Matematica Discreta
Lezione del giorno 17 novembre 2008
Principio delle scelte multiple.
Supponiamo di volere contare il numero di elementi di un insieme finito X e di sapere che ogni
elemento di X dipende dai valori di 2 variabili x,y, di modo che contare il numero di elementi di X
equivalga a contare le possibili coppie di valori x,y: potremmo allora, per ogni fissato valore di x,
calcolare il numero dei corrispondenti valori di y e poi sommare.
Esempio: supponiamo che X sia l’insieme dei numeri naturali di 2 cifre (in base 10) con cifre scelte
fra i valori 1,2,3,4,5,6 e tali che la cifra delle decine sia minore di quella delle unità. Per contare il
numero di elementi di X, possiamo notare che ogni elemento dipende dai valori di 2 variabili: la
cifra x delle decine e la cifra y delle unità.
Fissato il valore x=1 otteniamo in corrispondenza 5 valori di y (2,3,4,5,6), analogamente fissato il
valore x=2 otteniamo in corrispondenza 4 valori di y, fissato il valore x=3 otteniamo in
corrispondenza 3 valori di y, fissato il valore x=4 otteniamo in corrispondenza 2 valori di y, fissato
il valore x=5 otteniamo in corrispondenza 1 valore di y, fissato il valore x=6 otteniamo in
corrispondenza 0 valori di y. In totale il numero di coppie di valori x,y (e quindi il numero di
elementi di X) è la somma 5+4+3+2+1+0=15.
Sempre nell’ambito del problema di contare il numero di elementi di un insieme finito X in cui ogni
elemento dipende dai valori di 2 variabili x,y, facciamo un ulteriore ipotesi (che non è verificata
nell’esempio precedente): supponiamo che la variabile x assuma un numero n di valori diversi e
che, fissato un valore di x, il numero dei corrispondenti valori di y sia costantemente uguale
ad m (indipendentemente dal valore fissato per x).
In tale caso il numero delle coppie di valori di x,y (e quindi il numero di elementi di X) si otterrà
sommando m+m+….+m (con n addendi) quindi sarà uguale al prodotto nm (principio delle scelte
multiple per 2 variabili).
Esempio: supponiamo che X sia l’insieme dei numeri naturali di 2 cifre (in base 10) con cifre scelte
fra i valori 1,2,3,4,5,6 e tali che la cifra delle decine sia diversa da quella delle unità. Come
nell’esempio precedente, possiamo notare che ogni elemento dipende dai valori di 2 variabili: la
cifra x delle decine e la cifra y delle unità.
La variabile x può assumere 6 valori distinti 1,2,3,4,5,6. Fissato un valore di x, il numero dei valori
corrispondenti di y è costantemente uguale a 5 (sono tutti i valori 1,2,3,4,5,6 tranne quello scelto per
x).
Siamo nelle ipotesi del principio delle scelte multiple e possiamo concludere che il numero di
elementi di X è il prodotto 65=30
Con ragionamenti simili ai precedenti si ottiene il principio delle scelte multiple per più variabili:
supponiamo che ogni elemento dell’insieme finito X dipenda dai valori di n variabili x1,x2,….,xk;
supponiamo inoltre che:
- la variabile x1 assuma un numero n1 di valori diversi
- fissato un valore di x1, il numero dei corrispondenti valori di x2 sia costantemente uguale ad n2
(indipendentemente dal valore fissato per x1)
- fissato un valore di x1 e un valore di x2, il numero dei corrispondenti valori di x3 sia costantemente
uguale ad n3 (indipendentemente dai valori fissati per x1 e di x2)
……etc
- fissato un valore per ognuna delle variabili di x1,x2,…,xk-1, il numero dei corrispondenti valori di
xk sia costantemente uguale ad nk (indipendentemente dai valori fissati per x1,x2,…,xk-1)
allora il numero degli elementi di X è uguale al prodotto n1n2……nk .
Numero delle funzioni fra insiemi finiti
Siano A,B due insiemi finiti rispettivamente con A=n, B=m, e contiamo il numero di tutte le
possibili funzioni f: A B.
Se {a1, a2, ….., an} sono gli elementi di A, ognuna di tali funzioni dipende dalle n variabili seguenti:
x1=valore del corrispondente in B dell’elemento a1 ;
x2=valore del corrispondente in B dell’elemento a2 ;
…..
xn=valore del corrispondente in B dell’elemento an .
