Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio
Lo scopo del calcolo combinatorio è di fornire dei metodi per contare il numero di
oggetti appartenenti a determinati insiemi. Ciò è particolarmente importante in problemi
di probabilità su spazi finiti degli eventi elementari.
Problema 1
Supponiamo di avere a disposizione 3 scatole e 3 oggetti. Dobbiamo mettere gli oggetti
nelle scatole, in modo che ciascuna scatola contenga esattamente un oggetto. In quanti
modi distinti è possibile fare questa operazione?
Cerchiamo di visualizzare questa operazione, indicando ciascun oggetto con una lettera
dell’alfabeto, ad esempio A, B, C, e ogni scatola con un quadretto. Allora i modi
possibili sono i seguenti sei:
A
A
B
B
C
C
B
C
A
C
A
B
C
B
C
A
B
A
Come si deve procedere per ottenerli tutti? Un modo è il seguente: Si sceglie quale dei
tre oggetti mettere nella prima scatola: ad esempio, A. Fra gli altri due, si sceglie uno da
mettere nella seconda. Questa scelta può essere fatta in due modi diversi. Quindi si
ripete il procedimento mettendo B nella prima scatola. Vediamo che i modi distinti,
sono 3 volte il numero dei modi di disporre due oggetti in due scatole: cioè, 3·2=6.
In generale, i modi distinti di disporre n oggetti in n scatole, che si chiamano
permutazioni di n oggetti, sono n!, (che si legge n fattoriale). Questa è una
abbreviazione per indicare il prodotto di tutti i numeri interi positivi, minori o uguali a
n. Quindi, per definizione:
n!  1  2  3 (n  1)n,
e ad esempio 7!=1·2·3·4·5·6·7.
Possiamo facilmente calcolare il fattoriale di un qualunque numero intero positivo
minore o uguale a 69 selezionando dopo il numero il ! scelto dal menù MATH
sottomenù PROB. Esempio: 69!=1.7112245241098. Un numero enorme se si pensa
che il numero degli atomi dell’universo è stimato dell’ordine di 1080.
Problema 2
Determinare il numero di modi in cui si possono estrarre k palline da un’urna
contenente n palline,(k  n), senza rimpiazzo (restituzione).
Esistono n modi distinti di scegliere la prima pallina, n-1 modi di scegliere la seconda,
n-2 di scegliere la terza,….(n-k+1) di scegliere la k-esima. I modi sono quindi
complessivamente
Pn k = n(n-1)…(n-k+1).
Esempio: Supponiamo che l’urna contenga 3 palline una R rossa, una B bianca e una V
verde. In quanti modi distinti si possono estrarre 2 palline dall’urna senza rimpiazzo?
Risposta: I modi sono (R,B), (R,V),(B,V),(B,R),(V,R),(V,B). Il loro numero è P3,2 =
32.
Problema 3
Determinare il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi.
Si possono scegliere k elementi in un insieme di n elementi in Pn k= n(n-1)…(n-k+1)
modi distinti. Ma l’insieme {R,B} e l’insieme {B,R} coincidono, cioè nell’elencare gli
elementi di un insieme non è importante l’ordine. Quindi dobbiamo dividere Pn k per il
numero degli ordinamenti (permutazioni) di k elementi, cioè k!. Risulta così che il
numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi è:
Dn k =
n(n  1)  (n  k  1)  n 
   .
k!
k 
Questo numero prende il nome di coefficiente binomiale, e si legge “n su k”. Il suo
nome deriva dal fatto che interviene nella formula del binomio di Newton:
n n
(a  b) n  k 0  a k b n  k .
k 
Da questa formula segue che il numero di sottoinsiemi di un insieme I di n elementi,
n n
cioè la cardinalità di P(I) è uguale a 2n (= k  0   ).
k
Esempio: In un gioco di carte si distribuiscono 13 carte a ciascun giocatore una di
seguito all’altra estraendole da un mazzo di 52.
Quante mani (mazzo di 13 carte) diverse possono capitare al primo giocatore? Quante
mani diverse possono capitare ai 4 giocatori (4 mani)?
 52 
Risposta: Nel mazzo di carte non è importante l’ordine quindi ci sono   mani
13 
diverse.
Dopo aver distribuito le carte al primo giocatore nel mazzo ne rimangono 39, quindi ci
 39 
sono   mani possibili per il secondo, e così via. Complessivamente, ne abbiamo
13 
 52   39   26  13
        .
13  13  13  13
Calcoliamo questo numero con la calcolatrice: nel menù MATH PROB troviamo
l’istruzione nCr che calcola il coefficiente binomiale n su r. Essa si usa così:
 5
5 nCr 3=   .
 3
 52   39   26  13
Si trova che         5.361028. Per curiosità possiamo verificare che
13  13  13  13
 52 
  =6.351011.
13 
Nello stesso menù troviamo l’istruzione nPr che calcola il numero Pn r.
Esercizi
1. Dato un alfabeto di 24 simboli, quante parole di lunghezza k si possono scrivere
con k simboli distinti? (senza rimpiazzo)
Risposta 2423…(24-k+1).
2. Dato un alfabeto di 24 simboli, quante parole di lunghezza k si possono
scrivere? (con rimpiazzo)
Risposta 24k
(Osservate che in questo secondo caso in alcune parole alcuni simboli potranno
essere ripetuti).