L`integrale definito

L’integrale definito
L’integrale definito
L’area di una regione di piano dal contorno curvilineo
Consideriamo l’area della regione di piano delimitata dal grafico di una funzione
positiva in un intervallo
[ a, b] , dall’asse x e dalle rette x = a e x = b
f (x), continua e
Una tale regione di piano si chiama trapezoide.
1
L’integrale definito
Per calcolare l’area di un trapezoide suddividiamo l’intervallo
L’integrale definito
[ a, b] in n parti uguali di ampiezza Dx .
Le altezze dei rettangoli sono i valori assunti dalla
funzione
f
in opportuni punti
ci
.
Un valore approssimato dell’area del trapezoide è quindi
dato da:
n
 x  f ( c )
i
i 1
Al crescere di
n il valore della sommatoria approssima sempre meglio l’area del trapezoide.
Possiamo quindi assumere che sia:
n
Area del trapezoide =
lim å Dx × f (Ci )
n®+¥
Questo limite viene
indicato con il simbolo
ò
i=1
a
b
f (x) dx
che prende il nome di integrale definito tra a e b di f(x)
2
L’integrale definito
L’integrale definito
Le proprietà dell’integrale definito
•
ò
a
b
f (x) = 0
Cioè, se gli estremi di integrazione sono uguali, l’integrale definito è nullo.
•
ò
a
b
f (x) dx = - ò f (x)dx
a
b
Cioè, scambiando gli estremi di integrazione, l’integrale definito cambia segno.
•
Proprietà di linearità
ò
ò
a
b
a
b
k × f (x)dx = k ò f (x)dx
a
b
[ f (x)+ g(x)] dx =
ò
a
b
kÎR
con
f (x)dx + ò g(x)dx
a
b
3
L’integrale definito
•
L’integrale definito
Proprietà di additività rispetto all’intervallo di integrazione:
ò
a
b
f (x) dx =
ò
c
b
f (x)dx + ò f (x) dx
b
c
4
L’integrale definito
Il calcolo delle aree
La funzione integrale
Se 𝑓(𝑥) è una funzione continua in un intervallo [𝑎, 𝑏], possiamo valutare l’integrale
definito della funzione 𝑓 tra 𝑎 e un punto 𝑥 variabile in [𝑎, 𝑏].
In questo modo:
𝑥
𝐹 𝑥 =
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑎
diventa una funzione che rappresenta l’area del
trapezoide tra 𝑎 e 𝑥 .
A questa funzione si dà il nome di funzione integrale.
5
L’integrale definito
Il calcolo delle aree
Il teorema fondamentale del calcolo integrale
La funzione integrale gode di un’importante proprietà: la sua derivata coincide
con la funzione 𝑓
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 → 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝐹 𝑥 =
𝑎
Di conseguenza, la funzione integrale 𝐹 𝑥 diventa un primitiva della funzione
𝑓 𝑥 .
6
L’integrale definito
Il calcolo delle aree
Il teorema fondamentale del calcolo integrale ci dà un modo per calcolare un integrale
definito.
Indicata con 𝜑(𝑥) una generica primitiva della funzione 𝑓(𝑥), si ha che:
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = [𝜑 𝑏 − 𝜑(𝑎)]
𝑎
Questa relazione prende il nome di formula di Newton-Leibniz.
7
Il calcolo delle aree
L’integrale definito
ESEMPI
1. Calcoliamo
2
1
𝑥 2 − 1 𝑑𝑥
2
Troviamo una primitiva 𝜑 della funzione 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1:
8
1
2
𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
4
𝑥2
3
−𝑥+𝑐
𝜑 2 = 3 − 2 + 𝑐 𝜑 1 = 3 − 1 + 𝑐 quindi 𝜑 3 − 𝜑 1 = 3
é x3
ù 8
æ1
ö 4
2
x
-1
dx
=
+
x
+
c
=
2
+
c
-1+
c
ç
÷=
ú
ò1 ( ) êë 3
è3
ø 3
û1 3
2
In definitiva:
2
Poiché la costante c è ininfluente per il calcolo dell’integrale, possiamo ometterla nella
scrittura della primitiva.
