Esercizi elettrostatica

1) Due lamine metalliche infinitamente estese sono uniformemente cariche con densità di carica superficiale
di segno opposto e modulo  = 3.54  10-7 C/m2. La distanza d tra le lamine è 4 cm.
Un elettrone (di massa me) si stacca, con velocità iniziale nulla, dalla lamina carica negativamente.
Determinare:
a) il campo elettrico fra le due lamine metalliche e la forza agente sull’elettrone.
Per entrambi si precisino modulo, direzione e verso .
b) la velocità dell’elettrone nell’istante in cui raggiunge la lamina.
c) la forza agente e la velocità, nell’istante in cui raggiunge la lamina, per un protone di massa mp che
si stacchi, con velocità nulla, dalla lamina carica positivamente.
.
Note:
si trascuri la forza di gravità
e = 1.6 10-19 C
me = 9.11 10-31 kg
mp = 1.67 10-27 kg
0 = 8.85 10-12 C2/Nm2
Soluzione:
a) Le due piastre piane cariche producono al loro interno un campo


 
3.54 10 7 C / m 2 
E i 
i  (40 10 3 N / C ) i
12
2
2
0
8.85 10 C / Nm
ossia perpendicolare alle due piastre e con verso dalla piastra positiva a quella negativa.
La forza elettrica subita dall’elettrone è pari a



 
3.54  10 7 C / m 2 
Fe  qE  eE  (e)(  )i  (1.6  10 19 C )
i  (0.64  10 14 N ) i
12
2
2
0
8.85  10 C / Nm
ossia è diretta lungo x con verso concorde all’asse.
b) L’ accelerazione subita dall’elettrone è unicamente dovute alla forza elettrostatica, originata dal
campo elettrico:



Fe  me ae  eE
ossia:



eE (1.6  10 19 C )( 40  10 3 N / C ) 
ae  

i  (7.03  1015 m / s 2 )i
31
me
9.1  10 kg
Essendo l’accelerazione costante, il moto all’interno delle due piastre è rettilineo uniformemente
accelerato, per cui il legame fra velocità e posizione (quando l’elettrone urta l’armatura) è dato da:
v 2e  v02e  2ae ( x f  xi )  0  2ae d  2ae d
v e  2ae d  2(7.03  1015 m / s 2 )(0.04m)  2.37  10 7 m / s
c) La forza elettrica che agisce sul protone è pari a




e
3.54  10 7 C / m 2 
Fp  qE  eE  
i  (1.6  10 19 C )
i  (0.64  10 14 N ) i
12
2
2
0
8.85  10 C / Nm
ossia la forza è uguale in modulo e direzione a quella agente sull’elettrone, ma con verso opposto.
Anche nel caso del protone, l’accelerazione subita è unicamente dovute alla forza elettrostatica,
originata dal campo elettrico:



Fp  m p a p  eE



(1.6  10 19 C )( 40  10 3 N / C ) 
eE
ap 

i  (3.83  1012 m / s 2 )i
 27
mp
1.67  10 kg
ed il moto del protone è uniformemente accelerato lungo x, con verso opposto all’asse.
La velocità del protone all’istante in cui tocca la lamina è data da:
v 2p  v02 p  2a p ( x f  xi )  0  2a p (0  d )  2a p d
v p  2a p d  2(3.83  1012 m / s 2 )(0.04m)  5.5  10 5 m / s
2. Due cariche positive uguali di carica Q = 5 10-4 C sono fissate rispettivamente nei punti di
coordinate A= ( 1 m, 0) e B= (-1m,0) di un sistema di assi cartesiani x,y. Si calcoli :
a) Modulo, direzione e verso della forza che agisce su una carica positiva q = 10 -6 C che
si trova nel punto P= ( 0, 1m);
b) Il campo elettrico ed il potenziale elettrico nell’origine degli assi cartesiani;
c) FACOLTATIVO: il lavoro dalla forza elettrostatica quando la carica positiva
q = 10 -6 C si sposta dall’origine degli assi al punto P.
(Nota: k=8.99 109 N m2 /C2)
Soluzione:
a) La forza elettrostatica totale che agisce
sulla carica q posta in P è data dalla
somma vettoriale delle forze di Coulomb
FAP ed FBP, come disegnato in figura.
Essendo le distanze AP e BP uguali,
tali forze hanno la medesima intensità
F
1
qQ
40 AP 2
Come mostrato in figura, tali forze hanno la stessa proiezione sull’asse y e proiezioni
uguali ed opposte sull’asse x.
Da ciò segue che la forza elettrostatica totale è un vettore diretto lungo l’asse y di
intensità pari alla somma delle componenti y di ciascuna forza:
4
 1 qQ


