LM-75: 2016/2017
SCIENZE E TECNOLOGIE PER
L’AMBIENTE E IL TERRITORIO
La conducibilità
idraulica
Prof. Micòl Mastrocicco
E-mail: [email protected]
Tel: 0823 274609
Cell: 349 3649354
Caratteristiche fisiche ed idrodinamiche
Le prime riguardano le proprietà intrinseche di
rocce e terreni e dell’acqua e dei gas tra essi
ospitati; in particolare definiscono la distribuzione
di queste 3 fasi nel REV.
Granulometria
Pesi specifici
Indice dei vuoti
Porosità totale ed efficace
Contenuto d'acqua
Potenziale idrico
Costanti idrologiche (CIM, CC, CA, CI)
Le seconde riguardano le proprietà che governano
il movimento dell’acqua e dei gas tra la matrice
solida nel REV.
Carico e gradiente idraulico
Conducibilità idraulica
Velocità effettiva
Trasmissività
Immagazzinamento
Suoli - Zona non satura - Zona
satura
Matrice + acqua non fluente (…al
massimo si infiltra per gravità!...)
Proprietà misurabili anche in
laboratorio
Zona satura
Matrice + acqua fluente (…per lo più
in orizzontale!...)
Proprietà misurabili solo in campo
Henry Philibert Gaspard Darcy
His life and career are intimately connected with the city of
Dijon. He was born there in 1803; he was buried there in
1858; and it was there that he carried out the experiments
that have brought him lasting fame. Darcy was not an obscure
scientist; he was a well-known and respected public man. His
efforts as an engineer and advocate put Dijon on the main line
of the Paris-Lyon railway, and brought a modern waterdistribution system to Dijon some 25 years before such a
system was put in place in Paris. During his life he received
great honors, suffered political persecution, and carried out
his most productive research in his later years despite ill
health. He died at the relatively young age of 55. The main
square in the city of Dijon is named Place Darcy in his honor
(http://biosystems.okstate.edu/darcy/index.htm).
1. Les Fontaines publiques de Dijon. Exposition et application des principes à suivre
et des formules à employer dans les questions de distribution d'eau (1856);
2. Recherches expérimentales relatives au mouvement de l'eau dans les tuyaux (1857);
3. Recherches expérimentales sur le mouvement de l'eau dans les canaux découverts, (1868);
La legge di Darcy
Q = discharge (m3/d)
K = hydraulic conductivity of aquifer (m/d)
h2 h1 = hydraulic heads measured along flow path (m)
L = distance between head measurements (m)
W = width of cross-sectional flow (m)
Assumptions:
1.The flow is laminar.
2.The aquifer is confined.
3.The aquifer is homogeneous, isotropic and
of uniform thickness.
Q=K(h2-h1/L)W
Q = K (h2-h1/l) A
Q = K (dh/l)A
Q = KiA
Darcy scoprì che la portata di flusso Q è
direttamente proporzionale alla perdita di
carico idraulico agli estremi del tubo (h2-h1)
ed alla sezione trasversale A del tubo;
mentre è inversamente proporzionale alla
lunghezza l del tubo. La costante di
proporzionalità è la conducibilità idraulica K.
Esperimento di Darcy:
configurazione orizzontale
Un fluido monofasico che si muove in regime laminare in un mezzo
poroso saturo ed isotropo si sposta da punti a carico piezometrico
maggiore verso punti a carico piezometrico minore: Q = K (hin-hout/L) A
La conducibilità idraulica K non coincide
con la permeabilità intrinseca k
Mentre la permeabilità intrinseca k è una caratteristica del mezzo (dipendente solo dalle
dimensioni dei pori e dalla loro reciproca posizione, la conducibilità idraulica K dipende
anche dal tipo di fluido che stiamo considerando
K = - (k ρ g)/μ
dove k=Cd2
La costante C per acquiferi reali include l’effetto di una serie di proprietà del mezzo
che influenzano la filtrazione (riconducibili alla porosità del mezzo), quali:
• la distribuzione granulometrica
• la sfericità e l’arrotondamento dei grani
• il tipo di organizzazione spaziale
Se la sezione A è costante
Q = A K1 i 1 = A K2 i 2
K1< K2 ←i1 > i2
K1> K2 ← i1 < i2
Se il gradiente i è costante
Q = A1 K1 i= A2 K2 i
A1> A2 ← K1< K2
A1< A2 ←K1 > K2
Se la conducibilità idraulica K è costante
Q = A1 K i1= A2 K i2
A1<A2 ← i1> i2
A1>A2 ←i1 < i2
La velocità Darcyana
Q=KAi
Q = K A (dh/dl)
Q/A = Ki
q = v = Ki
La velocità di Darcy v (o velocità apparente o portata specifica q o specific discharge ) è
la velocità media con cui la massa d’acqua si propaga all’interno dell’acquifero.
