EQUAZIONI
Di primo grado ad una
incognita
Prof. Valletti
Definizione di EQUAZIONE
Un’EQUAZIONE
è un’uguaglianza tra due
espressioni algebriche qualsiasi
Espressione
1
Prof. Valletti
=
Espressione
2
Parti dell’EQUAZIONE
Espressione
1
La parte alla sinistra
dell’uguale è detta
PRIMO MEMBRO
Prof. Valletti
=
Espressione
2
La parte alla destra
dell’uguale è detta
SECONDO MEMBRO
Che caratteristiche ha
un’EQUAZIONE?
Un’equazione, in Matematica, è come un’affermazione:
Se il colore di una penna è uguale al colore di una scatola
..si scrive appunto
Colore penna = colore scatola
Noi possiamo dire in quali condizioni questa affermazione è
vera o falsa
Espressione
1
Prof. Valletti
=
Espressione
2
Equazione vera o falsa?
In
alcuni casi la risposta può essere ovvia
oppure
4=4
0=0
Evidentemente
tutti sono d’accordo sul
fatto che queste due affermazioni sono
sicuramente VERE
Prof. Valletti
Equazione vera o falsa?
In
altri casi la risposta può essere ovvia
oppure
−3 = 4
0=5
Evidentemente
tutti sono d’accordo sul
fatto che queste due affermazioni sono
sicuramente FALSE
Prof. Valletti
Equazione vera o falsa?
Ma se compare un’incognita, il fatto che
l’equazione sia vera o falsa può dipendere
dal valore dell’incognita stessa
Ad esempio
2𝑥 =10
Prof. Valletti
E’ un’affermazione che può essere vera o
falsa a seconda del valore di x
Equazione vera o falsa?
2𝑥 =10
Se
x=1 l’equazione risulta falsa
Sostituendo
vero che
a x il valore 1 non risulta infatti
2 ∙ 1 =10
Analogamente
è vero che
Prof. Valletti
per x=7, ad esempio, non
2 ∙ 7 =10
Risolvere un’EQUAZIONE
Risolvere
un’equazione significa trovare
quel o quei valori che la rendono vera
Nel
caso dell’equazione
2𝑥 =10
L’unico
Il
valore valido sarà x = 5
valore o i valori individuati si dicono
SOLUZIONI o RADICI dell’equazione
Prof. Valletti
Esercizi
Quali
sono le soluzioni della seguente
equazione?
3𝑥 = 27
E
della seguente?
𝑥 + 2 = 13
Prof. Valletti
E se l’EQUAZIONE si complica?
Come
possiamo trovare le soluzioni nel
caso di equazione complesse?
5 2𝑥 − 1 − 6𝑥 = 𝑥 − 4
E’
impensabile procedere a mente
Servono
delle regole che aiutino a capire
le soluzioni rendendo più semplice il testo
Prof. Valletti
Principi di equivalenza
Le
regole che permettono di risolvere
un’equazione sono 2:
1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Vediamo in dettaglio queste regole…
Prof. Valletti
Principi di equivalenza
Ma
prima di capire i due principi
dobbiamo immaginare che
un’equazione può essere paragonata
anche ad una bilancia:
La
bilancia, come l’equazione, ci dice
che i due piatti sono uguali tra loro
Prof. Valletti
PRIMO PRINCIPIO
Se
aggiungo o sottraggo ad entrambi i
piatti la stessa quantità i due piatti della
bilancia risultano ancora in equilibrio tra
loro
+3 Kg
Prof. Valletti
+3 Kg
Se sommo o sottraggo ad entrambi i membri di
un’equazione lo stesso valore le soluzioni dell’equazione
non cambiano
PRIMO PRINCIPIO
Dunque, se è vera l’equazione
a=b
Saranno vere anche le equazioni
a+3=b+3
a–2=b-2
Prof. Valletti
PRIMO PRINCIPIO
Altro
esempio con le equazioni:
L’equazione
3𝑥 = 6
Ha
le stesse soluzioni di:
3𝑥 − 1 = 6 − 1
3𝑥 − 1 = 5
Prof. Valletti
PRIMO PRINCIPIO
Per
lo stesso motivo
L’equazione
𝑥−2=0
Ha
le stesse soluzioni di:
𝑥−2+2=0+2
𝑥=2
Prof. Valletti
PRIMO PRINCIPIO
(versione semplificata)
Il
primo principio risulta più comodo se
visto in questo modo:
𝑥−2=0
𝑥=2
Posso
portare un addendo da un
membro all’altro di un’equazione
cambiandone il segno
Prof. Valletti
SECONDO PRINCIPIO
Prof. Valletti
Se moltiplico o divido il contenuto di entrambi
i piatti per uno stesso valore (ad esempio se
raddoppio) i due piatti della bilancia risultano
ancora in equilibrio tra loro
Se moltiplico o divido entrambi i membri di
un’equazione per lo stesso valore (diverso da zero) le
soluzioni dell’equazione non cambiano
SECONDO PRINCIPIO
Esempio
con le equazioni:
L’equazione
2𝑥 = 1
Ha
le stesse soluzioni di:
2𝑥 1
=
2
2
1
𝑥=
2
Prof. Valletti
SECONDO PRINCIPIO
Esempio
con le equazioni:
L’equazione
Ha
5𝑥
=2
3
le stesse soluzioni di:
5𝑥
3∙
=2∙3
3
5𝑥 = 6
Prof. Valletti
Principi di equivalenza
Dunque
si utilizzano i due principi in modo
tale da isolare la x al primo membro per
determinare esplicitamente la soluzione
dell’equazione (x=?)
Esempio
2𝑥 − 3 = 0
2𝑥 = 3
2𝑥 3
=
2
2
3
𝑥=
2
Prof. Valletti
1° principio
2° principio
SOLUZIONE
