calcoli - ACE-SAP

CALCOLI
Le due temperature necessarie per svolgere i calcoli si ottengono dalla sequenza dei dati
acquisiti. In particolare dal primo valore della serie che rappresenta la temperatura ambiente
(indicata con t ) e dal valore minimo della serie (spesso coincidente con l’ultimo) che rappresenta
la temperatura “bagnata” (indicata con t w ).
Grazie a t e t w è possibile ricavare lo stato igrometrico dell’aria ambiente utilizzando le seguenti
formule :
1. Formula empirica approssimata per la pressione di vapore saturo in funzione della temperatura
E ( t ) = 6,11  10
7 , 5 t
237, 7  t
2. Formula dello psicrometro
cp p
  (t  t w )
Le D
e = E ( tw ) -
3. (1)
4 (2)
5. (1)
U
e
 100
E( t )
Q( t )  D 
q
E
p
( relazione approssimata )
UQ
100
dove (in parentesi sono indicate le unità di misura):
t = temperatura ambiente ( °C );
t w = temperatura del bulbo bagnato ( °C );
p = pressione atmosferica locale non ridotta al livello del mare ( hPa );
D = coefficiente adimensionale = 0,622;
c p = calore specifico dell’aria secca a pressione costante = 1005 j /( kg * °K );
L e = calore latente di evaporazione dell’acqua = 2,5  10 6 j / kg ;( valore a 0 °C )
E ( t ) = pressione del vapore acqueo saturo alla temperatura t ( hPa ) ;
e = pressione del vapore acqueo dell’aria ( hPa ) ;
U = umidità relativa in percentuale ;
q = umidità specifica ( kg / kg ) ;
Q = umidità specifica alla saturazione ( kg / kg ) .
Come pressione si può introdurre un valore fisso di 1000 hPa dato che nell’intervallo 950-1050 hPa
i valori che si ricavano con la formula non si modificano sensibilmente. Se ci si trova oltre i 500
metri di quota sul livello del mare e fino a 1500 metri circa, è preferibile sottrarre al valore indicato
mediamente 1 hPa ogni 10 metri circa per tenere conto della diminuzione della pressione con
l’altezza.
Per le caratteristiche del sensore disponibile si rende necessario il confronto con i valori ottenuti
tramite uno strumento di riferimento, procedura consueta che, se viene eseguita rigorosamente,
viene indicata con il termine “taratura dello strumento”. Si è utilizzato a questo scopo lo
psicrometro tradizionale presente all’osservatorio meteorologico di Rovereto, ottenendo con una
t  tw
regressione lineare la relazione approssimata: y  x  (1 
)
50
t
t
dove “x” rappresenta la pressione del vapore con i dati forniti da LabBOX , mentre “y” quella
fornita dallo psicrometro di riferimento
Ora è possibile eseguire i calcoli in modo indipendente, oppure inserire i dati richiesti (temperatura
asciutta, temperatura bagnata, altezza sul livello del mare) in un foglio di calcolo già predisposto ed
ottenere direttamente i risultati finali, applicabili solo se viene utilizzato il sensore di LabBOX.
Vengono visualizzati valori con una precisione normalmente richiesta negli osservatori
meteorologici. Questo è possibile se l’accuratezza del sensore di temperatura è dell’ordine del
decimo di grado centigrado. Dato però che nel nostro caso è significativamente inferiore, i valori
forniti rappresentano solo delle indicazioni di massima. Chi fosse già fornito di uno psicrometro
tradizionale può utilizzare le formule presentate, omettendo la relazione di confronto.
Senza eseguire alcun tipo di calcolo, resta comunque la possibilità di valutare qualitativamente se
nel tempo un ambiente si arricchisce o si impoverisce di vapore sulla base rispettivamente del
minore o maggiore raffreddamento misurato.
ANALISI QUANTITATIVA
Questa analisi potrebbe essere svolta in modo più rigoroso da un punto di vista termodinamico,
tuttavia si è preferito utilizzare concetti più facilmente comprensibili e intuitivi.
Consideriamo un certo volume di aria umida e idealmente portiamolo alla saturazione introducendo,
poco alla volta, dell’acqua e facendola evaporare adiabaticamente (cioè senza scambio di calore con
l’ambiente circostante) a pressione costante. Il calore necessario per l’evaporazione viene fornito
dallo stesso volume d’aria per cui, durante il processo di umidificazione, esso si raffredda
gradualmente fino a raggiungere la temperatura t w ( “wet-bulb temperature” ovvero temperatura
di bulbo bagnato) in corrispondenza della quale la pressione del vapore assume il valore massimo
Ew .
Cerchiamo una relazione tra la pressione del vapore presente prima del processo di umidifazione
(che indichiamo con “ e “) e la temperatura t w .
Sia:
m a la massa di aria secca contenuta nel volume considerato;
m v la massa del vapore contenuta nel volume considerato;
m vs la massa del vapore saturo nel volume considerato alla fine del processo di umidificazione;
m vs  m v la quantità d’acqua che deve evaporare per rendere saturo il volume d’aria in esame.
