Che cosa sono i numeri cos( ) e sin( )

Che cosa sono i numeri cos() e sin()?
Il numero cos() è il “rapporto di proiezione” sull’asse x e il numero sin() è il “rapporto di
proiezione sull’asse y: per esempio, se prendiamo un vettore v di modulo 10 che ha direzione 70°
allora le componenti di questo vettore sono
[10·cos(70), 10·sin(70)]  [3.42, 9.40]
Per comodità prendiamo ora un vettore v di modulo 1 (si chiama versore) e direzione . Allora le
sue componenti sono esattamente
[cos(), sin()].
Possiamo allora dare la seguente definizione. Dato un versore (=vettore di modulo 1) di direzione ,
allora cos() è la componente orizzontale (lungo l’asse x) e sin() è la componente verticale (lungo
l’asse y).
1

-1
1
-1
Esercizi
Stabilire quali delle seguenti proprietà sono vere e quali sono false.
1) Qualunque sia , cos() e sin() sono positivi.
2) Qualunque sia , cos() e sin() sono compresi tra 1 e 1.
3) Qualunque sia , cos()2+sin()2 = 1.
4) Qualunque sia , cos() = cos().
5) Qualunque sia , sin() = sin().
6) Qualunque sia , sin(2) = 2sin().
7) Qualunque sia , sin(+) = sin()+sin().
8) Esiste un solo angolo  tale che cos()=sin().
9) Esiste un solo angolo  per il quale cos()=1.
10) Esiste un solo angolo  per il quale cos() = 1/2.
Esercizio fondamentale: In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 12 cm e un angolo acuto
misura 35°. Quanto misura il cateto adiacente all’angolo? E il cateto opposto all’angolo?
Con la calcolatrice o con TI-InterActive!, tracciare il grafico di cos(x) e di sin(x) tra 180° e 180°.
Ora un angolo è indicato con la variabile x. Che cosa possiamo leggere su questi grafici? Per
esempio:
1) Per quali angoli cos(x) è positivo? Per quali è negativo? Per quali è nullo?
2) Per quali angoli sin(x) è positivo? Per quali è negativo? Per quali è nullo?
3) Per quale angolo cos(x) è massimo? E per quale è minimo?
4) Per quale angolo sin(x) è massimo? E per quale è minimo?
5) In quali intervalli cos(x) è crescente? In quali è decrescente?
6) In quali intervalli sin(x) è crescente? In quali è decrescente?
7) Per quali angoli cos(x) = sin(x)? Per quali angoli cos(x) = sin(x)?
8) Per quali angoli cos(x)>sin(x)?
Lettura dei grafici di cos(x) e sin(x)
Ancora sul grafico di cos(x) e di sin(x): forse è meglio tracciare il grafico con xmin=0, xmax=360.
Provate così a “leggere” sul grafico le variazioni di cos(x) e sin(x). Vi riscrivo le domande più
importanti.
1) Per quali angoli cos(x) è positivo? Per quali è negativo? Per quali è nullo?
2) Per quali angoli sin(x) è positivo? Per quali è negativo? Per quali è nullo?
3) Per quale angolo cos(x) è massimo? E per quale è minimo?
4) Per quale angolo sin(x) è massimo? E per quale è minimo?
5) In quali intervalli cos(x) è crescente? In quali è decrescente?
6) In quali intervalli sin(x) è crescente? In quali è decrescente?
7) Per quali angoli cos(x) = sin(x)?
8) Per quali angoli cos(x)>sin(x)?
9) Per quanti e quali angoli sin(x) = 1/2? (suggerimento: costruite il grafico come nella figura
seguente )
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Abbiamo visto che se in un triangolo rettangolo conosco la misura dell’ipotenusa e di un angolo
acuto possiamo determinare le lunghezze dei cateti e degli altri angoli, cioè possiamo risolvere il
triangolo.
Possiamo fare la stessa cosa anche nel caso in cui sia nota la lunghezza di un cateto e di un angolo
acuto, oppure di due cateti.
Completare la seguente tabella, che si riferisce ad un triangolo rettangolo.
a
b
c

40
70°
90°
70°
90°
40
40
40
80


90°
80
90°
Funzioni parametriche
Abbiamo visto che x=cos(t), y=sin(t), con t che va da 0 a 360 sono le funzioni parametriche di una
circonferenza che come centro (0,0) e come raggio 1. Questa particolare circonferenza prende il
nome di circonferenza goniometrica (cioè “circonferenza degli angoli”).
1. Come si fa a tracciare la stessa circonferenza, però in modo tale che il punto che la descrive si
muova in verso orario?
2. Come si fa a tracciare una circonferenza di centro (1,1) e raggio 1? E una circonferenza di centro
(2,1) e raggio 2?
3. Tutte le circonferenze sono simili, cioè esiste una similitudine (in soldoni: un cambiamento di
scala) che muta una circonferenza in un’altra qualsiasi circonferenza. Ne consegue che il rapporto
tra due lunghezze corrispondenti è sempre lo stesso. In particolare il rapporto tra la lunghezza di
una circonferenza e la lunghezza del suo diametro per qualunque circonferenza è sempre lo stesso
numero (vale circa 3, lo si indica con il simbolo , “pi greco”). Riassumendo:
circonferenza
= ,
diametro
oppure, indicando con C la circonferenza e con r il raggio:
C
= ,
2r
da cui, per definizione di :
C = 2r.
Dunque la lunghezza di una circonferenza è 2 volte (circa 6) la lunghezza del raggio.
Domanda: quanto misura il perimetro di un pentagono regolare inscritto in una circonferenza di
raggio 1? (suggerimento: si congiungono i vertici del pentagono con il centro della circonferenza: lo
si divide così in 5 triangoli isosceli congruenti; basta trovare la base di uno di questi triangoli )
Risoluzione di un triangolo rettangolo
Se di un triangolo rettangolo conosciamo l’ipotenusa c e un angolo acuto , possiamo determinare i
due cateti (vedi figura):
b = c cos() a = c sin().
Queste ultime sono uguaglianze che coinvolgono tre elementi. Quindi se conosciamo due di essi
possiamo determinare il terzo!
Completare la seguente tabella.
Non sono ammesse giustificazioni del tipo “non ci
sono riuscito”.
a
b
c