La variabile x1 ha m valori possibili (gli m elementi di B); fissato un valore di x 1, la variabile x2 ha
m valori possibili (di nuovo gli m elementi di B); fissato un valore di x1 e un valore di x2, la
variabile x3 ha m valori possibili (di nuovo gli m elementi di B); etc ..…. ; infine fissato un valore di
x1, uno di x2,…, uno di xn-1, la variabile xn ha m valori possibili (sempre gli m elementi di B). Per il
principio delle scelte multiple, il numero delle possibili funzioni f: A B è il prodotto
mm…..m (con n fattori), quindi è la potenza mn.
La formula che dà il numero di tutte le funzioni f: A B è allora BA .
Esempio: Se A={a,b}, B={1,2,3}, il numero delle possibili funzioni f: A B è 32=9, mentre il
numero delle possibili funzioni f: B A è 23=8 .
Numero delle funzioni iniettive fra insiemi finiti
Siano A,B due insiemi finiti rispettivamente con A=n, B=m, e contiamo il numero di tutte le
possibili funzioni iniettive f: A B.
Sappiamo già che nel caso n>m non esiste nessuna di tali funzioni iniettive.
Quindi supponiamo nm.
Se {a1, a2, ….., an} sono gli elementi di A, ognuna di tali funzioni iniettive dipende dalle n variabili
seguenti:
x1=valore del corrispondente in B dell’elemento a1 ;
x2=valore del corrispondente in B dell’elemento a2 ;
…..
xn=valore del corrispondente (in B) dell’elemento an .
La variabile x1 ha m valori possibili (gli m elementi di B); fissato un valore di x1, la variabile x2 ha
m-1 valori possibili (gli m elementi di B escluso quello scelto come corrispondente di a1); fissato un
valore di x1 e uno di x2, la variabile x3 ha m-2 valori possibili (gli m elementi di B meno quelli scelti
come corrispondenti di a1,a2); etc...…. ; fissato un valore di x1, uno di x2,…, uno di xn-1, la variabile
xn ha m-(n-1)=m-n+1 valori possibili (gli m elementi di B meno quelli scelti come corrispondenti di
a1,a2,….,an-1).
Per il principio delle scelte multiple, il numero delle possibili funzioni iniettive f: A B è il
prodotto m(m-1)(m-2)…..(m-n+1), quindi è il prodotto in ordine decrescente dei numeri naturali
da m ad m-n+1 (supponendo sempre nm) .
Esempio: Se A={a,b,c,d}, B={1,2,3,4,5,6}, A=4, B=6 il numero delle possibili funzioni
iniettive f: A B è 6543=360.
Numero delle funzioni surgettive fra insiemi finiti
Il problema di contare il numero delle funzioni surgettive fra insiemi finiti sarà affrontato in seguito,
nell’ambito della teoria dei numeri di Stirling.
Numero delle funzioni biunivoche fra insiemi finiti
Siano A,B due insiemi finiti rispettivamente con A=n, B=m, e contiamo il numero di tutte le
possibili funzioni biunivoche f: A B.
Sappiamo già che nel caso nm non esiste nessuna di tali funzioni.
Quindi supponiamo n=m.
Per un teorema già dimostrato, sappiamo che, sotto l’ipotesiA=B, una funzione iniettiva è
sempre anche surgettiva, quindi biunivoca: basta allora contare le funzioni iniettive da A a B.
Applicando la formula precedente (con n=m) si ottiene che il numero delle possibili funzioni
biunivoche f: A B è il prodotto n(n-1)(n-2)…..1, ossia il prodotto di tutti i numeri naturali
consecutivi da 1 ad n, detto fattoriale di n e indicato con il simbolo n! .
Esempio: Se A={a,b,c,d,e}, B={1,2,3,4,5}, il numero delle possibili funzioni biunivoche f: A B
è 5!=12345=120.
Lezione del giorno 26 ottobre 2007
Numero delle funzioni iniettive fra insiemi finiti
Siano A,B due insiemi finiti rispettivamente con A=n, B=m, e contiamo il numero di tutte le
possibili funzioni iniettive f: A B.
Sappiamo già che nel caso n>m non esiste nessuna di tali funzioni iniettive.
Quindi supponiamo nm.
Se {a1, a2, ….., an} sono gli elementi di A, ognuna di tali funzioni iniettive dipende dalle n variabili
seguenti:
x1=valore del corrispondente in B dell’elemento a1 ;
x2=valore del corrispondente in B dell’elemento a2 ;
…..
xn=valore del corrispondente (in B) dell’elemento an .