2. Calcoliamo
𝜋
0
sin 𝑥 − cos 𝑥 𝑑𝑥
ò 0 (sin x - cos x) dx = [-cos x -sin x]0 = (-cos p - sin p ) - (-cos0 -sin0) =1+1= 2
p
p
8
L’integrale definito
Il calcolo delle aree
Il calcolo di un’area
• Se 𝑓(𝑥) è positiva o nulla: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅 =
𝑏
𝑓
𝑎
• Se 𝑓(𝑥) è negativa o nulla: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅 = −
𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
• Se 𝑓(𝑥) non è sempre positiva o nulla:
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑅 =
(somma degli integrali definiti
di 𝑓 negli intervalli in cui 𝑓
è positiva o nulla) – (somma degli
integrali definiti di 𝑓 negli intervalli
in cui 𝑓 è negativa o nulla)
Nel caso della figura: 𝑅 =
𝑐
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 −
𝑑
𝑓
𝑐
𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏
𝑓
𝑑
𝑥 𝑑𝑥
9
Il calcolo delle aree
L’integrale definito
ESEMPIO
Troviamo l’area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
nell’intervallo [0, 4].
La parabola interseca l’asse delle ascisse nei punti 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3 ed è negativa
se 1 < 𝑥 < 3.
L’area richiesta è quindi data da:
1
0
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 −
1
= 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥
3
1
3
1
1
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 +
1
− 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥
3
0
4
3
3
4
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥
3
4
1 3
4
4
4
+ 𝑥 − 2𝑥 2 + 3𝑥 = − − + = 4
3
3
3
1
3 3
10
Il calcolo delle aree
L’integrale definito
L’area della regione definita da due o più curve
Siano 𝑓(𝑥) e 𝑔 𝑥 funzioni continue e tali che sia 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔 𝑥 in tutti i punti
dell’intervallo 𝑎, 𝑏 .
𝑏
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖 𝑅 =
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥
𝑑𝑥
𝑎
11
Il calcolo delle aree
L’integrale definito
Se la regione di piano di cui si vuole calcolare l’area è delimitata da più funzioni:
𝑏
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖 𝑅 =
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑐
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑏
ℎ(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
cioè:
𝑏
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖 𝑅 =
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏
ℎ 𝑥 𝑑𝑥
𝑐
12
L’integrale definito
Il calcolo delle aree
Questa formula viene anche detta formula circolare in quanto, fissato un punto
di partenza, per esempio quello di ascissa 𝑎, si calcolano gli integrali definiti
che si incontrano percorrendo il contorno della curva che delimita l’area 𝑅
fino a tornare nel punto di inizio.
13
Il calcolo delle aree
L’integrale definito
ESEMPIO
Calcoliamo l’area della regione finita di piano delimitata dalle curve
𝑓 𝑥 = 2 − 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥
Calcoliamo le ascisse dei punti di intersezione delle due curve risolvendo l’equazione:
2 − 𝑥 2 = 𝑥 → 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 1
Poiché 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) nell’intervallo [−2, 1], l’area richiesta è uguale a:
1
1
2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 −
−2
1
𝑥 𝑑𝑥 =
−2
−2
1
1
2 − 𝑥 2 − 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥 3 − 𝑥 2 + 2𝑥
3
2
1
=
−2
9
2
14
Il calcolo delle aree
L’integrale definito
L’area della regione delimitata da una curva e dall’asse 𝒚
Nel caso in cui la funzione 𝑓 abbia come variabile indipendente 𝑦 si procede
come nel caso precedente.
ESEMPIO
Calcoliamo l’area della regione finita di piano delimitata dalla parabola di equazione
𝑥 = 𝑦 2 + 2𝑦 − 3
La parabola interseca l’asse 𝑦 nei punti di ordinata −3 e 1.
1
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑖 𝑅 = −
−3
1
𝑦 2 + 2𝑦 − 3 𝑑𝑦 = − 𝑦 3 + 𝑦 2 − 3𝑦
3
1
=
−3
32
3
15
Il calcolo delle aree
L’integrale definito
Se la funzione 𝑓 ha come variabile indipendente 𝑥 ed è invertibile, prima si scrive l’equazione
della funzione in funzione di 𝑦 e poi si procede come nel caso precedente.
ESEMPIO
Calcoliamo l’area della regione di piano delimitata dall’iperbole di equazione 𝑦 =
dall’asse 𝑦 e dalla retta 𝑦 = 2.
