FRAZIONI
CONTINUE
A COSA SERVONO?
Le frazioni continue ci permettono di APPROSSIMARE IL VALORE DI UN
NUMERO sia decimale periodico, che aperiodico, con semplici ed
immediati passaggi.
Ogni numero razionale si può rappresentare come frazione continua
finita.
Le frazioni continue possono essere rappresentate in due modi:
UN PO’ DI STORIA…
Tradizionalmente si ritiene che le frazioni continue siano l’evoluzione
grafica del noto METODO DI DIVISIONE EUCLIDEA ideato da EUCLIDE.
L’origine di questa evoluzione grafica ha diviso i matematici:
• Alcuni ritengono che sia dovuta ad EULERO (1707-1783).
• Altri che sia dovuta al matematico indiano ARYABHATA, che le usò per
risolvere un’equazione diofantea lineare nel 550.
Altri matematici hanno studiato le frazioni continue PER APPROSSIMARE LE
RADICI di alcuni numeri reali, fra i quali:
Bombelli, Cataldi, Wallis (1616-1703), Lord Brouncker (1620-1684), Perron, Hermite,
Gauss, Cauchy, Stieltijes, Brezinski e Jacobi.
Euclide
REGOLA PRATICA PER LO
SVILUPPO DI UNA FRAZIONE IN
FRAZIONE CONTINUA
Per trasformare una frazione positiva in frazione continua, basta calcolare il M.C.D.
fra il numeratore ed il denominatore della frazione applicando le divisioni
consecutive e scrivere la frazione continua che ha per elementi i quozienti che
figurano nel calcolo del M.C.D. e nel medesimo ordine.
Per capire meglio quanto detto guardiamo l’esempio con la frazione
:
1. Applichiamo le divisioni consecutive:
59:25=2 r9 25:9=2 r7 9:7=1 r2 7:2=3 r1 2:1=2 r0
2. Prendiamo i quozienti nel loro ordine:
=[2,2,1,3,2]
Il risultato ottenuto è un altro modo per esprimere:
=2,36
METODO DI DIVISIONE EUCLIDEA
Euclide elaborò la regola pratica per lo sviluppo di una frazione continua:
costruì la frazione continua sommando i reciproci dei calcoli che aveva
eseguito.
Un esempio:
=[2,2,1,3,2]
ECCO COME:
ALCUNE DEFINIZIONI…
DEFINIZIONE 1
Si chiama frazione continua (aritmetica) limitata una successione che
scriviamo
e con n (numero di elementi «a» sotto la frazione) un numero finito.
DEFINIZIONE 2
Sia α un numero razionale e sia [a0, a1,··· ,an] una frazione continua finita.
Se risulta
Allora il numero razionale α si dice valore della frazione continua
[a0,a1,a2,...,an] e si pone α = [a0,a1,··· ,an]
α = a0 +
1
1
a1 +
1
a2 +
a3 +
1
1
··· + an
EQUAZIONI DIOFANTEE
Le equazioni diofantee sono tutte quelle EQUAZIONI LINEARI
INDETERMINATE con più incognite e coefficienti positivi.
Furono studiate per la prima volta dal matematico greco Diofante.
Le equazioni diofantee sono del tipo: ax – by = ±1
Per risolvere le equazioni diofantee è possibile usare le frazioni continue.
TEOREMA
L’equazione del tipo ax – by = ±1, dove a e b sono interi positivi primi fra loro, ha
infinite soluzioni intere.
FRAZIONI CONTINUE ILLIMITATE
È possibile rappresentare anche un numero irrazionale in forma di frazione
continua, ma in questo caso l’espansione va avanti all’infinito invece di
giungere ad una fine.
Questo modo di scrivere i numeri irrazionali rende più semplice la
memorizzazione.
Per capire meglio analizziamo √3:
√3= 1,73205080756887712.........
Difficile da memorizzare!!!
sotto forma di frazione continua è:
√3 =[1,1,2,1,2,1,2,1,.........] =[1,1,2]
È periodico!!!
I risultati ottenuti sono solo approssimazioni, infatti ci sono i puntini.
FRAZIONI CONTINUE PERIODICHE
Definizione 1
Una frazione continua aritmetica illimitata α = [a0,a1,a2,...] si definisce periodica se
da un certo indice «i» in poi, gli interi ai si ripetono periodicamente.
Definizione 2
Un numero complesso si definisce algebrico di ordine n se è radice di
un’equazione algebrica di grado «n» a coefficienti interi
anxn + ... + aixi + ... + a1x + a0 = 0
I numeri (reali) algebrici di secondo grado che sono soluzioni di equazioni della
forma
ax2 + bx + c = 0
con a,b,c ∈ Z, a ≠ 0, c ≠0 e b2 − 4ac > 0 si definiscono IRRAZIONALI QUADRATICI.
IRRAZIONALI QUADRATICI
Definizione
Gli irrazionali quadratici sono i più semplici numeri irrazionali, che
sorgono come soluzioni di equazioni quadratiche con coefficienti interi.
Per capire meglio analizziamo √2: √2=1,4142135624…………..
1. Si sa che:
2. Con la formula inversa calcoliamo:
3. Sappiamo anche:
4. Quindi:
e
5. Questi passaggi si ripeteranno sempre uguali:
CURIOSITÀ: CORREZIONE DEL
CALENDARIO
Ricordiamo che la differenza fra l’anno tropico di 365d5h48m49s e
l’anno per uso civile, di soli 365d , è di 20929 secondi e che un giorno è
formato da 86400 secondi.
Sviluppando in frazione continua il rapporto 86400
, si ha:
20929
86400
=[4,7,1,3,1,16,............(limitata)]
20929
Già dal primo elemento possiamo capire che ogni 4 anni i giorni
saranno 1 in più.
LAVORO SVOLTO
DA:
La Mantia Luca
