COPPI MARCO
CLASSE 5^S
GRUPPO DI LAVORO: COPPI MARCO, SISTI JACOPO.
RELAZIONE N. 4
Carica e scarica del condensatore
Scopo dell’esperienza:
Costruire un circuito RC e verificare con rappresentazione grafica l’andamento della
differenza di potenziale durante il processo di carica e di scarica del condensatore.
Materiale: una piastra di montaggio, un condensatore di capacità 2200 μF, una resistenza da 4,7
kΏ, cavetti di collegamento, un generatore di corrente continua, forbici, un foglio di carta, matita.
Strumenti: un tester analogico dotato di scala con zero centrale, utilizzato come voltmetro di
portata 2,8 V e sensibilità 0,1 V, cronometro di sensibilità 0,1 s.
Cenni teorici_
Scarica condensatore_
Consideriamo un circuito RC, ovvero un circuito che contiene un
resistore e un condensatore, come quello in figura.
Quando l’interruttore T è aperto, la carica Qo accumulata nel
condensatore non passa attraverso la resistenza R.
+
La differenza di potenziale ai capi del condensatore è inizialmente
Vo= Qo /C dove C è la capacità.
Poiché non c’è corrente quando l’interruttore è aperto, non c’è
caduta di tensione ai capi della resistenza, ma se chiudiamo
l'interruttore T all’istante t=0, all’interno della resistenza è presente
una corrente pari a Io = Vo/R = Qo/RC. Dopo un tempo t, la carica Q(t) sul condensatore sarà
diminuita e la differenza di potenziale ai suoi capi è:
Mentre sulla resistenza la differenza di potenziale è data da:
VR t R I t
Ora possiamo riunire le due equazioni precedenti in un’unica funzione applicando il primo principio
di Kirchhoff, che afferma che in un circuito chiuso la somma degli aumenti di potenziale è uguale
alla
somma
delle
diminuzioni
di
potenziale.
Percorrendo il circuito come indicato in figura incontriamo una caduta di potenziale in
corrispondenza della resistenza e un aumento ai capi del condensatore quindi:
VC t R I t 0
Per definizione, la corrente elettrica è la quantità di carica che attraversa una sezione fissa nell'unità
di tempo:
Il segno meno nella precedente equazione deriva dal fatto che l’intensità di corrente deve essere
maggiore di zero, tuttavia quando il condensatore si scarica, la funzione Q(t) decresce e la derivata
dQ(t)/dt è negativa. Sostituendo il valore di I(t) si ottiene:
Al fine di risolvere l’equazione differenziale ottenuta si separano le variabili:
Per ottenere il valore di Q(t) è necessario risolvere un’integrale:
Da cui si ottiene:
dove il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo, detto costante di tempo τ del circuito. Questo
ultimo rappresenta il tempo che la carica impiegherebbe per raggiungere il valore minimo se la
rapidità di scarica fosse costante.
L'equazione del potenziale in funzione del tempo per la scarica del condensatore sarà dunque:
t
t
Q(t ) Q0 RC
VC t
e
V0 e RC
C
C
L'equazione della corrente in funzione del tempo è:
t
t
Q(t ) Q0 RC V0 RC
I t
e
e
RC
RC
R
Dopo un tempo sufficientemente lungo, avremo Q(t=+∞)=0, V(t=+∞)=0 e I(t=+∞)=0.
Dunque, la carica, la tensione e l’intensità di corrente decrescono esponenzialmente a zero e al
tempo t = τ la carica, la tensione e l’intensità dal loro rispettivo
valore iniziale si riducono al 37%.
Carica condensatore_
Consideriamo ora un circuito come quello in figura in cui
l'interruttore è aperto, il condensatore è scarico e quindi è nulla la
ε
differenza di potenziale ai suoi capi.
Al tempo t = 0 le condizioni iniziali sono: V= 0 e Q = 0.
Quando chiudiamo l’interruttore T, l’intensità (Io) che percorre la
resistenza R assume il suo valore massimo.
Applicando il principio di Kirchhoff e detta ε la differenza di
potenziale ai capi del generatore si ottiene:
I (t ) R
Q(t )
0
C
Sostituendo all’eq. precedente I = dQ(t)/dt si ottiene un equazione differenziale:
dQ(t )
Q(t )
R
0
dt
C
Per risolvere tale equazione è necessario svolgere un’integrale che da come risultato ultimo
l'equazione della carica di un condensatore in funzione del tempo:
Q(t ) C (1 e
t
RC
)
dove il prodotto RC è un valore costante detto costante di tempo τ del circuito e rappresenta il
tempo che la carica impiegherebbe per raggiungere il valore massimo se la rapidità di carica fosse
costante.
L'equazione del potenziale in funzione del tempo è:
t
Q(t )
V (t )
(1 e RC )
C
Dall'equazione di partenza si può ricavare l’intensità di corrente in funzione del tempo:
Q(t ) RC
I (t )
e
R RC
R
t
Dalle equazioni precedenti si può notare come il condensatore non si carica istantaneamente e
completamente, ma si carica con un andamento esponenziale e la carica massima (Q=C*ε) si ottiene
teoricamente
solo
dopo
un
tempo
infinitamente
lungo.
