Esempio di file per le dispense di Fisica Tecnica

Fabio Daolio – matr. 130998 – Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
Introduzione
La formulazione del concetto di energia, insieme con la formalizzazione del suo
principio di conservazione, fu uno dei maggiori successi della scienza del XIX
secolo. Fin da quando la dinamica di Newton si era imposta, infatti, il ruolo centrale
ed unificante apparteneva al concetto di forza; anzi, nel 1849 quello stesso William
Thomson, che sarebbe diventato da Lord Kelvin uno dei fondatori della
termodinamica, ancora sosteneva che la fisica fosse la scienza delle forze.
D'altro canto alcuni principi di conservazione erano già noti, ma mancavano di
generalità perché li si potesse considerare fondamentali: pensiamo alla Meccanica ed
al classico esempio del pendolo.
z
A
B
Fig.1 - Pendolo
C
Se spostiamo la pallina dalla posizione di equilibrio osserviamo che essa tende a
tornarvi, acquistando velocità, e ad oltrepassarla per risalire dalla parte opposta alla
stessa quota z, iniziando così un moto oscillatorio.
Applicando schemi "moderni", analizzare questo esperimento è semplice:
assegniamo alla pallina nei punti A e C una certa quantità di energia potenziale che
verso B si trasforma totalmente in energia cinetica; osserviamo che in condizioni
ideali questo trasferimento proseguirebbe indefinitamente e generalizziamo parlando
di conservazione dell'energia meccanica. Nel XIX secolo la stesso fenomeno sarebbe
stato descritto in termini di "forza viva", ma la differenza non è solo formale, bensì
sostanziale: che fine fa infatti la forza viva quando, a causa degli attriti, il pendolo si
ferma? Solo in un'ottica di bilancio energetico è possibile rispondere che il lavoro
della forza di gravità si converte in calore per l'attrito!
Lo studio dei fenomeni termici, tuttavia, sin dal XVII secolo si basava sul
postulato dell'esistenza di un fluido imponderabile, il "calorico", in grado di
trasferirsi dai corpi più caldi a quelli più freddi. Si dovette attendere il 1798 perché
Benjamin Thomson, conte Rumford, documentasse un aumento di temperatura
dovuto al trasferimento di energia meccanica, e non di strani fluidi, sulla base di
osservazioni compiute facendo ruotare una trivella sul fondo di un tubo da cannone.
Nel 1849, infine, James Prescott Joule rese pubblico il celebre "Sull'equivalente
meccanico del calore", dove da accurate esperienze stabilì la diretta proporzionalità
tra la "forza viva" spesa ed il calore prodotto per attrito. Quell'opera, che oggi viene
-1-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
semplicemente ricordata per la determinazione sperimentale del fattore di
conversione tra due unità di misura, gode d'importanza storica proprio in quanto
verifica empirica dell'equivalenza sostanziale del calore al lavoro come due modalità
di scambio energetico.
A questo punto fu dunque possibile per i fisici del XIX secolo generalizzare il
principio di conservazione dell'energia e riconoscere alla stessa il ruolo centrale che
merita, mentre noi possiamo iniziare ad approfondire la lezione.
Lavoro, Energia, Calore
Partiamo col definire meglio alcune delle grandezze che abbiamo già introdotto.
In Meccanica il lavoro elementare compiuto da una forza agente su una
particella in moto, fig.2, è istante per istante il prodotto scalare tra la forza e lo
spostamento infinitesimo della particella.
F