3𝑥−2
,
𝑥+1
Esplicitiamo l’equazione dell’iperbole rispetto a 𝑥:
𝑥=
2
𝑦+2
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑑𝑦 =
3
−
𝑦
−2
𝑦+2
3−𝑦
2
−1 +
−2
5
𝑑𝑦 = −𝑦 − 5 ln(3 − 𝑦)
3−𝑦
2
−2
= 5 ln 5 − 4
16
Volume di un solido di rotazione
L’integrale definito
Il volume di un solido di rotazione
La rotazione attorno all’asse 𝒙
Se 𝑓(𝑥) è una funzione continua in 𝑎, 𝑏 il volume 𝑉 del solido generato da 𝑓(𝑥)
in una rotazione completa attorno all’asse 𝑥 è dato dalla formula:
𝑉=𝜋
𝑏
[𝑓
𝑎
𝑥 ]2 𝑑𝑥.
17
Volume di un solido di rotazione
L’integrale definito
ESEMPIO
Calcoliamo il volume del solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa attorno
all’asse 𝑥 della funzione 𝑓 𝑥 =
2
𝑉=𝜋
−2
1
2
2𝑥
1 𝑥
2
nell’intervallo −2, 2 .
1
𝑑𝑥 = 𝜋 −
2 ln 2 ∙ 22𝑥
2
=
−2
255𝜋
≈ 36,12
32 ln 2
18
Volume di un solido di rotazione
L’integrale definito
La rotazione attorno all’asse 𝒚
Il volume 𝑉 del solido generato da 𝑓(𝑥), funzione continua in 𝑎, 𝑏 , in una
rotazione completa attorno all’asse 𝑦 si calcola con la formula:
𝑏
𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
−2𝜋 𝑎 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑉 = 2𝜋
se 𝑓(𝑥) è positiva
𝑉=
se 𝑓(𝑥) è negativa
oppure
𝑞
[𝑔 𝑦 ]2 𝑑𝑦
𝑉=𝜋
𝑝
con g 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) e 𝑝 = 𝑓 𝑎 , 𝑞 = 𝑓(𝑏)
19
Integrali impropri
L’integrale definito
Gli integrali impropri
Nel calcolo di aree e volumi abbiamo supposto che la funzione 𝑓(𝑥) da integrare
fosse una funzione continua in un intervallo [𝑎, 𝑏] con estremi finiti.
Ora vogliamo generalizzare il concetto di integrale definito nel caso in cui cada una
delle due ipotesi precedenti. In particolare esamineremo cosa accade se:
1. la funzione tende a infinito in uno degli estremi di integrazione o in un punto
interno ad 𝑎, 𝑏
2. uno degli estremi di integrazione o entrambi non sono finiti.
20
Integrali impropri
L’integrale definito
Il primo caso
Se 𝑓(𝑥) non è continua in 𝑏 e lim− 𝑓 𝑥 = ∞, se esiste ed è finito
𝑥→𝑏
𝑘
𝑓(𝑥)
𝑘→𝑏 𝑎
lim
𝑑𝑥
con 𝑘 ∈ 𝑎, 𝑏 , allora diciamo che 𝑓(𝑥) è integrabile in 𝑎, 𝑏 e poniamo:
𝑏
𝑎
𝑘
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim−
𝑘→𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
Se invece tale limite non esiste o non è finito diciamo che 𝑓 𝑥 non è integrabile in 𝑎, 𝑏 .
21
Integrali impropri
L’integrale definito
Analogamente, se la funzione 𝑓(𝑥) non è continua in 𝑎 e lim+ 𝑓 𝑥 = ∞, se esiste ed è
𝑥→𝑎
finito
lim+
ℎ→𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)
ℎ
𝑑𝑥
con ℎ ∈ (𝑎, 𝑏], diciamo che 𝑓(𝑥) è integrabile in 𝑎, 𝑏 e poniamo:
𝑏
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim+
ℎ→𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
ℎ
Se invece tale limite non esiste oppure è infinito diciamo che 𝑓 𝑥 non è integrabile in
𝑎, 𝑏 .
22
Integrali impropri
L’integrale definito
ESEMPIO
Vogliamo stabilire se è finita l’area della regione di piano delimitata dalla funzione
𝑦 = ln 𝑥 nell’intervallo [0, 1].