Anche il potenziale ha un andamento esponenziale e tende al valore massimo solo dopo un tempo
infinito, mentre l’intensità di corrente decresce esponenzialmente da un valore max a zero.
Dunque, al tempo t = τ si ha Q(t = τ)=63%Cε, V(t = τ)=63%ε, I (t = τ)=37%Io.
Procedimento_
1. Montiamo il circuito secondo lo schema nella figura seguente, collegando la resistenza e il
condensatore in serie, mentre il voltmetro deve essere collegato in parallelo al condensatore.
Bisogna fare attenzione
alla
polarizzazione
corretta del condensatore,
in quanto si utilizzano
condensatori elettronici
che vengono danneggiati
da
un’inversione
di
polarizzazione.
2. Ritagliamo dal foglio di
carta un pezzo di
dimensioni tali da potersi
adattare al quadrante di
vetro dello strumento di
misura; la parte superiore
del ritaglio deve avere
una curvatura simile a quella dell’arco graduato del voltmetro per consentire la vista della punta
dell’indice.
3. Denominiamo un lato del pezzo di carta « carica », e l’altro « scarica ».
4. Mettiamo sul vetro di copertura della scala del voltmetro il pezzo di carta in modo che la scritta
«carica » sia leggibile.
5. Segniamo sul ritaglio la posizione dello zero indicata dalla lancetta del tester. Inseriamo il
cavetto di collegamento nel punto C e introduciamo l’estremità libera nella piastra di montaggio
nel punto A per caricare il condensatore.
6. Accendiamo il generatore, precedentemente regolato ad una tensione di 2,8V e
contemporaneamente facciamo partire il cronometro. Segniamo sul foglio la posizione
dell’indice dopo ogni secondo durante la prima decina di secondi della carica e prendiamo la
posizione anche dopo circa 15 e 30 secondi.
7. Segniamo sul foglio anche la posizione dell’ultima tacca del fondo scala, che, insieme alla
posizione dello zero, ci servirà come punto di riferimento per leggere sulla scala del voltmetro i
valori di tensione corrispondenti ai segni del foglio.
8. Giriamo il foglio dal lato con la scritta «scarica» e segna la posizione dell’indice del
condensatore carico. Stacchiamo il cavetto di collegamento dal punto A, spengiamo il
generatore e poniamo l’estremità libera del cavetto nella boccola B.
9. Segniamo nuovamente la posizione dell’indice sul foglio di carta rispettando circa gli stessi
intervalli di tempo della carica.
10. Annotiamo in due distinte tabella le letture di tensione ai capi del condensatore corrispondenti ai
contrassegni della carica e della scarica.
Elaborazione dati_
Scarica del condensatore_
Per determinare τ si deve riportare in un grafico il tempo in funzione di ln(Vo/V) e calcolare la
pendenza della retta che interpola i dati sperimentali.
Il valore dell’errore sul ln(V/Vo), che indicheremo con Δln, si determina come segue:
Δlns = [ln((Vo+ΔVo)/(V+ΔV)) – ln((Vo-ΔVo)/(V-ΔV))]/2
Carica del condensatore_
Per determinare τ si deve riportare in un grafico il tempo in funzione di ln(Vo/(Vo-V)) e calcolare la
pendenza della retta che interpola i dati sperimentali.
Il valore dell’errore sul ln(Vo/(Vo-V)), che indicheremo con Δlnc, si determina come segue:
Δlnc = [ln((V-ΔVo)/(Vo-V-ΔV-ΔVo) -ln((V+ΔVo)/(Vo-V+ΔV+ΔVo))]/2
L’errore sul tempo dovuto ai riflessi è 0,12 s, come mostrato da una precedente esperienza di
laboratorio, ma poiché va considerato sia il riflesso di chi controllava il cronometro, sia quello di
chi annotava la posizione dell’indice del voltmetro, Δt=2*0,12s=0,2.