La velocità lineare Ve è la velocità reale con cui le singole molecole d’acqua si muovono
attraverso il mezzo poroso. Solo in un mezzo poroso con porosità 100% le due
velocità coincidono.
L’area filtrante A nella formula di Darcy è composta di solido e di liquido ma solo l’area
occupata dal liquido in movimento (ne) è utile ai fini del flusso.
Per conoscere la velocità reale o
effettiva Ve del fluido occorre dividere
la portata Q per l’area della sezione
filtrante occupata dal fluido in
movimento Ae, che è pari a A*ne).
Numero di Reynolds
La legge di Darcy è valida in una certa gamma di velocità. Essa non è verificata nei
moti turbolenti, (flussi veloci attraverso tubi aperti o zone di pompaggio con perdite
di carico quadratiche), né in quelli estremamente lenti (filtrazione in argille).
La legge di Darcy non è applicabile nei mezzi non saturi.
N = ρ Ve D / μ
Ve = velocità reale di flusso
ρ = densità
μ = viscosità
D = diametro pori
(negli acquiferi si considera il d50)
Il numero di Reynolds (-) permette di
stabilire se il movimento è di tipo
laminare o turbolento; esso lega le
caratteristiche del fluido, con il
diametro dei canalicoli tra i granuli.
Classificazione degli acquiferi in base a K
K in natura ha un enorme campo di variabilità ed è difficile da stimare poiché sono
sufficienti piccole % di fini nei pori per variare la permeabilità di un terreno.
Nelle rocce K dipende da apertura, frequenza, interconnessione, orientazione,
persistenza, rugosità, e riempimento delle fratture. Le fratture possono aumentare il
valore di K di 2 o 3 ordini di grandezza.
m/s
Ghiaia
Sabbia
Sabbia limosa
Limo
Argilla
Roccia
Roccia fratturata
10-3 – 10-1
10-5 – 10-3
10-6 – 10-4
10-8 – 10-6
10-10 – 10-8
10-13 – 10-10
10-8 – 10-2
Porosità e fessurazione
Tufi e calcareniti
Sabbie e ghiaie
Acquiferi permeabili per porosità
Calcari e dolomie
Basalti, graniti e scisti
Acquiferi permeabili per fessurazione
Calcari
Gessi e salgemma
Acquiferi permeabili per carsismo
Tutti i terreni dotati di una porosità efficace primaria ,
ossia le rocce sciolte con granulometria superiore ai
limi ed alcuni tipi di rocce lapidee formate per blanda
cementazione di sedimenti sciolti dalle stesse
caratteristiche granulometriche suddette.
Tutti i terreni dotati di porosità efficace secondaria,
ossia tutte quelle rocce lapidee che hanno subito una
intensa fratturazione per azioni, tettoniche e non
Tutti i terreni dotati di porosità efficace secondaria
originata dal processo di dissoluzione
Granulometria
Determinazione di laboratorio:
essiccamento di un campione di roccia sciolta
peso di una quantità di materiale
Vagliatura con pila di setacci (maglie note) su supporto vibrante e/o sedimentazione (per i fini)
Pesatura del materiale
Rappresentazione grafica dei dati tramite curva granulometrica (o cumulativa) che riporta in
ascissa le aperture dei setacci in mm ed in ordinata le percentuali di peso di campione
passante dalle aperture.
Stima della conducibilità idraulica
I metodi più in uso per calcolare K
sono di vario tipo:
• comparativo da tabelle in base ad
una descrizione qualitativa del
campione
• indiretto: per gli acquiferi porosi
dalle analisi granulometriche tramite
formule di pedotransfer, poiché c’è
una relazione tra permeabilità,
dimensione dei grani e gamma dei
diametri presenti nel campione (es:
formule di Hazen, Terzaghi, Breyer)
• da prove dirette
- slug test
- di laboratorio (permeametro)
- di portata in pozzo
Formula di Hazen (una formula di pedotransfer)
Per un terreno granulare la permeabilità tende ad essere proporzionale alla sezione
degli spazi vuoti, è quindi possibile ricavare una relazione empirica del tipo:
K D2
Visto che un terreno naturale non è mai monogranulare, sono stati fatti vari tentativi per
verificare quale frazione del terreno consente di ottenere la migliore correlazione con la
K.