ds
Fig.2 - Definizione di lavoro
Tradotto in formula:
(1)
dL  F , ds  F  ds  cos 
Per ottenere il lavoro eseguito durante uno spostamento finito, basta integrare la
(1) lungo la traiettoria dal punto iniziale a quello finale:
f
L
 F  cos  ds
(2)
i ,
Osserviamo che l'integrando altri non è che la componente della forza
tangenziale alla direzione di moto, quindi in caso di forza costante e perfettamente
tangente la (2) si riduce a:
(3)
L  F  s
L'unità di misura del lavoro è appunto quella di una forza moltiplicata per quella
di una lunghezza, e nel Sistema Internazionale è il Joule.
Si chiama invece potenza il lavoro prodotto per unità di tempo,
dL
P
(4)
dt
e, se oltre alla forza è costante e parallela ad essa anche la velocità alla quale si
muove la nostra particella, si può esprimere semplicemente:
(5)
P  F v
Le dimensioni della potenza sono infatti quelle di una forza moltiplicata per una
velocità; nel S.I. si misura in Watt.
-2-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
Molto più vasto rispetto a quello di lavoro è il concetto di energia; come già
preannunciato il primo non è che una forma della seconda, sebbene la classica
definizione che se ne dà sia: "energia è la capacità di produrre lavoro" o meglio,
secondo Ostwald, "energia è lavoro o tutto ciò che può essere prodotto da o
convertito in lavoro". Queste formule, comunque, non hanno grande utilità operativa,
ma cercano solo di mostrare l'esistenza oggettiva di un'entità, altrimenti un po'
astratta, che può essere acquistata o spesa sotto la forma tangibile di lavoro;
nell'effettiva descrizione dei fenomeni fisici, invece, si definiscono e si utilizzano
particolari tipi di energia.
In Meccanica, ad esempio, la quantità
1
E cin   m  v 2
(6)
2
è l'energia cinetica di una particella in moto rispetto all'osservatore, mentre
E pot  m  g  z
(7)
è l'energia potenziale che la stessa possiede quando si trova ad una certa quota,
rispetto al livello di riferimento, nel campo conservativo della gravità terrestre. La
somma di queste due prende il nome di energia meccanica ed è la costante nel
movimento del pendolo ideale di fig.1.
Esistono diverse altre forme, acustica, luminosa, elastica, nucleare…, molte
delle quali correlate tra loro: l'energia chimica, ad esempio, ha origine da variazioni
di energia atomica, la quale è a sua volta una combinazione di energia cinetica ed
elettromagnetica degli elettroni di legame…
C'è poi una forma d'energia in cui tutte le suddette possono facilmente
convertire, ma dalla quale è più difficile effettuare la trasformazione inversa: è il
calore, che per ciò ha un valore economico minore.
Il primo principio della termodinamica, tuttavia, non si occupa di tali
considerazioni qualitative; esso affronta i problemi di scambio energetico in un'ottica
di bilancio e dal suo punto di vista non esistono energie "di serie B": la realtà
fondamentale è che in qualunque processo l'energia totale in gioco rimane la stessa.
Inoltre ciò vale indipendentemente da come la si misura, sebbene il valore numerico
possa dipendere dal sistema di riferimento scelto.
Il postulato di conservazione infatti afferma: l'energia non può essere creata o
distrutta, ma può solo essere convertita in un'altra forma.
A metà del XIX questa legge ha inglobato quella di conservazione del calore, 60
anni dopo, come conseguenza della teoria della relatività, ha fagocitato quella di
conservazione della massa, e ora, per usare le parole di Einstein, "domina il campo
da sola". Essa, per quanto ne sappiamo, ha validità del tutto generale e non è mai
stato osservato alcun fenomeno che la violi (è, appunto, un principio); discende
infatti dall'invarianza delle leggi fisiche rispetto alle traslazioni temporali, che è
legata ad una semplice proprietà di simmetria del tempo: l'omogeneità.
Sistema Termodinamico: definizioni
Stabilita l'importanza concettuale del primo principio come espressione di una
fondamentale legge di conservazione, per poterlo applicare dobbiamo definire
l'oggetto dei nostri studi.
-3-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
Col termine di sistema termodinamico s'intende una determinata porzione di
spazio delimitata da una superficie, reale o apparente, detta pelle, che racchiude una
o più sostanze chimicamente definite.
Tutto ciò che si trova al di fuori di tale confine è l'ambiente o contorno, mentre
la loro unione, ossia il sistema più ampio ed onnicomprensivo possibile, prende il
nome di universo.
Fig.3 - Definizione di sistema termodinamico
Il sistema può interagire coll'ambiente mediante scambi di materia e/o energia:
per quanto concerne i primi, se essi sono impediti da una pelle impermeabile in senso
idraulico, il sistema si dice chiuso; viceversa se sono presenti sezioni d'ingresso e
uscita, chiamate luci, il sistema si definisce aperto.
Per quanto riguarda gli scambi energetici, tralasciando il caso poco interessante
di sistema isolato nel quale essi sono impediti, si distinguono fondamentalmente due
casi: quando l'interazione è attribuibile ad una forza, di varia natura, che sposta nel
tempo il suo punto d'applicazione, la quantità di energia meccanica scambiata prende
il nome di lavoro termodinamico, mentre si chiama calore la quantità di energia
termica trasferita in seguito allo sviluppo di una differenza di temperatura tra sistema
ed ambiente.
Primo Principio della Termodinamica per sistemi chiusi
L'importanza pratica delle leggi di conservazione risiede nel fatto che
permettono di stabilire correlazioni tra stati successivi nell'evoluzione di un sistema
fisico anche quando non sono noti i dettagli dei cambiamenti caratterizzanti la
trasformazione; il primo principio della termodinamica non fa eccezione.
Consideriamo come da fig.4 un sistema chiuso che passi, non c'interessa come o
in quanto tempo, da uno stato iniziale, con un certo valore d'energia, ad uno stato
finale con un diverso valore d'energia.
Fig.4 - Sistema chiuso in trasformazione
-4-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
Supponiamo, senza perdita di generalità, che l'energia finale sia maggiore di
quella iniziale ed andiamo a stenderne il bilancio.
È ovvio che, se l'energia non si crea, il fatto che quella finale sia maggiore di
quella iniziale implica che il sistema ne abbia assorbita la differenza dall'ambiente:
(8)
E 2  E1  E scambiata
Il fatto però che il sistema sia chiuso esclude il trasporto convettivo, cioè tutte le
modalità di trasferimento energetico che necessitino l'ingresso di materia: niente
energia chimica, niente energia elettrica… Restano insomma due sole forme
d'interazione a cui si possa ricondurre questa energia scambiata: il lavoro ed il calore.
Fig.5 - Convenzione sui segni
Adottando allora la convenzione sui segni presentata in fig.5, ossia considerando
positivi per il sistema il calore assorbito dall'ambiente ed il lavoro svolto su di esso,
possiamo riscrivere così la (8):
(9)
E2  E1  Q  L
L'equazione (9) è il primo principio della termodinamica per il sistema chiuso.
Significato fisico del Primo Principio, Energia Interna
La termodinamica studia in effetti le relazione esistenti tra gli stati fisici estremi
di una trasformazione e le quantità di energia scambiate nel corso della stessa. Il
soggetto di tale studio, tuttavia, è in genere troppo complesso per essere descritto
meccanicamente come sistema di particelle, sebbene sappiamo che le varie energie in
gioco sono imputabili ai moti rototraslatori delle molecole costituenti ed alle loro
reciproche interazioni elettromagnetiche. Ci si deve invece accontentare di
caratterizzare uno stato fisico mediante la conoscenza di pochi parametri
macroscopici, direttamente misurabili da un osservatore solidale col sistema, che
rappresentano poi nella sostanza medie di quelle caratteristiche microscopiche
altrimenti inaccessibili: in un gas, ad esempio, la pressione è legata alla quantità di
moto delle molecole, come la temperatura alla loro energia cinetica. Queste
grandezze necessarie per fissare informazioni sulla materia costituente il sistema si
dicono variabili di stato o coordinate termodinamiche, ed è sufficiente che una di
esse cambi per poter parlare di trasformazione.
Consideriamo ora una certa massa di gas che venga in vario modo compressa
passando comunque per gli stessi stati estremi iniziale e finale, e rappresentiamone
l'evoluzione in un diagramma pressione volume come in fig.6.
-5-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
p
pf
f
t'
t
i
Pi
V
Vf
Vi
Fig.6 - Diagramma pressione/volume
Tutti i cammini raffigurati sono ugualmente leciti, ma ciascuno di essi richiede
che venga eseguito sul sistema un diverso lavoro: immaginiamo di effettuare la
trasformazione in un pistone del tipo in fig.7.
Fig.7 - Gas in compressione
Nell'ipotesi di una forza costante in modulo e con direzione sempre
perpendicolare al pistone possiamo applicare la (3):
L  F  z
(10)
Esprimendo ora nella (10) la forza come prodotto della pressione applicata per la
superficie dello stantuffo, e la variazione di altezza dello stesso come diminuzione di
volume divisa per la medesima area:
V
L  p  A
 p  V
(11)
A
Col la (11) si intuisce allora come il lavoro eseguito lungo una qualsiasi
trasformazione sia rappresentato dall'area sottesa nel diagramma pressione volume.
Fig.8 - Lavoro come area sottesa
-6-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
Per ciascuna della trasformazioni di fig.6, quindi, il sistema subisce un diverso
lavoro e cede un diverso calore: tuttavia, afferma il primo principio, la quantità
d'energia complessivamente scambiata con l'ambiente dev'essere la stessa.
Consideriamo infatti una trasformazione reversibile che porti il sistema da i a f
lungo t e di nuovo da f a i lungo t'. La variazione totale di energia "nell'andata" deve
essere uguale e contraria a quella "nel ritorno", perché altrimenti, al termine del ciclo,
risulterebbe creata o distrutta energia in contrasto col primo principio. La variazione
di energia nel sistema che passa da uno stato all'altro, quindi, deve dipendere
solamente dagli stati iniziali e finali, non dalla via seguita.
Detto in altra maniera, la somma di tutte la energie possedute da un sistema
dipende unicamente dallo stato nel quale il sistema si trova: questo è il significato
fisico del primo principio. A tale somma, inoltre, si dà il nome di energia interna, ed
essa costituisce, per quanto sopra, una funzione di stato.
Formalmente si può pensare ad essa come risultante dai contributi di energia
cinetica interna ed energia potenziale interna, legate rispettivamente alla temperatura
ed al volume del sistema (guarda caso altre due variabili di stato!), e considerarla un
indicatore dell'agitazione termica delle molecole.
Nella maggior parte dei problemi di termodinamica, essendo l'osservatore
solidale col sistema, vengono trascurati gli eventuali scambi energetici che
modifichino moto o posizione di questo, ed assumono un ruolo preponderante quelli
che al contrario ne interessino l'energia interna, tanto che la versione più utilizzata
del primo principio della termodinamica è infine:
(12)
U 2  U1  Q  L
-7-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
Esercizi sul Primo Principio della Termodinamica
Premettiamo che per le esercitazioni il nostro modello base di sistema sarà una
sorta di "scatolone adiabatico", ossia un contenitore rigido e termicamente isolato,
tale da essere indeformabile e da impedire gli scambi di calore con l'ambiente.
Esercizio 1
Un recipiente del tipo appena descritto contiene 100 l d'acqua alla temperatura
iniziale di 20 °C. Come in fig.1, un'elica mescolatrice azionata da un motore da 0.5
CV di potenza agita il liquido per un tempo di 20 min.
Calcolare la variazione di energia interna e di temperatura del fluido.
Fig.1 - Sistema del 1° esercizio
Soluzione
In primis convertiamo i dati del problema in unità SI:
(1)
P  0.5  736  368W
(2)
  20  60  1200s
Osserviamo poi che, essendo nulla la cessione di calore all'ambiente, in questo
caso il primo principio della termodinamica si riduce a:
U  Q  L   L
(3)
Il lavoro in questione è quello prodotto dal motore, preso col segno meno in
quanto subito dal sistema:
(4)
L  P    368  1200  441600J
Sostituendo nella (3) si ottiene subito la variazione di energia interna richiesta:
(5)
U  441600 J
Per ricavare la corrispondente variazione di temperatura è necessario conoscere
la capacità termica specifica dell'acqua a volume costante, definita dalla:
U
J
(6)
cV 
 4187
M  T
Kg  K
Sapendo di avere 100 Kg di acqua, dalla (6) si ha facilmente:
U
441600
T 

