46 x 10-5