Il valore indicato da Hazen è il D10, cioè la “larghezza della maglia del setaccio che
permette il passaggio del 10% in peso del campione (trattenendone il 90%)”.
K = C * (D10)2
Con K in m/s; D10 in mm e C in 1/m*s
Una delle principali fonti di incertezza nell'applicazione della formula di Hazen risiede
nella corretta scelta del valore da attribuire alla costante di proporzionalità C. Alcuni
autori hanno fornito valori di C variabili in funzione della granulometria e
dell'addensamento del terreno. In bibliografia si suggerisce di considerare C=0,01.
L'equazione di Hazen è applicabile a terreni granulari sciolti con D10 variabile da
0,1 mm a 3 mm e con coefficiente di uniformità Cu < 5 (dove Cu = D60/D10).
C nella formula di Hazen
SLUG TEST: il metodo di Bouwer & Rice
(http://www.groundwatersoftware.com/v8_n2_bouwer_rice.htm)
Kv e Kh
Nelle rocce permeabili per porosità le diverse modalità di trasporto e deposizione
dei sedimenti sciolti, determinano delle strutture sub parallele, a piani sovrapposti
ed a granulometria variabile lungo certe direzioni.
Eterogeneità stratificata: ciascuno strato è considerato
omogeneo ed ha un valore definito della conducibilità
idraulica (K1, K2,…Kn): l’intero sistema è tuttavia
eterogeneo; In genere la permeabilità è maggiore, se
misurata in senso orizzontale piuttosto che in quello verticale.
Eterogeneità discontinua: è causata da forti variazioni
dovute a faglie, eteropie, superfici d’erosione ecc.
Eterogeneità direzionale: è tipica dei depositi dovuti a
correnti idriche (depositi deltizi, alluvionali, fluvioglaciali….)
dove K può variare di 2-3 ordini di grandezza in pochi Km
Kh = (K1 z1 + K2 z 2) / z1 + z2
Kv = (z1 + z2) / (z1/K1 + z2/K2)
Esempio
Uno strato di arenaria con spessore medio di 200 m e conducibilità idraulica pari a 10 m/g, ha un’estensione
di 10 km. La distanza dalla zona di ricarica a quella di recapito è di 20 km. Calcolare il flusso in uscita.
Quanto tempo impiega una particella d’acqua a spostarsi dalla zona di ricarica a quella di recapito?
Sapendo che Q = KiA e quindi Q/A = v = Ki
i= dh/L; i=60/20,000=0.003 (3‰)
A= estensione*spessore= 200*10,000= 2x106 m2
Q= k i A =10*0.003*2x106 = 6x104 m3/g
t=s/v = 200(k*i) = 200/0.03 = 6667 g = 18.3 a
Modello fisico 3D di acquifero [8x4x1.4 m] con 26 piezometri, vasca di
alimentazione (constant head), bocchette di regolazione della
direzione di flusso, pre/post camere per l’omogeneizzazione dei flussi
Caratteristiche fisiche ed idrodinamiche
Le prime riguardano le proprietà intrinseche di
rocce e terreni e dell’acqua e dei gas tra essi
ospitati; in particolare definiscono la distribuzione
di queste 3 fasi nel REV.
Granulometria
Pesi specifici
Indice dei vuoti
Porosità totale ed efficace
Contenuto d'acqua
Potenziale idrico
Costanti idrologiche (CIM, CC, CA, CI)
Le seconde riguardano le proprietà che governano
il movimento dell’acqua e dei gas tra la matrice
solida nel REV.
Carico e gradiente idraulico
Conducibilità idraulica
Velocità effettiva
Trasmissività
Immagazzinamento
Suoli - Zona non satura - Zona
satura
Matrice + acqua non fluente (…al
massimo si infiltra per gravità!...)
Proprietà misurabili anche in
laboratorio
Zona satura
Matrice + acqua fluente (…per lo più
in orizzontale!...)
Proprietà misurabili solo in campo
Trasmissività idraulica
T = portata attraverso una sezione di larghezza
unitaria ed altezza pari a quella dell’acquifero,
sotto un gradiente unitario
K = portata attraverso una sezione unitaria
sotto un gradiente unitario
B = spessore dell’acquifero
T=K*B
Per acquiferi freatici
T varia nel tempo
Per acquiferi confinati
T è costante
Storativity or storage coefficient: S
L’immagazzinamento S è definito come il volume d’acqua ceduta per unità di superficie di un
acquifero per un declino unitario del carico idraulico nell’acquifero:
Per un acquifero confinato S è espresso da: S = Ssb
dove S è l’immagazzinamento [adimensionale], Ss è il coefficiente di immagazzinamento specifico
o specific stotage [1/L] e b è lo spessore dell’acquifero [L].