 1.05K
(7)
cV  M 4187  100
-8-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
Esercizio 2
Consideriamo ancora il sistema di partenza dell'esercizio precedente; questa
volta, tuttavia, i 100 kg di acqua sono riscaldati per effetto Joule da una corrente di 6
A che passa per 5 min. su una resistenza da 0.2 .
Se volessi ottenere lo stesso aumento di temperatura meccanicamente, con un
sistema a puleggia come quello mostrato in fig.2, quale caduta di quota dovrebbe
subire la massa di 100 kg collegata all'elica mescolatrice?
Fig.2 - Sistema del 2° esercizio
Soluzione
Convertiamo subito i dati in unità del Sistema Internazionale dove necessario:
(8)
  5  60  300s
Ancora partiamo dall'applicazione del primo principio e osserviamo che
trasferendo calore all'acqua mediante la resistenza elettrica non viene compiuto
lavoro sul sistema, mentre utilizzando l'agitatore meccanico gli scambi propriamente
termici sono nulli; ossia nelle due trasformazioni, rispettivamente:
U  Q  L  Q
(9)
U  Q  L   L
(10)
Ricordando la formula (11) della potenza dissipata per effetto Joule, calcoliamo
allora il calore ceduto dalla resistore percorso da corrente:
P  R i2
(11)
2
2
(12)
Q  P    R  i    0.2  6  300  2160 J
Per la (9), esso si traduce completamente in aumento dell'energia interna del
sistema; se vogliamo ottenere lo stesso effetto meccanicamente, per la (10) è
necessario che l'elica esegua una pari quantità di lavoro. Quest'ultimo è equivalente
alla variazione di energia potenziale della massa sulla carrucola secondo la legge:
L  M  g  z
(13)
Dunque basta ricavare dalla (13) la variazione di quota sufficiente per produrre
attraverso la (10) quanto garantito in altro modo dalla (12) e dalla (9):
L
U
2160
 z 