La variabile x1 ha m valori possibili (gli m elementi di B); fissato un valore di x 1, la variabile x2 ha
m-1 valori possibili (gli m elementi di B escluso quello scelto come corrispondente di a1); fissato un
valore di x1 e uno di x2, la variabile x3 ha m-2 valori possibili (gli m elementi di B meno quelli scelti
come corrispondenti di a1,a2); etc...…. ; fissato un valore di x1, uno di x2,…, uno di xn-1, la variabile
xn ha m-(n-1)=m-n+1 valori possibili (gli m elementi di B meno quelli scelti come corrispondenti di
a1,a2,….,an-1).
Per il principio delle scelte multiple, il numero delle possibili funzioni iniettive f: A B è il
prodotto m(m-1)(m-2)…..(m-n+1), quindi è il prodotto in ordine decrescente dei numeri naturali
da m ad m-n+1 (supponendo sempre nm) .
Esempio: Se A={a,b,c,d}, B={1,2,3,4,5,6}, A=4, B=6 il numero delle possibili funzioni
iniettive f: A B è 6543=360.
(Per contare il numero delle funzioni surgettive fra insiemi finiti si rinvia alla teoria dei numeri di
Stirling, che sarà esposta in seguito).
Numero delle funzioni biunivoche fra insiemi finiti
Siano A,B due insiemi finiti rispettivamente con A=n, B=m, e contiamo il numero di tutte le
possibili funzioni biunivoche f: A B.
Sappiamo già che nel caso nm non esiste nessuna di tali funzioni.
Quindi supponiamo n=m.
Per un teorema già dimostrato, sappiamo che, sotto tale ipotesi, una funzione iniettiva è sempre
anche surgettiva, quindi biunivoca: basta allora contare le funzioni iniettive da A a B. Applicando la
formula precedente (con n=m) si ottiene che il numero delle possibili funzioni biunivoche f: A B
è il prodotto n(n-1)(n-2)…..1, ossia il prodotto di tutti i numeri naturali consecutivi da 1 ad n,
detto fattoriale di n e indicato con il simbolo n! .
Esempio: Se A={a,b,c,d,e}, B={1,2,3,4,5}, il numero delle possibili funzioni biunivoche f: A B
è 5!=12345=120.
Permutazioni
Sia A={a1, a2,….., an} un insieme finito con n elementi e sia f: A A una funzione biunivoca.
Possiamo rappresentare la funzione f costruendo 2 righe: nella prima vi sono gli elementi di A (in
un certo ordine fissato) e nella seconda, sotto ogni elemento di A, vi è il suo corrispondente secondo
la funzione f:
a2 . . an
a
f = 1
f(a 1 ) f(a 2 ) . . f(a n )
Nella seconda riga vi sono gli elementi a1, a2, ….., an disposti in un qualunque ordine: chiameremo
permutazione degli elementi a1, a2, ….., an un qualunque modo di disporre ordinatamente gli
elementi a1, a2, ….., an .
Ne segue che le permutazioni possibili di a1, a2, ….., an sono tante quante le possibili funzioni
biunivoche f: A A, quindi sono in numero di n! .
Alla funzione identica iA : A A corrisponde la cosiddetta permutazione identica, nella quale gli
elementi a1, a2, ….., an sono disposti nel loro ordine iniziale.
Esempio:
Se A = {a , b , c}, si ottengono 3!=6 funzioni biunivoche f: A A:
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
,
,
,
,
,
a b c a c b c b a b a c b c a c a b
e in corrispondenza 6 permutazioni degli elementi a,b,c:
abc, acb, cba, bac, bca, cab
Poiché la natura degli elementi dell’insieme A é ininfluente, ci limiteremo al caso in cui A contenga
i primi n numeri naturali consecutivi: A = { 1,2,…..,n }.
Data una permutazione dei numeri naturali 1, 2, ….., n, e fissati due numeri distinti i,j compresi fra
1 ed n, diremo che la permutazione ha una inversione in i,j se nella permutazione i numeri
compaiono in ordine opposto a quello naturale (ossia se il maggiore dei 2 compare a sinistra del
minore).
Per esempio la seguente permutazione dei numeri 1,2,3,4,5:
21453
presenta una inversione in 2,1, una inversione in 4,3, una inversione in 5,3.
Una permutazione dei numeri naturali 1, 2, ….., n è detta pari o dispari a secondo se il numero
totale di inversioni che presenta è pari o dispari (la permutazione “identica” 1 2 … n, che presenta 0
inversioni, si considera convenzionalmente pari).
La permutazione dell’esempio precedente è dispari, perché ha 3 inversioni.
