Matematica Discreta I - Matematica e Informatica

Matematica Discreta I
Lezione del giorno 24 ottobre 2007
Principio delle scelte multiple.
Supponiamo di volere contare il numero di elementi di un insieme finito C e di sapere che ogni
elemento di A dipende dai valori di 2 variabili x,y; supponiamo anche che i valori possibili della x
siano in numero di n, e che, fissato un valore della x, i valori possibili della y siano in numero di m
(con m costante, che non dipende dal valore fissato per la x). Se x=x 1,x2,…..,xn sono gli n valori
possibili della x, e per ognuno di tali valori della x, si ottengono in corrispondenza m valori della y
dunque si conclude che gli elementi dell’insieme A (che sono tanti quante le coppie dei valori di x e
y) sono in numero di m+m+.....+m (con n addendi) e quindi in totale in numero di nm.
Il principio delle scelte multiple si può facilmente, con ragionamenti analoghi a quello precedente,
estendere al caso di elementi che dipendono da più di 2 variabili.
Per esempio, se ogni elemento dell’insieme finito A dipende dai valori di 3 variabili x,y,z e se:
- i valori possibili della variabile x sono in numero di n
- fissato un valore di x, i valori della variabile y sono in numero di m
- fissato un valore di x e un valore di y, i valori della variabile z sono in numero di p
allora si dimostra facilmente che gli elementi di A sono in numero di nmp.
Esempio:
Contiamo il numero degli elementi dell’insieme A contenente tutti i numeri naturali di 2 cifre (in
base 10) con le cifre tutte dispari. Ogni elemento di A dipende da 2 variabili: x=valore della prima
cifra, y=valore della seconda cifra. I valori possibili di x sono le cifre 1,3,5,7,9 (in numero di n=5);
fissato un valore di x, i valori possibili di y sono in numero di m=5 (gli stessi valori possibili di x).
Per il principio delle scelte multiple gli elementi di A sono in numero di 55=25.
Contiamo poi il numero degli elementi dell’insieme A contenente tutti i numeri naturali di 2 cifre
(in base 10) con le cifre tutte dispari e diverse fra loro. Ogni elemento di A dipende da 2 variabili:
x=valore della prima cifra, y=valore della seconda cifra. I valori possibili di x sono le cifre 1,3,5,7,9
(in numero di n=5); fissato un valore di x, i valori possibili di y sono in numero di m=4 (i 5 valori
possibili di x escluso il valore fissato per la x). Per il principio delle scelte multiple gli elementi di A
sono in numero di 54=20.
Numero delle funzioni fra insiemi finiti
Siano A,B due insiemi finiti rispettivamente con A=n, B=m, e contiamo il numero di tutte le
possibili funzioni f: A  B.
Se {a1, a2, ….., an} sono gli elementi di A, ognuna di tali funzioni dipende dalle n variabili seguenti:
x1=valore del corrispondente in B dell’elemento a1 ;
x2=valore del corrispondente in B dell’elemento a2 ;
…..
xn=valore del corrispondente in B dell’elemento an .
La variabile x1 ha m valori possibili (gli m elementi di B); fissato un valore di x 1, la variabile x2 ha
m valori possibili (di nuovo gli m elementi di B); ..…. ; fissato un valore di x1, uno di x2,…, uno di
xn-1, la variabile xn ha m valori possibili (sempre gli m elementi di B). Per il principio delle scelte
multiple, il numero delle possibili funzioni f: A  B è il prodotto mm…..m (con n fattori),
quindi è la potenza mn.
La formula che dà il numero di tutte le funzioni f: A  B è allora BA .
Esempio: Se A={a,b}, B={1,2,3}, il numero delle possibili funzioni f: A  B è 32=9, mentre il
numero delle possibili funzioni f: B  A è 23=8 .