 2.20m
(14)
M  g M  g 100  9.81
Chiaramente il risultato negativo indica che il grave diminuisce la sua altitudine.
-9-
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
Esercizio 3
Un gas perfetto subisce un'espansione che lo porta da uno stato A, caratterizzato
da una pressione di 32 bar ed un volume di 1 l, verso uno stato B, a 1 bar e 8 l.
Come rappresentato sul diagramma di fig.3, esso può compiere tale variazione di
stato seguendo tre differenti "cammini":
a) Trasformazione isobara (a pressione costante), seguita da isocora (a volume
costante);
b) Trasformazione in cui la pressione varia linearmente col volume;
c) Trasformazione adiabatica (senza scambio di calore), in cui la relazione tra
pressione e volume è del tipo
5
(15)
p  v 3  const
Determinare per ognuno di questi "percorsi" il lavoro compiuto dal sistema ed il
calore scambiato con l'ambiente.
40 bar
35
a
A
30
25
20
b
15
c
10
5
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 l
Fig.3 - Diagramma pressione / volume
Soluzione
Iniziamo al solito normalizzando le unità di misura:
p A  3210 5 Pa
V A  1  10 3 m 3
p B  1 10 5 Pa
(16)
(17)
(18)
VB  8  10 3 m 3
(19)
Osserviamo quindi che, essendo l'energia interna una funzione di stato, poiché le
tre trasformazioni hanno in comune gli stati iniziale e finale, dovranno produrre la
medesima variazione di tale grandezza; ciò, tradotto in termini di primo principio
della termodinamica, significa:
U  U B  U A  Qa  La  Qb  Lb   Lc
(20)
Il dato notevole, infatti, è che l'adiabatica ha scambi termici nulli, dunque
conviene calcolare subito il lavoro eseguito dal fluido lungo di essa per ottenere
immediatamente il salto di energia interna comune a tutte le altre trasformazioni!
Sappiamo che il lavoro è rappresentato dall'area sottesa nel diagramma pressione
volume, come in fig.4.
B
L   p  dV
A
- 10 -
(21)
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
40 bar
35
A
30
25
20
15
c
10
5
B
0
1
2
3
4
5
7
6
9
8
10 l
Fig.4 - Area sottesa dalla trasformazione c)
Tuttavia, prima d'integrare dobbiamo ottenere dalla (15) l'espressione analitica
della curva c), per esempio imponendone il passaggio nel punto A:
5
5
p V 3  p A V A 3
Ricavando la pressione in funzione del volume dalla (22), allora:
(22)
B
 2 
5
B
5
5 V 3 

