LOGARITMI

LOGARITMI
L’elevamento a potenza a n = b ammette due operazioni inverse:
 L’estrazione di radice:
a 
 Il logaritmo:
n  log a b
n
b
Definizione: dati due numeri positivi a , b con a  1, si definisce logaritmo in base a di b
l’esponente da dare ad a per ottenere b.
a x  b  x  log a b
Proprietà fondamentali:
-
log a a  1
log a 1  0
-
log a a n  n
-
Se b = c  log ab = log a c
Non esiste il logaritmo di un numero negativo o nullo.
qualunque numero positivo b può essere scritto in modo unico
come potenza di un qualunque numero positivo a diverso da 1:
b  a loga b
Le basi più comuni sono 10 ed e.
PROPRIETA’
log a (b  c)  log a b  log a c
b
log a    log a b  log a c
c
log a b c  c  log a b
Osservazioni:
1. L’applicazione delle proprietà dei logaritmi è consentita solo se gli argomenti dei
logaritmi sono positivi, in caso contrario vanno opportunamente corrette.
Es.: log a (b  c)  log a | b |  log a | c | purchè b  c > 0
2. Non esiste alcuna proprietà applicabile alle seguenti espressioni:
log a b  c  , log a b  c  , log a b  log a c ,
log a b / log a c
FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE
log a N 
log b N
log b a
Funzione logaritmica
Definizione: dato un numero reale a > 0 e diverso da 1, la funzione di R in R che associa
x
f ( x ) = log a x si dice funzione logaritmica di base a.
EQUAZIONI LOGARITMICHE
1. Equazioni che utilizzando le proprietà dei logaritmi possono essere scritte nella forma:
log a f ( x)  log a g ( x)

f ( x)  g ( x)
per le quali sarà poi necessario verificare quali siano le soluzioni accettabili ( ovvero
quelle che non rendano negativo nessuno degli argomenti ).
Un eventuale coefficiente k isolato può essere riscritto : k = klogxa = logaak
1
log  x  8  log 12  2 log 5  2
Es.:
r. 1
2
2. Equazioni che si risolvono agevolmente con un cambiamento di variabile.
2 log 4 x  5
6
7


Es.:
r. 1/32, 27
2
2 log 4 x  1 log 4 x  3 4
3. Equazioni che si risolvono con un cambiamento di base.


1
3 log 2 x  log 1 x   4  log 2
x
2 

4. Equazioni che si risolvono graficamente.
Es.:
r. 1/16
DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
In forma elementare sono del tipo:

log a A ( x ) <> b
log a A ( x ) <> log a a b
Ad una forma analoga si può sempre pervenire utilizzando le proprietà dei logaritmi.
Si distinguono due casi:
1°caso:
a > 1 ( la funzione logaritmica è crescente )
2°caso:
log a A ( x ) > log a a b

A ( x ) > ab
log a A ( x ) < log a a b

0 < A ( x ) < ab
a < 1 ( la funzione logaritmica è decrescente )
log a A ( x ) > log a a b

0 < A ( x ) < ab
log a A ( x ) < log a a b

A ( x ) > ab
Osservazione:
Es.:
se per ottenere la forma normale sono state applicate le proprietà dei
logaritmi, la disequazione risolvente deve essere messa a sistema con
le condizioni di realtà dei singoli argomenti.
log x  log( x  3)  1
r. 0 < x < 2
log 1 ( x 2  4 x  3)  log 1 ( x  2)  log 1 ( x  1)
5
5
5
r. x > 3