 10 6 2 
0
9 5  10

 N  3.18 N
Ftot  2  
cos
45

2

9

10


 40 AP 2

2
2




ossia:


Ftot  (3.18 N ) j
b) Il campo elettrostatico nell’origine degli assi è nullo, dato che i campi prodotti da
ciascuna carica Q nel punto O hanno stessa intensità
E
1
Q
40 OA 2
, stessa direzione e versi opposti.
Il potenziale in O è dato dalla somma dei potenziali elettrostatici:
V 
1
Q
40 OA

1
Q
40 OB
 2

5  10 4
 2   9  10 9 
40 OA
1

1
Q

V  9  10 6 V

c) Il lavoro fatto dalla forza elettrostatica è uguale ed opposto alla variazione di energia
potenziale:
L  U  U (O)  U ( P)  2 
1
qQ
40 OA
 2
1
qQ
40 AP


(5 10  4 )10 6 
(5 10  4 )10 6 
 J  2   9 109 
 J  9 J  6.36 J  2.7 J
 2   9 109 
1
2




3. Una carica positiva Q= 0.12 C è fissata nell’origine O di un sistema d’assi (x,y).Una carica
negativa q= -7 10 -2 C, libera di muoversi, viene posta nel punto B=(0,3 m).
a) Calcolare modulo, direzione e verso della forza agente sulla carica q;
b) Calcolare il lavoro fatto dalle forze del campo quando la carica q si sposta da B fino ai punti
C=(0, 5 m) o D(0, 1 m).
Soluzione:
a) La distanza tra le due cariche è uguale alla distanza rB della carica q dall’origine in cui è
posta la carica Q. Il modulo della forza agente su q è quindi F= k|qQ|/rB2 = 8.39 106 N. La
direzione è quella della congiungente le due cariche e quindi è quella dell’asse y. La forza è
attrattiva e quindi il verso è opposto a quello dell’asse y.
b) Il lavoro compiuto dalle forze del campo quando la carica q si sposta dalla posizione iniziale
alla posizione finale è pari alla differenza tra l’energia potenziale elettrostatica di q nella
posizione iniziale e quella nella posizione finale:
1 1
LBC  kqQ     1.01  10 7 J
 rB rC 
1 1
LBD  kqQ     5.03  10 7 J
 rB rD 
4. Due piani infinitamente estesi sono posti a distanza d = 20 cm. I piani sono elettricamente carichi con carica
opposta e densità di carica superficiale uniforme, pari, in valore assoluto, a  = 20 nC/m2. Una pallina di
massa trascurabile e carica positiva q = +1 nC è mantenuta in equilibrio tra i due piani mediante un filo
isolante di lunghezza L = 10cm, vincolato al piano carico positivamente, come mostrato in figura.
Si svolgano i seguenti punti (trascurando gli effetti della forza gravitazionale):
a) si determinino il campo elettrico E fra i due piani e la tensione T del filo,
specificando per entrambi il modulo, la direzione ed il verso;
b) Si supponga di tagliare il filo: calcolare il lavoro fatto dalla forza elettrostatica
per portare la pallina dal punto di equilibrio precedente sino alla lamina di carica
negativa.
[Nota: 0 = 8.85 10-12 C2/Nm2]
Soluzione :
Nella regione interna alle due lamine piane infinite il campo elettrico è diretto perpendicolarmente
alle due lamine piane, con verso uscente dalla lamina positiva,
ed intensità costante, ossia:
  
E
i 
0
20  10 9 C / m 2
 2.26  10 3 N / C
12
2
2
8.85  10 C /Nm
ove i indica il versore associato all’asse x, come mostrato in
figura.
All’equilibrio la tensione T del file è uguale ed opposta alla
forza elettrostatica


