Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2011/12 appello scritto del 11/1/12
Traccia di soluzione degli esercizi
Esercizio 1
Var(Z) = E[Z2] – E[Z]2 = E[X2+ Y2 +2XY] – E[X+Y]2 = E[X2] + E[Y2] + 2E[XY] – (E[X] + E[Y])2 = E[X2] - E[X]2 +
E[Y2] - E[Y]2 + 2(E[XY] – E[X] E[Y]) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y).
Esercizio 2
Siano P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2 le probabilità che una lampadina presa dal magazzino sia stata prodotta nello
stabilimento A, B o C. Inoltre è nota la probabilità che una lampadina prodotta in un dato stabilimento sia difettosa
(evento d) per ciascuno dei tre stabilimenti, nei valori P(d|A)=0.01, P(d|B)=0.05, P(d|C)=0.10.
a)
formula della probabilità totale: P(d) = P(dA)+P(dB)+P(dC) = P(d|A) P(A) + P(d|B) P(B) + P(d|C) P(C)
= 0.04
b) Si tratta di una binomiale di parametri n=10 e p=0.04, il cui valore medio vale np = 0.4
Esercizio 3
Siano D1 (D2) la VA che conta il numero di schede esaminate prima di trovare la prima (la seconda) guasta in un
insieme di 7 schede di cui 3 guaste. I valori possibili di D1 sono iS1={0,1,2,3,4} e per D2 jS2={1,2,3,4,5}. La massa
di probabilità congiunta P(D1=i, D2=j) è non nulla solo per le coppie tali che: iS1 & jS2 & i<j.
Diamo un nome (1..7) a ogni scheda, di cui 1,2 e 3 sono quelle guaste, e consideriamo le 7! equiprobabili sequenze
ottenibili come il numero dei casi possibili. La funzione di massa di probabilità congiunta si calcola come rapporto casi
favorevoli su casi possibili. Calcoliamo i casi favorevoli per la generica coppia (i, j). Ho sempre 6 modi per scegliere
l’identita’ della prima e della seconda scheda guasta che sono in posizione i+1 e j+1, rispettivamente. Inoltre posso
sequenziale fra loro le 4 schede funzionanti a piacere, in 4! modi. Infine ho 7-(j+1) posizioni a scelta per l’ultima scheda
guasta. Da cui P(i,j)= 64! (7-j-1)/7!
Dover testare ex 6 schede per trovare tutte le 3 difettose significa che l’ultima difettosa sta in sesta posizione mentre
quella in settima posizione è funzionante. Ho 3 modi per scegliere la scheda in sesta posizione e 4 per la scheda
funzionante in posizione 7, mentre le restanti 5 schede possono essere disposte secondo tutte le 5! sequenze, per cui la
probabilità è data da 345!/7! = 2/7
Esercizio 4
Si tratta di un processo di Poisson di intensità se consideriamo come unità di tempo il minuto. I tempi di
interarrivo sono della VA esponenziali i.i.d. di parametro . a) Quindi P(X4)= 1- e-0.8 = 0.55067. b) Il tempo medio di
interarrivo è E[X] = 1/ = 5 minuti. c) Si puo’ ragionare in due modi: per la mancanza di memoria la risposta è P(X3)
= 1- e-0.6 = 0.4512. Oppure si considera il processo di Poisson di intensità e si calcola la probabilità di avere
almeno una chiamata nei prossimi 3 minuti. Sia Y la poissoniana di parametro t=0.6 che conta il numero di telefonate
in (0,t) per t=3, allora cerco P(Y1) = 1 - P(Y=0) = 1 – 0.60 e-0.6/0! = 0.4512.
Esercizio 5
Il campione è preso da una popolazione normale con =4, con media campionaria Xbar = 201 = (221-20) e n=25. Cerco
l’intervallo unilaterale (-∞, U+20] tale che con il 95% di confidenza la media del peso lordo del barattolo di
marmellata appartenga a tale intervallo (cosi’ da dichiarare come peso della confezione U+20), per cui U va calcolato
come U = Xbar + 1.645 0.8.