La funzione tende a −∞ per 𝑥 → 0+ .
Calcoliamo allora
1
lim+
ℎ→0
ℎ
ln 𝑥 𝑑𝑥 = lim+ 𝑥(ln 𝑥 − 1)
ℎ→0
1
ℎ
= lim+ −1 − ℎ ln ℎ − 1
ℎ→0
= −1
Poiché il limite ha valore finito e tenendo conto che la funzione è negativa in
0, 1 , possiamo concludere che l’area ha misura finita e vale 1.
23
Integrali impropri
L’integrale definito
ESEMPIO
Vogliamo stabilire se è finita l’area della regione di piano delimitata dalla funzione
1
𝑦 = (𝑥−2)2 e l’asse 𝑥 nell’intervallo [0, 1].
La funzione tende a +∞ per 𝑥 → 1− .
Calcoliamo allora
𝑘
1
1
lim−
𝑑𝑥
=
lim
𝑘→1 0 (𝑥 − 2)2
𝑘→1− 1 − 𝑥
𝑘
0
= lim−
𝑘→1
1
− 1 = +∞
1−𝑘
Poiché il limite ha valore infinito la funzione non è integrabile in 0, 1 e l’area richiesta
non ha valore finito.
24
Integrali impropri
L’integrale definito
Il secondo caso
Sia 𝑓(𝑥) una funzione definita e continua in un intervallo 𝑎, +∞ .
𝑏
𝑓(𝑥)
𝑏→+∞ 𝑎
Allora, se esiste finito lim
𝑑𝑥, la funzione è integrabile nell’intervallo 𝑎, +∞
e poniamo:
+∞
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎
𝑏→+∞ 𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
25
Integrali impropri
L’integrale definito
In modo analogo si pongono le definizioni nel caso in cui la funzione:
 è definita nell’intervallo −∞, 𝑏 :
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎→−∞ 𝑎
−∞
 è definita nell’intervallo −∞, +∞ :
+∞
−∞
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎→−∞
lim
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏→+∞ 𝑎
sempre che tali limiti esistano finiti.
26
Integrali impropri
L’integrale definito
ESEMPIO
Stabiliamo se esiste
+∞
2
1
𝑑𝑥
𝑥3
Dobbiamo calcolare:
𝑏
lim
𝑏→+∞ 2
1
1
𝑑𝑥 = lim − 2
𝑏→+∞
𝑥3
2𝑥
𝑏
= lim
2
𝑏→+∞
1
1
1
− 2+
=
2𝑏
8
8
Quindi
+∞
2
1
1
𝑑𝑥 =
𝑥3
8
27
L’integrale definito
L’integrazione numerica
L’integrazione numerica
Il calcolo di un integrale definito è possibile solo se della funzione integranda 𝑓(𝑥) è
possibile trovare una primitiva.
Non sempre si riesce in questa operazione; per esempio non siamo in grado di
2
trovare una primitiva della funzione 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 .
In tal caso si ricorre a metodi che consentono di dare una valutazione approssimata
dell’integrale: questi metodi prendono il nome di metodi di quadratura numerica.
Il problema è dunque il seguente:
determinare un valore approssimato dell’integrale definito
essendo 𝑓(𝑥) una funzione continua in 𝑎, 𝑏 .
𝑏
𝑓(𝑥)
𝑎
𝑑𝑥
28
L’integrale definito
L’integrazione numerica
Il metodo dei rettangoli
Data una funzione 𝑓(𝑥) continua e positiva in un intervallo 𝑎, 𝑏 , si può calcolare un valore
approssimato dell’integrale definito di 𝑓(𝑥) nell’intervallo 𝑎, 𝑏 procedendo nel
seguente modo:
𝑏−𝑎
• si suddivide l’intervallo 𝑎, 𝑏 in un numero 𝑛 di parti uguali di ampiezza ℎ = 𝑛
mediante i punti di suddivisione
𝑥0 = 𝑎 𝑥1 = 𝑎 + ℎ 𝑥2 = 𝑎 + 2ℎ … 𝑥𝑛 = 𝑎 + 𝑛ℎ = 𝑏
• si considerano i valori assunti dalla funzione 𝑓 in ciascuno di questi punti:
𝑓 𝑎 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 … 𝑓(𝑥𝑛 )
• si costruiscono una serie di rettangoli che hanno per base il segmento di estremi 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1
e altezza 𝑓(𝑥𝑖 ) (valore della funzione assunto nell’estremo sinistro di ciascun intervallo).