Fe  qE
ossia


 
T  qE  q i  10 9 C 
0

20  10 9 C / m 2 
6
i

(

2
.
26

10
N
)
i
8.85  10 12 C 2 /Nm 2
c) Il lavoro fatto dalla forza elettrostatica Fe, costante, è dato da:
 

L  Fe  s  q (d  L)  10 9 C 
0
20  10 9 C / m 2
(0.2  0.1)m  2.26  10 7 J
8.85  10 12 C 2 /Nm 2

5. Una particella A, con carica positiva Q = 2 10 –8 C, è fissata in un punto O. Una particella B di
massa m=2 10 –6 g e carica negativa q = 10 –10 C, si muove di moto circolare uniforme lungo
una circonferenza di centro O e raggio R= 1cm. Si determini:
a) il modulo della velocità della particella B;
b) l’energia totale del sistema delle due cariche.
[N.B. 0 = 8.85 10-12 C2/Nm2]
Soluzione :
a) La forza centripeta che determina il moto di B è la forza elettrostatica che si esercita tra le due
cariche, il cui modulo è
F =kQq/R2
Pertanto F = k Q q / R 2 = m v 2 / R
da cui si ricava
v
kQq
(8.9  10 9 Nm 2 / C 2 )  (2  10 8 C )  (10 10 C )

 29.8 m / s
Rm
(10  2 m)  (2  10 9 kg)
b) L’energia totale del sistema E è la somma dell’energia cinetica
T = mv 2 /2 = k Q q / 2R
e dell’energia potenziale
U = -k Q q / R
e vale pertanto
E = - k Q q / 2R.
Sostituendo i valori numerici si ottiene E = - 8.9 10 - 7 J
6. Ai vertici del quadrato OABC, di lato L , sono fissate
quattro cariche puntiformi , come in figura.
Si calcoli :
a. Il potenziale nel punto E, centro del quadrato e
nel punto M , punto medio di OA.
b. Il campo elettrico nel punto E, precisando modulo
direzione e verso.
C
+q
B
+q
E
O
-q
M
Soluzione :
A
-q
a. Il potenziale VE in E è nullo, infatti. VE = (4 K q / L 2 ) - (4 K q / L 2 ) = 0
Il potenziale V M in M è VM = ( 2 K q /  ( L2 + L2 /4 ) ) + ( -4kq / L ) = 4 K q 5 ( 1- 5 ) / 5L
In entrambi i casi si è scelto come punto di riferimento un punto infinitamente distante dalle cariche e si è
posto uguale a zero il potenziale in quel punto.
b. In E i campi elettrostatici dovuti alla carica +q in B, EB , e alla carica -q in O , Eo , hanno
lo stesso modulo, la stessa direzione , parallela ad EO e lo stesso verso ( da E verso O ) . In E i
campi elettrostatici dovuti alla carica +q in C, Ec , e alla carica -q in A , E A , hanno lo stesso
modulo, la stessa direzione, parallela ad EA, e lo stesso verso ( da E verso A ) . Pertanto il
campo totale in E
ETot = 2 EB + 2 E C . Notare che si tratta di una somma di vettori .
Inoltre EB ed E C sono tra loro ortogonali , il campo totale ETOT è parallelo all’asse y , ha
verso opposto al semiasse positivo y , ed ha modulo / E TOT / =  ( 4 / E B / 2 + 4 / E C / 2 ) = 2
/ E B / 2. ( /E B / è il modulo del vettore EB). Si ha quindi ETot = 4 K q / L 2 2 = 2 2 Kq / L
2.
7. Una lamina carica ( = + 1.4 10-9 C/m2) e’ posta vicino ad una molla di costante elastica
 = 800 N/m, sulla cui estremita` e’ posta una carica Q = + 0.11 C.
Si determini:
1. Il campo elettrico generato dalla lamina, modulo, direzione e verso
2. La compressione della molla, assumendo che essa sia perpendicolare alla lamina.
Soluzione: E= /0 = 1.6 102 N /C, direzione perpendicolare alla lamina, verso
uscente. La molla si comprime per effetto della forza elettrostatica che il campo E
esercita sulla carica Q. La compressione si calcola dall’uguaglianza
Q E = x, da cui x ≈ 2.2 cm.