scrittura polinomiale di un numero

PENSA UN NUMERO………………..
Pensa un numero di tre cifre nell’usuale sistema di numerazione decimale.
Scrivi adesso il numero di sei cifre che ottieni ripetendo le tre cifre che hai pensato (ad esempio, se
hai 327 come numero di tre cifre, scriverai 327327 come numero di sei cifre).
Dividi il numero di sei cifre, così ottenuto, per A = 13: il resto dovrebbe essere zero.
Dividi il quoziente ottenuto per B = 11: anche adesso il resto dovrebbe essere zero.
Dividi di nuovo il quoziente per C = 7: di nuovo il resto è zero e il quoziente…..?
E’ il numero di tre cifre che avevi pensato all’inizio.
Sai spiegare perché ciò accade?
Prova a ripetere il gioco partendo da un numero qualsiasi di quattro cifre.
Verifica che esistono due numeri interi maggiori di uno A e B che permettono, con un
procedimento analogo a quello sopra considerato, di tornare al numero di partenza.
E’ possibile effettuare il gioco pensando all’inizio un numero di due cifre, cioè è possibile
trovare almeno due numeri interi maggiori di uno A e B che, con divisioni successive, permettono
di tornare al numero di partenza?
Soluzione (motivata):
Sia xyz il numero di 3 cifre.
Il numero di 6 cifre (ottenuto ripetendo le tre iniziali) sarà
xyzxyz  xyz000  xyz  xyz  1000  xyz  xyz  (103  1)  xyz  1001
(attenzione : il numero xyz000 è un numero costituito dalle sei cifre x y z 0 0 0 )
Considerato che 103+1 = 1001 = 13 11 7 , si avrà che
xyzxyz xyzxyz

 xyz
1001 13 11 7
cioè dividendo successivamente il numero per 13, poi per 11 poi per 7 si ritornerà al numero di
partenza xyz.
Cosa cambia passando al numero di 4 cifre?
Si avrà xyzkxyzk  xyzk 0000  xyzk  xyzk  (10000  1)  xyzk  10001
Quindi per tornare al numero di partenza dividendo per A e B (numeri maggiori di uno) sarà
necessario trovare i divisori di 10001 e precisamente 137 e 73 (infatti 137  73  10001).
Se si considera il numero di due cifre si avrà xyxy  xy00  xy  xy  (100  1)  xy  101 .
Il numero 101 è un numero primo quindi in questo caso il gioco non si può effettuare perché non è
possibile trovare due numeri A e B maggiori di uno tali che 101  A B .
APPROFONDIMENTI
NUMERI PRIMI
Definizione: n  N (n numero naturale) , con n  2 si dice:
- primo se gli unici divisori di n sono 1 e n
- composto altrimenti
ES: -Numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Esempio 1
Determinare il più grande numero di 2 cifre tale che:
a) sia un numero primo
b) scambiando di posto le cifre sia ancora un numero primo
c) il prodotto delle cifre sia un numero primo
Soluzione: il numero deve essere dispari e una e una sola delle due deve essere 1. I possibili numeri
sono 13,17,19. Invertendo l’ordine delle cifre sono primi 31 e 71, quindi il numero richiesto è 71.
SCRITTURA POLINOMIALE DI UN NUMERO
Fissato un numero intero b  2 , ogni numero intero positivo N si può scrivere in uno e un solo
modo nella forma
(1)
N  xn  b n  xn1  b n1  xn2  b n2  ......  x1  b  x0
in cui x k , per ogni k=0,1,…,.n, indica un numero intero tra 0 e b  1 .
Allora si scrive
Nb  xn xn1 xn2 ......x2 x1 x0
e si chiama scrittura polinomiale di N in base b.
Caso particolare
Sia b=10 (questa è la base del nostro sistema decimale).
Allora un numero N si scriverà:
N10  xn 10n  xn1 10n1  xn2 10n2  ......  x1 10  x0
Esempio:
3807410  3 104  8 103  0 10 2  7 10  4
Esempio: quanto vale il numero che in base 3 si scrive 2012 (si legge “due zero uno due”)?
Il numero 20123  2  33  0  32  1 3  2  5910
Esempio 2
I membri di una tribù hanno 10 dita alle mani e 9 ai piedi e quindi contano indifferentemente in
base 10 o in base 19. Un intero positivo è detto “sacro” se in entrambe le basi si scrive con le
stesse due cifre (comprese tra 0 e 9). Quanti sono i numeri sacri?
Soluzione: siano a e b le cifre; naturalmente le cifre devono essere presenti in ordine diverso quindi
otteniamo che 10a+b=19b+a da cui 9a=18b cioè a=2b. I numeri sono 21 42 63 84.
Esempio 3
Soluzione della prima parte del quesito PENSA UN NUMERO……. usando la scrittura
polinomiale:
Consideriamo un numero naturale qualsiasi xyz, che espresso in notazione decimale è:
xyz=100x+10y+z.
Ora, ripetendo le tre cifre, otterremo:
xyzxyz=105x+104y+103z+102x+10y+z;
sommando i coefficienti dei monomi simili, otterremo:
xyzxyz=100100x+10010y+1001z=1001(102x+10y+z)=1001xyz
cioè abbiamo
xyzxyz =1001xyz
………………………….. (a questo punto la dimostrazione è identica a quella scritta sopra).
GRADUATORIA
Si comunica la graduatoria attuale del gioco “ Scopri il genio che è in te”
Alunno
Farotti Emanuele
Diomedi Riccardo
Mazzuferi Edoardo
Caproli Luca
Mattiacci Francesco
Silvi Martina
Maponi Matteo
Abruzzese Gael
Grifagno Elisa
Punti
10019
9628
9614
8173
7949
5171
3887
3690
728
Si ricorda che i punti P assegnati agli alunni sono stati calcolati secondo la seguente formula:
P = 10080-t
dove t indica il tempo (in minuti) trascorso dall’ora x e 10080 erano i minuti totali a disposizione.
Si avverte che il giorno Lunedì 1 Febbraio 20010 verrà pubblicato il secondo quesito.
N.B. Ora x = ore 21.00 di Lunedì 1 Febbraio 2010!!!!!