L’immagazzinamento S per un acquifero confinato, che varia a seconda dello spessore
dell'acquifero, ha valori compresi tra 5x10-3 e 5x10-5 (Todd, 1980).
Per un acquifero libero, S è dato da: S = Sy + Ssb >>>>
S = Sy
dove Sy è la resa specifica o specific yield.
I valori di immagazzinamento S per un acquifero libero sono in prima approssimazione pari alla
resa specifica Sy (specific yield) dal momento che il rilascio di acqua dall’acquifero dovuto al coeff.
di immagazzinamento specifico Ss (specific storage) è inferiore di alcuni ordini di grandezza.
L’immagazzinamento S per un acquifero libero può variare tra un minimo di 0 ed un massimo che
equivale alla porosità efficace ne; valori frequenti sono 0,1-0,3 (Lohman, 1972).
Specific storage: Ss
Il coeff. di immagazzinamento specifico Ss è il volume d’acqua che può rilasciare un acquifero per un
declino unitario del carico idraulico rispetto al volume totale di acquifero (Freeze and Cherry, 1979):
dove Va è il volume totale della porzione di acquifero che rilascia l’acqua, dVw è il volume di acqua
rilasciata, dh è la variazione di carico, dp è la variazione di pressione, γw è il peso specifico dell’acqua
Il coeff. di immagazzinamento specifico Ss è legato alle compressibilità sia dello scheletro
dell'acquifero α che dell’acqua β:
Ss = Ssuolo + Sacqua
Ss = ρg(α + neβ)
>>>
Ss = γω(α + neβ)
>>>
Ss = γωα + γω neβ
dove ρ è la densità dell’acqua [M/L3], g è l'accelerazione di gravità (= 9.8 m/sec2) [L/T2], α è la
compressibilità del materiale dell’acquifero (o aquitard) [T2L / M], ne è la porosità efficace
[adimensionale] e β è la compressibilità dell'acqua (= 4.6x10-10 m sec2/kg) [T2L /M].
Ssuolo è il volume ceduto per riassestamento dei grani mentre Sacqua è il volume ceduto
per decompressione liquida;
Compressibilità: α e β
La compressibilità dei granuli è data dalla variazione
del volume totale sul volume totale originario, dovuta
alla variazione dello stress efficace σe:
α = - dVT/dσe*VT
La compressibilità dell’acqua è data dalla variazione
del volume d’acqua sul volume d’acqua originario,
dovuta alla variazione delle pressioni neutre u:
β = - dVω/du*Vω
σe
u
σT = u + σe
σe = σT – u
σe = γsat*z - γω*zu
Il drenaggio (es: pozzi in emungimento) riduce la pressione del
fluido nell’acquifero e se σT non cambia allora si ha du = - dσe
Specific yield: Sy
La resa specifica (specific yield) Sy, detta anche porosità drenabile, è il
rapporto tra la frazione di volume che un acquifero lascia percolare per
gravità ed il volume totale dell’acquifero:
La resa specifica Sy [-] più la ritenzione specifica Sr [-] danno la porosità
totale [-]: n = Sy + Sr
Sy ha valori prossimi ma non uguali ad ne (Bear, 1979; Heath, 1983)
Specific retention: Sr
Sr rappresenta la quantità di acqua trattenuta dalle forze capillari durante il drenaggio per
gravità di un acquifero libero. Il valore di Sy può essere vicino al valore di porosità efficace, ma
difficilmente lo raggiunge. Una certa quantità d’acqua (in grado di circolare, e quindi parte della
porosità efficace) rimane comunque nella formazione, anche dopo il drenaggio, attratta dalle
forze esercitate dai granelli fini presenti nella formazione. Sr è quindi la sottile pellicola che
rimane aderente ai granuli e non si trasferisce nonostante sia ospitata da interstizi
comunicanti. Inoltre, il valore potenziale di Sy non può essere pienamente realizzato per un
tempo molto lungo, per complicazioni causate dal flusso nella porzione insatura dell’acquifero.
Rappresentazione grafica
Nel caso del confinato, l’acquifero rimane saturo e si ha espansione del fluido per riduzione della
pressione neutra u (β) e riduzione della porosità per aumento dello stress efficace σe (α)