Lc   p A  V A 3 V 3  dV  p A V A 3  
 
2 
A
 3  A
5
2
3
 3   2
 
(23)
 p A  V A 3      V B 3  V A 3     p A  V A  p B  V B  
 2
 2 
3
  32 10 5  0.001  110 5  0.008  3600 J
2
Col risultato ottenuto, non ci resta che calcolare analogamente il lavoro svolto
lungo gli altri cammini per ottenere dalla (20) anche i rispettivi calori assorbiti.
Per la trasformazione a) in fig.5:


40 bar
35
a
A
30
25
20
15
10
5
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 l
Fig.5 - Area sottesa dalla trasformazione a)
La  VB  VA   p A  0.008  0.001  32  105  22400 J
E con la (20), ovvero il primo principio della termodinamica:
Qa  U  La   Lc  La  3600  22400  18800 J
- 11 -
(24)
(25)
Lezione del 9/10/01 – ora 16:30-18:30
Infine per la trasformazione c) in fig.6:
40 bar
35
A
30
25
20
b
15
10
5
B
0
1
2
3
4
5
7
6
8
9
10 l
Fig.6 - Area sottesa dalla trasformazione c)
Lb 
 p A  p B   VB  V A 

32  10
5

 1  10 5  0.008  0.001
 11550 J (26)
2
2
Con l'assorbimento dall'ambiente di:
Qb  U  Lb   Lc  Lb  3600  11550  7950 J
- 12 -
(27)