40
70°
90°
70°
90°
40
40
40
80


90°
80
90°
12.
1. Un punto parte da (4,2) e raggiunge (5,0) dopo 3 s (quindi tmax=3). Trovare le funzioni
parametriche. Quali sono le componenti del vettore velocità? Qual è il modulo della velocità? Qual
è la direzione del moto?
2. Tracciare con la calcolatrice o con TI-InterActive!, nell’intervallo [0, 360°] il grafico della
funzione y = cos(x)sin(x). Per quali valori di x risulta y > 0? Per quali valori di x la funzione risulta
crescente?
3. Per quali valori di x compresi nell’intervallo (180°, 180] risulta cos(x)>1/2?
3
1
? Perché sin(60°)=
?
2
2
5. Completare la seguente tabella (approssimare alla prima cifra decimale).
4. Perché sin(30°)=
a
b
c

3.6
30°
90°
30°
90°
4.2
1.9
5.4
2.7


90°
6.1
90°
6. La somma di due vettori v e w entrambi di modulo 1 è un vettore di modulo 1: è possibile?
a) Se SI: come devono essere disposti i due vettori?
b) Se NO: perché?
7. Un punto si sta muovendo di moto rettilineo uniforme con vettore velocità v=[2 m/s, 3 m/s].
Qual è il modulo della sua velocità? Qual è la sua direzione?
8. Un punto si muove con velocità 12 m/s in direzione 113.5°. Qual è il vettore velocità v=[vx,vy]
(cioè quali sono le componenti orizzontale e verticale)?
9. Partendo dall’origine un punto si sposta di 7 m in direzione 0°, poi di 7 m in direzione 120° e poi
di 7 m in direzione 240°. Dove arriva?
10. Partendo dall’origine un punto si sposta di 2 m in direzione 100°, poi di 3 m in direzione 100°
e infine di 4 m in direzione 10°. Dove arriva?
11. In un triangolo due lati misurano 132 cm e 187 cm, e l’angolo tra essi compreso ha ampiezza
179°. Quanto misura il terzo lato?
12. Una circonferenza ha raggio 1 cm, e quindi ha lunghezza 2 cm = 6.2831853 cm. Si consideri
il poligono regolare di n lati inscritto in essa e sia Pn il perimetro di tale poligono.
Completare la seguente tabella.
n
4
5
6
8
10
12
Pn
Che cosa succede al crescere di n?
13. Un cerchio ha raggio 1 cm, e quindi ha area r2 cm2 =  cm2 = 3.14159265 cm2. Si consideri
il poligono regolare di n lati inscritto in essa e sia An l’area di tale poligono.
Completare la seguente tabella.
n
4
5
6
8
10
12
Pn
Che cosa succede al crescere di n?
14. Quali sono le funzioni parametriche di una circonferenza di centro C(2, 1) e raggio r = 3?
15. Quali sono le coordinate polari del punto (5, 100°)?
16. Il punto P(4, 1) viene ruotato intorno all'origine O di un angolo di 90°. Quali sono le coordinate
cartesiane del punto di arrivo?
17. Il vettore v=[2,1] viene ruotato intorno all’origine in verso antiorario di 45°. Quali sono le
componenti del vettore di arrivo?
18. Nel piano cartesiano si considerino i punti A(2,1), O(0,0) e B(6,2). Calcolare l’ampiezza
dell’angolo AOB.
19. Risulta sin(150°) =1/2, ma sin1(1/2)  150°: perché? Risulta cos(60°)=1/2, ma
cos1(1/2)60°. Perché?
20. Ci sono infiniti triangoli i cui angoli misurano 50°, 60° e 70°: sono tutti triangoli simili, cioè con
la stessa forma.
 Trovare le misure dei lati di uno di questi triangoli, a scelta.
 Ce n’è uno solo con perimetro 100 cm. Quali sono le misure dei suoi lati?
21. Determinare l'area di un triangolo sapendo che due lati misurano 6 cm e 4 cm, e l’angolo
compreso misura 75°.
22. La celebre parete nord del Cervino ha una inclinazione media di 65°. Quanto vale la pendenza
media?
23. Una strada carrozzabile molto ripida può arrivare a pendenze dell’ordine del 18%; qual è
l’inclinazione?
24. Vero o falso?
sin() = cos(90°)
sin(180°  ) = sin()
cos(180°) = cos()
2
2
sin(3) = 3sin()
cos() +sin() = 1
cos(+) = cos()+cos()
sin() = sin()
cos() = cos()