Misura del rapporto e/m
(8 settembre 2006)
Materiale necessario
1) Generatore di tensione multiplo Leybold 52165;
2) voltmetro (300 V);
3) bobine di Helmholz Leybold 555581 con generatore di corrente (3 A);
4) amperometro (3 A);
5) ampolla di vetro Leybold 557571 contenente idrogeno molecolare alla pressione
di circa 1Pa;
6) sistema di misura a traguardo ottico Leybold 55559.
Il generatore fornisce tensione a tre parti distinte:
a) il riscaldatore del catodo, per permettere l’emissione termoionica degli elettroni;
b) il cilindro di Wehnelt, per controllare l’intensita` del fascio elettronico;
c) l’elettrodo di accelerazione degli elettroni.
Il voltmetro misura la ddp di accelerazione.
Le bobine di Helmholtz, alimentate da un generatore di corrente continua, generano un
campo magnetico per la deflessione del fascio elettronico su di una traiettoria circolare.
L’amperometro misura la corrente che percorre le bobine.
La produzione e l’accelerazione degli elettroni avviene nell’ampolla di vetro. Questa
contiene idrogeno, le cui molecole, urtate dagli elettroni del fascio, vengono eccitate. La
successiva diseccitazione in fotoni rende visibile la traiettoria elettronica e ne permette la
misura del raggio di curvatura mediante il sistema a traguardo ottico.
L’apparato sperimentale e` schematizzato in figura 1, in cui il campo magnetico e`
perpendicolare al foglio.
Bobine di Helmholtz
fascio elettronico
Ampolla riempita di
Idrogeno molecolare
Emissione e accelerazione
di elettroni
Figura 1: schema dell’apparato sperimentale. I circuiti di alimentazione del fascio
elettronico e delle bobine di Helmholtz non sono riportati.
Teoria dell’esperimento
Un elettrone in moto con velocita` v in un campo magnetico B risente di una forza di
Lorentz che lo costringe su di una traiettoria circolare di raggio R, in cui questa forza e` la
forza centripeta che lo mantiene sulla traiettoria:
v2
evB m
R
Usiamo la conservazione dell’energia tra l’anodo e il catodo, supponendo che la velocita`
con cui l’elettrone lascia il catodo sia trascurabile e che V sia la differenza di potenziale
tra i due elettrodi:
1
eV mv 2
2
Eliminando v dalle due equazioni precedenti e introducendo il diametro D della
traiettoria, otteniamo per il rapporto e/m:
e
8V
.............(1)
m DB 2
Il campo magnetico è proporzionale alla corrente che percorre le bobine. Nella
disposizione geometrica di Helmholtz la costante di proporzionalità può essere calcolata
e risulta:
B ki 7.8i............( B1)
Con B in gauss e i in Ampere.
Sostituendo nella (1), troviamo:
e
8V
..............(2)
m Dki2
Taratura delle bobine di Helmholtz
Si puo` verificare la bonta` della formula teorica che lega il campo magnetico alla
corrente se si dispone di un sensore adatto, nel nostro caso un PS2112 Pasco. Qui di
seguito riportiamo i valori di B misurati nel centro delle bobine di Helmholtz in funzione
della corrente:
i (A)
B (gauss)
-1,73
-13,30
-1,50
-11,60
-1,00
-8,00
-0,50
-4,30
0,00
0,00
0,50
3,30
1,00
6,75
1,50
10,50
1,75
12,35
Tabella 1: campo magnetico in funzione della corrente nelle bobine.
I dati sono stati quindi riportati in grafico e si e` eseguito un fit lineare:
Taratura bobine di Helmholtz
15,00
campo magnetico (gauss)
y = 7,4x - 0,5
10,00
5,00
-2,00
-1,00
0,00
0,00
1,00
2,00
-5,00
-10,00
-15,00
corrente (A)
Figura 2: grafico dei dati campo magnetico – corrente.
l’equazione di fit risulta:
B 7,4i 0,5
con B in gauss e i in Ampere. Come si vede il valore ottenuto dalla taratura e` diverso dal
valore calcolato. La costante e` dovuta ad un offset del sensore che trascuriamo, la
relazione tra campo magnetico e corrente che useremo e` dunque:
B 7,4i................( B 2)
Si e` poi verificata la variabilita` di B nel piano verticale passante per il centro delle
bobine e che contiene l’orbita elettronica. Riferiamoci alla figura seguente, in cui C
rappresenta il centro delle bobine e A, B, D, E sono quattro punti lungo una possibile
orbita elettronica (di raggio circa 6 cm):
Orbita elettronica
E
A
C
B
D
Figura 3: punti di misura del campo magnetico.
Abbiamo ottenuto i seguenti valori del campo B (in gauss):
A
12,0
12,2
B
11,7
11,7
E
D
11,7
C
11,9
12,2
Tabella 2: valori del campo magnetico nel centro delle bobine e in quattro punti attorno al
centro.
Da cui possiamo concludere che esso e` uniforme entro il 2%.
Raccolta e analisi dei dati
Riportiamo in tabella i valori misurati del diametro ottenuti variando la tensione di
accelerazione o la corrente delle bobine. Nella penultima colonna e/m e` calcolato
applicando le formule (1) e (B1), nell’ultima applicando le formule (1) e (B2):
V
i
305
305
305
280
280
280
250
250
250
210
210
210
D
2,11
1,98
1,81
1,81
1,95
2,09
2,09
1,98
1,84
1,84
1,95
2,10
7,5
8,1
8,8
8,4
7,7
7,4
6,9
7,3
7,8
7,2
6,7
6,2
(e/m)1
1,60E+11
1,56E+11
1,58E+11
1,59E+11
1,63E+11
1,54E+11
1,58E+11
1,57E+11
1,60E+11
1,57E+11
1,62E+11
1,63E+11
(e/m)2
1,79E+11
1,74E+11
1,77E+11
1,78E+11
1,82E+11
1,72E+11
1,77E+11
1,76E+11
1,78E+11
1,76E+11
1,81E+11
1,82E+11
Tabella 3: valori misurati di e/m (in C/kg) per diversi valori di tensione o corrente.
L’ analisi statistica ci permette di trovare valore medio e scarto delle ultime due colonne:
e
11
(1.59 0.03) 10 C / kg
m 1
e
11
(1.78 0.03) 10 C / kg
m 2
il valore oggi accettato e`:
e
1.76 1011 C / kg .
m accettato
Il valore ricavato dal campo magnetico calcolato differisce dal valore accettato per quasi
5.7 deviazioni standard, mentre quello ricavato dal campo magnetico misurato e` in
accordo con il valore accettato entro una deviazione standard.