Tabelle _
_SCARICA_
t (s)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
11,0
14,0
17,0
19,0
22,0
25,0
V (v)
ln(Vo/V) Δln(Vo/V) V+ΔV
2,8±0,1
0
0
2,9
2,4±0,1
0,154
0,006
2,5
2,2±0,1
0,24
0,01
2,3
1,9±0,1
0,39
0,02
2
1,7±0,1
0,50
0,02
1,8
1,5±0,1
0,62
0,03
1,6
1,4±0,1
0,69
0,04
1,5
1,3±0,1
0,77
0,04
1,4
1,2±0,1
0,85
0,05
1,3
1,1±0,1
0,93
0,06
1,2
1,0±0,1
1,03
0,06
1,1
0,7±0,1
1,4
0,1
0,8
0,6±0,1
1,5
0,1
0,7
0,4±0,1
1,9
0,2
0,5
0,3±0,1
2,2
0,3
0,4
0,2±0,1
2,6
0,5
0,3
V-ΔV
2,7
2,3
2,1
1,8
1,6
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,6
0,5
0,3
0,2
0,1
ln(Vo-ΔVo/V-ΔV)
0
0,16034265
0,251314428
0,405465108
0,523248144
0,656779536
0,730887509
0,810930216
0,897941593
0,993251773
1,098612289
1,504077397
1,686398954
2,197224577
2,602689685
3,295836866
ln(Vo+ΔVo/V+ΔV)
0
0,14842
0,2318
0,37156
0,47692
0,59471
0,65925
0,72824
0,80235
0,88239
0,9694
1,28785
1,42139
1,75786
1,981
2,26868
Semidispersione
max
0
0,005961
0,009756
0,016951
0,023162
0,031036
0,035821
0,041346
0,047798
0,055431
0,064606
0,108112
0,132507
0,219683
0,310844
0,513577
_CARICA_
V (V)
0,2±0,1
0,5±0,1
0,7±0,1
0,9±0,1
1,0±0,1
1,2±0,1
1,3±0,1
1,4±0,1
1,5±0,1
1,8±0,1
1,9±0,1
2,2±0,1
2,3±0,1
2,4±0,1
2,5±0,1
2,6±0,1
2,7±0,1
t (s)
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
12,0
14,0
18,0
20,0
22,0
24,0
26,0
34,0
Ln(Vo/(Vo-V))
0,07
0,20
0,29
0,39
0,44
0,56
0,6
0,7
0,8
1,0
1,1
1,5
1,7
1,9
2,2
2,6
3,3
ΔLn(Vo/(Vo-V))
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,4
0,5
0,8
???
???
Vo-V
2,6
2,3
2,1
1,9
1,8
1,6
1,5
1,4
1,3
1
0,9
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
ln((Vo+dVo)/ (VoV+ΔV+ΔVo))
0,035091
0,14842
0,231802
0,322773
0,371564
0,476924
0,534082
0,594707
0,659246
0,882389
0,969401
1,287854
1,421386
1,575536
1,757858
1,981001
2,268684
(VoV-ΔV-ΔVo))
0,117783
0,251314
0,351398
0,462624
0,523248
0,65678
0,730888
0,81093
0,897942
1,216395
1,349927
1,909543
2,197225
2,60269
3,295837
???
???
ln((Vo-dVo)/
semidispersione
max
0,041346
0,051447
0,059798
0,069925
0,075842
0,089928
0,098403
0,108112
0,119348
0,167003
0,190263
0,310844
0,387919
0,513577
0,768989
???
???
Grafici_
Andamento della tensione ai capi del condensatore durante la
scarica
3
2,5
V (v)
2
1,5
1
0,5
0
-5
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Linearizzazione tramite logaritmo del grafico precedente (scarica).
30
25
20
t(s)
15
10
y = 10,255x - 0,5477
5
0
0
0,5
1
1,5
2
-5
ln(Vo/V)
2,5
3
3,5
Andamento della tensione ai capi del condensatore durante la carica
3
2,5
V (V)
2
1,5
1
0,5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0,5
t (s)
Linearizzazione tramite logaritmo del grafico precedente (carica)
y = 10,475x + 0,7244
40
35
30
t (s)
25
20
15
10
5
0
0
0,5
1
1,5
2
ln(Vo/(Vo-V))
2,5
3
3,5
Conclusioni_
Abbiamo verificato l’andamento esponenziale della differenza di potenziale ai capi del
condensatore durante il processo di scarica e abbiamo calcolato il valore sperimentale della
costante di tempo τ, che risulta paria a (10,4 ±0,8) s..
Abbiamo verificato l’andamento esponenziale della differenza di potenziale ai capi del
condensatore durante il processo di carica e abbiamo calcolato il valore sperimentale della
costante di tempo τ, che risulta paria a (10,8±1,5) s.
L’errore sul ln(Vo/(Vo-V))=2.6 e ln(Vo/(Vo-V))=3,3 non è stato considerato in quanto
tenderebbe all’infinito nel primo caso, mentre nell’altro caso è necessario calcolare il
logaritmo di un numero negativo, operazione che non può essere eseguita.
Il valore di τ ottenuto con il processo di carica è concorde con quello ottenuto con il
processo di scarica, rientrando nei limiti dell’errore sperimentale.
Abbiamo calcolato un τ medio fra i due ottenuti con il processo di carica e con quello di
scarica τmedio = (10,6±0,2). Tale valore sperimentale è leggermente discorde da quello
teorico, pari a 10,3 s. Tale discordanza è dovuta probabilmente al valore della costante di
tempo della carica, che maggiormente si discosta dal valore teorico. Ciò a sua volta è dovuto
al fatto che le misure di tensione possono essere imprecise in quanto, durante la carica, la
tensione varia molto velocemente quindi risulta difficoltoso leggere i valori all’istante
esatto.