29
L’integrale definito
L’integrazione numerica
• si calcola l’area di ciascun rettangolo: ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑖 )
• si sommano i valori ottenuti e si ottiene un valore approssimato dell’integrale definito
che indichiamo con 𝑅𝑆 :
𝑅𝑠 = ℎ[𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛−1 ]
Se si assume come altezza il valore assunto dalla funzione 𝑓 nell’estremo destro di ciascun
intervallo si ottiene l’espressione seguente:
𝑅𝑆 = ℎ[ 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑏 ]
dove ℎ viene detto passo dell’integrazione.
30
L’integrale definito
L’integrazione numerica
Al crescere di 𝑛, il grado di approssimazione migliora, cioè troviamo valori approssimati
che via via si avvicinano al valore vero dell’integrale.
Se 𝑓 è una funzione derivabile con derivata prima continua in 𝑎, 𝑏 , l’errore commesso 𝐸
rispetta la relazione:
(𝑏 − 𝑎)2 ′
𝐸≤
∙ 𝑓𝑀
2𝑛
dove 𝑓𝑀′ è il massimo dei valori assunti da |𝑓 ′ 𝑥 | in 𝑎, 𝑏 .
31
L’integrazione numerica
L’integrale definito
Il metodo dei trapezi
Possiamo approssimare l’area del trapezoide utilizzando trapezi che hanno come basi i
valori 𝑓 𝑥𝑖 e 𝑓 𝑥𝑖+1 e altezza ℎ.
Otteniamo un valore approssimato 𝑇 dell’area dato dalla seguente espressione:
𝑓 𝑥0 + 𝑓(𝑥𝑛 )
𝑇=ℎ
+ 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )
2
𝑏−𝑎 3
12𝑛2
L’errore che si introduce rispetta la relazione: 𝐸 ≤
∙ 𝑓𝑀′′
nell’ipotesi che 𝑓 sia una funzione due volte derivabile e con entrambe le
derivate continue in 𝑎, 𝑏 e dove 𝑓𝑀′′ è il massimo dei valori assunti da |𝑓′′(𝑥)| in
𝑎, 𝑏 .
32
L’integrale definito
L’integrazione numerica
Il metodo delle parabole
Approssimiamo ora la funzione 𝑓 in ciascuno degli intervalli 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 con una parabola
seguendo la procedura:
• suddividiamo l’intervallo [𝑎, 𝑏] in 2𝑛 parti uguali mediante i punti di suddivisione
𝑥0 = 𝑎 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥2𝑛 = 𝑏
𝑏−𝑎
• posto h = 2𝑛 si consideriamo gli 𝑛 intervalli 𝑥0 , 𝑥2 , 𝑥2 , 𝑥4 , … , [𝑥2𝑛−2 , 𝑥2𝑛 ] ciascuno
𝑏−𝑎
di ampiezza 2ℎ = 𝑛 che hanno come punti medi i punti 𝑥1 , 𝑥3 , … , 𝑥2𝑛−1 ;
• scriviamo in ogni intervallo l’equazione della parabola che passa per i punti estremi e
per il punto medio;
• calcoliamo l’integrale definito di ciascuna parabola nel proprio intervallo;
• sommiamo i valori ottenuti .
33
L’integrale definito
L’integrazione numerica
La somma dei valori ottenuti è data dalla formula:
𝐼=
1
ℎ 𝑦0 + 𝑦2𝑛 + 4(𝑦1 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦2𝑛−1 + 2(𝑦2 + 𝑦4 + ⋯ + 𝑦2𝑛−2 )
3
𝑓 𝑎 𝑓(𝑏)
nota come formula di Cavalieri-Simpson.
L’errore commesso rispetta la relazione:
(𝑏 − 𝑎)5 (4)
𝐸≤
𝑓
2880𝑛4 𝑀
nell’ipotesi che 𝑓 sia derivabile fino alla derivata quarta e tutte le
(4)
derivate siano continue in [𝑎, 𝑏] e dove 𝑓𝑀 è il massimo dei valori
(4)
assunti da |𝑓𝑀 | in 𝑎, 𝑏 .
34