Esercitazione del 2 novembre 2011

ESERCITAZIONE MATEMATICA DISCRETA (02/09/11)
1)a)Date le funzioni f: A  B, g: B  C, dimostrare che se la composizione gf : A  C è una
funzione iniettiva allora f è iniettiva (suggerimento: ragionare per assurdo).
b)Se A={1,2}, B={3,4,5}, C={6,7} costruire un esempio concreto di funzioni f: A  B, g: B  C
tali che la composizione gf : A  C sia una funzione iniettiva ma g non sia iniettiva.
Soluzione: a) per assurdo supponiamo gf iniettiva ma f non iniettiva. Allora esistono 2 elementi
diversi a1,a2A tali che f(a1)=f(a2), da cui g(f(a1))=g(f(a2)) ossia (gf )(a1)=(gf)(a2),
contraddizione perché gf è iniettiva.
b) Definendo per esempio f(1)=3,f(2)=4,g(3)=6,g(4)=7,g(5)=7, si ha g non iniettiva ma gf
iniettiva perché (gf)(1), (gf)(2)=7.
2) Calcolare quanti sono i numeri naturali di 7 cifre (con cifre tutte diverse da 0) tali che le prime 3
cifre sono pari e tutte diverse fra loro, la 4a e 6a cifra sono dispari, la 5° e 7a cifra sono uguali fra
loro.
Soluzione: Si può applicare il principio delle scelte multiple. Ognuno dei numeri considerati
dipende da 7 variabili: x1=valore della 1a cifra, x2=valore della 2a cifra etc…, x7=valore della 7a
cifra. Il numero di valori possibili di x1 è 4 (le 4 cifre pari 2,4,6,8); fissato un valore di x1, il numero
di valori possibili di x2 è 3 (le 4 cifre pari 2,4,6,8 tranne quella scelta per x1); fissato un valore di
x1,x2 il numero di valori possibili di x3 è 2 (le 4 cifre pari tranne quelle scelte per x1,x2); fissato un
valore di x1,x2,x3 il numero di valori possibili di x4 è 5 (le 5 cifre dispari 1,3,5,7,9); fissato un valore
di x1,x2,x3,x4 il numero di valori possibili di x5 è 9 (le 9 cifre 1,2,3,4,5,6,7,8,9); fissato un valore di
x1,x2,x3,x4,x5 il numero di valori possibili di x6 è 5 (le 5 cifre dispari 1,3,5,7,9); fissato un valore di
x1,x2,x3,x4,x5,x6 il numero di valori possibili di x7 è 1 (lo stesso valore scelto per x5).
La risposta al quesito è il prodotto dei numeri trovati: 4325951=5400.
3) Se A={1,2,3,4,5,6}, calcolare il numero di funzioni f: A  A tali che tutti i numeri dispari hanno
come corrispondenti dei numeri pari.
Soluzione: Si può applicare il principio delle scelte multiple. Ognuna delle funzioni considerate
dipende da 6 variabili: x1=valore di f(1), x2=valore di f(2) etc…, x6=valore di f(6). Il numero di
valori possibili di x1 è 3 (i 3 valori pari 2,4,6); fissato un valore di x1, il numero di valori possibili di
x2 è 6 (i 6 valori 1,2,3,4,5,6); etc.. (si procede come nell’esercizio precedente).
La risposta al quesito è il prodotto dei numeri trovati: 363636=5832.
4) Calcolare il numero di parole di lunghezza 4 sull’alfabeto {a,b,c,d,e} in cui esattamente 2 delle
lettere sono vocali. (suggerimento: la prima delle variabili da cui dipende la parola è la scelta delle 2
posizioni in cui inserire le vocali).
Soluzione: Si può applicare il principio delle scelte multiple. Ognuna delle parole considerati
dipende da 5 variabili: x1=scelta delle 2 posizioni in cui inserire le vocali, x2=valore della vocale da
inserire nella 1a di queste 2 posizioni; x3=valore della vocale da inserire nella 2a di queste 2
posizioni; x4=valore della consonante da inserire nella 1a delle 2 posizioni restanti; x5=valore della
consonante da inserire nella 2a delle 2 posizioni restanti. Il numero di valori possibili di x1 è il
coefficiente binomiale (4 2)=(43)/(2!)=6 (sono le combinazioni semplici di 4 posizioni prese a 2 a
2); fissato un valore di x1, il numero di valori possibili di x2 è 2 (le 2 vocali a,e); fissato un valore di
x1,x2 il numero di valori possibili di x3 è 2 (le 2 vocali a,e); fissato un valore di x 1,x2,x3 il numero di
valori possibili di x4 è 3 (le 3 consonanti b,c,d); fissato un valore di x1,x2,x3,x4 il numero di valori
possibili di x5 è 3 (le 3 consonanti b,c,d).
La risposta al quesito è il prodotto dei numeri trovati: 62233=216.
5) In un’urna vi sono 8 palline numerate da 1 a 8 (ogni pallina è numerata diversamente dalle altre).
Si estraggono 6 palline e si scrivono consecutivamente le cifre delle palline, formando alla fine un
numero naturale di 6 cifre. Calcolare quanti numeri diversi si possono ottenere se nelle prime 3
estrazioni, le palline estratte non sono rimesse nell’urna e vengono eliminate, ma nella 4 a, 5a, 6a
estrazione la pallina estratta è rimessa nell’urna.
Soluzione: Si può applicare il principio delle scelte multiple. Ognuno dei numeri considerati
dipende da 6 variabili: x1=valore della 1a cifra, x2=valore della 2a cifra etc…, x6=valore della 6a
cifra. Il numero di valori possibili di x1 è 4 (le 8 cifre 1,2,3,4,5,6,7,8); fissato un valore di x1, il
numero di valori possibili di x2 è 7 (le 8 cifre 1,2,3,4,5,6,7,8 tranne quella scelta per x1); fissato un
valore di x1,x2 il numero di valori possibili di x3 è 6 (le 8 cifre 1,2,3,4,5,6,7,8 tranne quelle scelte
per x1,x2); fissato un valore di x1,x2,x3 il numero di valori possibili di x4 è 5 (le 8 cifre
1,2,3,4,5,6,7,8 tranne quelle scelte per x1,x2,x3); fissato un valore di x1,x2,x3,x4 il numero di valori
possibili di x5 è 5 (le 8 cifre 1,2,3,4,5,6,7,8 tranne quelle scelte per x1,x2,x3); fissato un valore di
x1,x2,x3,x4,x5 il numero di valori possibili di x6 è 5 (le 8 cifre 1,2,3,4,5,6,7,8 tranne quelle scelte per
x1,x2,x3).
La risposta al quesito è il prodotto dei numeri trovati: 876555.