Per la legge fondamentale della calorimetria (3) risulta:
L e  (m vs  m v )  c p  m a  ( t  t w )  c pv  m v  ( t  t w )
Il primo membro rappresenta il calore per far evaporare la quantità d’acqua necessaria per
raggiungere la saturazione, il secondo membro la quantità di calore ceduta a pressione costante,
rispettivamente dall’aria secca e dal vapore acqueo presenti nel volume d’aria, per permettere tale
evaporazione.
Si dividono ambo i membri per m a .
Ricordando che:
r ( = rapporto di mescolanza ) =
mv
ma
rs ( = rapporto di mescolanza alla saturazione ) =
m vs
ma
e osservando che c pv  r è molto minore di c p (a causa di r ), e quindi trascurabile, si ottiene con
semplici passaggi algebrici:
r  rs 
cp
Le
 (t  t w )
infine moltiplicando ambo i membri per
r = D
e
p
e
R = D
p
, e tenendo presente che con buona approssimazione 5
D
E
p
si ottiene la relazione psicrometrica:
e  E w (t w )  D 
La quantità A  D 
cp
Le
 p  (t  t w )
cp
è detta coefficiente psicrometrico.
Le
In realtà tale coefficiente dipende anche dalla velocità di ventilazione, dalla tipologia dello
strumento utilizzato e in misura minore dalla temperatura e dall’umidità. Come conseguenza nel
passato i servizi meteorologici nazionali europei hanno adottato valori diversi fra di loro, in base a
derivazioni teoriche più o meno sofisticate e agli strumenti in dotazione presso i loro osservatori. In
Italia il Servizio Meteorologico dell’Aeronautica Militare assume il valore di 67  10 5 .
Recentemente l’Organizzazione Meteorologica Mondiale ha adottato, relativamente ad uno
strumento standard di riferimento, il valore 65.3  10 5 a 50% di umidità, 20 °C e 1000 hPa.
Ora si vuole applicare la formula ad una situazione reale. Se viene intrisa d’acqua una garza
idrofila, la successiva evaporazione la raffredda gradualmente. L’aria ambiente di conseguenza cede
calore alla garza proporzionalmente alla differenza di temperatura che si viene a creare.
Il sistema è quindi destinato a raggiungere un equilibrio tra calore sottratto per effetto
dell’evaporazione e calore fornito dall’aria ambiente per effetto della differenza di temperatura.
In condizioni di equilibrio si misura t w . Lo strato d’aria a contatto con la garza, oltre a raffreddarsi,
si arricchisce di vapore acqueo tendendo alla saturazione. Questi due processi favoriscono una
convezione naturale che permette il mantenimento dell’evaporazione sia pure in forma ridotta.
Se si rimuove lo strato d’aria con un ventilatore in grado di imprimere una velocità di qualche metro
al secondo, si massimizza l’evaporazione e si rendono più precise alcune semplificazioni
matematiche adottate nell’analisi teorica.
Grazie alla ventilazione forzata una ”porzione” di aria ambiente raggiunge ed avvolge
temporaneamente la garza, le cede calore permettendo l’evaporazione del liquido in essa contenuto,
si arricchisce di vapore fino quasi alla saturazione e contemporaneamente si raffredda fino alla
temperatura di bulbo bagnato. Il tutto adiabaticamente rispetto alla rimanente quantità di aria
presente nell’ambiente, dato che lo scambio di calore per conduzione è poco efficace nell’aria, e a
pressione costante (quella atmosferica) come richiesto dall’analisi teorica. La “porzione” di aria
viene poi rimossa, sostituita da tante altre, destinate in successione a subire lo stesso processo. Tale
successione in realtà è un flusso continuo e permette il mantenimento di una situazione di equilibrio
termico dinamico fino alla quasi completa evaporazione del liquido.
Il grafico della finestra di LabBOX relativa alle temperature visualizza quanto descritto: il
raffreddamento iniziale e il graduale raggiungimento di una temperatura stabile (equilibrio termico).
NOTE
1- Queste relazioni risultano facilmente comprensibili sulla base delle definizioni fornite nel
glossario.
2- Queste relazioni si ottengono nel seguente modo. Si ricorre alla definizione della grandezza in
esame come rapporto di due masse (vedi glossario). Si considerano l’aria secca, il vapore e l’aria
umida come dei gas perfetti. Dall’equazione omonima, per ciascun caso, si ricava la massa e la si
sostituisce nel rapporto. Con semplici passaggi e trascurando a denominatore “e” in quanto molto
minore di “p” si ottengono le relazioni indicate e si scopre il significato teorico del coefficiente
adimensionale introdotto ( D ).
3- La quantità di calore assorbita (ceduta) da una data massa di sostanza produce un aumento
(diminuzione) di temperatura proporzionale al suo calore specifico.