LA GEOMETRIA
“PROTAGONISTA” NELLA
SCUOLA
La misura in geometria
3° incontro: 28 marzo 2017
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017
1
Problema: calcolare la somma delle ampiezze degli angoli di un
poligono
Poligoni convessi
Angoli interni
Angoli esterni
Poligoni concavi non intrecciati
Angoli interni
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile
2017
Angoli esterni
2
Angoli interni di poligoni convessi
Prerequisito: conoscere la somma delle ampiezze degli angoli di un triangolo.
(Nel mondo della geometria vol. 3 pag. 214)
Si ritiene efficace, quella di lavorare con modelli di triangoli in carta: ogni
alunno deve ritagliare, o meglio strappare, gli angoli di ogni modello e poi
riaccostare le tre parti in modo che i tre vertici del triangolo coincidano
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017
3
Angoli interni di poligoni convessi
Esempio esagono
Per calcolare la somma delle ampiezze degli angoli interni posso dividere il poligono in triangoli
partendo da un punto interno qualunque
partendo da un vertice
180° x 6= 1080°
180° x 4= 720°
Che cosa si deve modificare per ottenere lo stesso risultato da tutti e due i disegni?
180° x 6 – 180° x 2 = 720°
In generale: se n è il numero dei lati la somma delle ampiezze degli angoli interni è uguale a:
n angoli piatti – 2 angoli piatti = (n -2) angoli piatti
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4
Angoli esterni di poligoni convessi
Si invitano gli alunni, eventualmente suddivisi in piccoli gruppi, a tracciare in ogni poligono
gli angoli esterni, a “strappare” il modello in carta del poligono in modo da “separarne” i
singoli angoli esterni e, infine, a accostare tutti gli angoli esterni in modo da fare coincidere i
loro vertici e da non lasciare “spazio” tra il lati dei vari angoli. A meno di imprecisioni legati
alle operazioni concrete, gli alunni dovrebbero riuscire a ricostruire un angolo giro
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5
Timss - Pisa 2003
Risposta: 60°
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6
Angoli interni di poligoni concavi
La regola generale per i poligoni convessi vale anche per quelli concavi?
Esempio pentagono
5 a.p. – 2 a.p.= 3 a.p.
3 a.p.
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7
Angoli esterni di poligoni concavi non intrecciati
Nel caso dei poligoni concavi il significato di angolo esterno non cambia rispetto a quanto detto
per i poligoni convessi e neppure la loro individuazione grafica, tuttavia il risultato può essere
“strano” in quanto vi sono angoli esterni che contengono parte del poligono, (gli angoli esterni
sono segnati orientando in verso orario la poligonale)
Per questo motivo, nei poligoni concavi invece di angoli esterni si preferisce parlare di
angoli al contorno, per individuare gli angoli che danno il cambiamento di direzione
delle rette dei lati.
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8
Angoli esterni di poligoni concavi
Una maggiore difficoltà si incontra nella determinazione della somma delle ampiezze degli angoli
esterni di un poligono concavo.
Infatti, se si addizionano le ampiezze senza tenere conto dell’orientamento degli angoli, si ottiene
un risultato maggiore dell’angolo giro, nonostante la percorrenza del contorno del poligono porti
ad affermare che il numero di cambiamenti di direzione è tale da aver fatto percorrere un giro
completo, come nel caso dei poligoni convessi.
62° + 59° + 77° + 123° + 101°+ 140° = 562°
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9
Angoli esterni di poligoni concavi
L’eccesso rispetto all’angolo giro è dovuto al fatto che alcuni angoli al contorno sono orientati in
senso orario e altri in senso antiorario, come è evidenziato nella seguente figura, nella quale di
ogni angoli sono riportate le ampiezze assolute
L’angolo di vertice E è ampio 101° ed è
ottenuto con un cambiamento di direzione in
senso antiorario. Esso si annulla, per esempio,
con la parte ampia 101° in senso orario che
descrive l’angolo di vertice F, per cui la somma
delle ampiezze rimanenti è 360°.
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10
Angoli esterni di poligoni concavi
Si può formalizzare in modo algebrico quanto affermato se si associa un segno alle ampiezze: se
per esempio si conviene di considerare positive le ampiezze di angoli orientati in verso orario e
negative le ampiezze di angoli orientati in verso antiorario, l’espressione che corrisponde alla
somma algebrica degli angoli al contorno dell’esagono concavo rappresentato è:
62° + 59° + 77° + 123° + (-101°) + 140° = 360°.
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Tra un quadrato e un esagono (da Polymath settembre 2009)
Dato l’esagono regolare e il quadrato di figura, calcolare il valore dell’angolo
segnato in A.
B
C
Soluzione
Poiché l’angolo interno di un esagono è 120°, l’angolo BCA è uguale a
30°. Sappiamo inoltre che il lato del quadrato è uguale al lato
dell’esagono, BC = AC, quindi il triangolo ABC è isoscele. Di
conseguenza l’angolo CAB è uguale a (180° - 30°)/2 = 75°
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12
Dividere un quadrato!
Prova a dividere un quadrato in:
4 quadrati
7 quadrati
10 quadrati
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Due parole spesso confuse
PERIMETRO
AREA
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CERCHIAMO IL LORO SIGNIFICATO
• Perimetro (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera)
In geometria, il perimetro è la misura della lunghezza del contorno di una
figura piana. È diffusa la convenzione di indicarlo con la sigla 2p (oppure
"P"), da intendersi come due volte p, dove p è quindi la metà del perimetro
o semiperimetro.
La parola deriva dal greco perímetros, composto di perí, intorno, e métron,
misura.
• Perimetro (DaTreccani.it)
In geometria, e con riferimento a un poligono, la somma dei suoi lati, o
anche, più spesso, la somma delle loro misure: il p. di un triangolo, di un
pentagono; calcolare il p. della base di una piramide esagonale. Più in
generale, il contorno (detto più precisamente bordo) di una qualsiasi
superficie, piana o no, e la misura di tale contorno: il p. della base di una
torre, di un castello; quindi, spesso, limite, confine:segnare, misurare il p. di
un campo; le mura corrono lungo tutto il p. della città. Più genericam., con
riferimento allo spazio compreso entro tale limite o confine:dentro il
p. della città; fuori del p. dell’abitato.
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• Area (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera)
L'area è la misura dell'estensione di una regione bidimensionale di uno spazio,
ovvero la misura dell'estensione di una superficie. Come per le altre misure di
natura geometrica, per la precisione si dovrebbe distinguere fra la regione
bidimensionale (insieme di punti) e la sua area (valore numerico associato alla
precedente). Spesso però, nel parlare comune ma anche in esposizioni
scientifiche, il termine area e il termine superficie vengono usati
intercambiabilmente. Ciò è un errore perché esistono molte differenze, anche
sostanziali.
• Area (DaTreccani.it) [dal lat. area]. –
Superficie circoscritta di terreno: nell’area prospiciente alla villa. In
partic., a.fabbricabile, spazio di terreno utilizzabile per la costruzione di
edifici; a. pubblica, ogni strada, piazza o altra superficie destinata ad uso
pubblico; a. di servizio, sulle autostrade o strade di grande comunicazione,
spiazzo con impianti di rifornimento di carburante e spesso anche altre
attrezzature utili agli automobilisti (bar, servizî igienici, officine, ecc.); a. di
parcheggio (v. parcheggio).
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16
Ricerca
Chiediamo agli alunni dove si usa il prefisso
peri nella vita quotidiana.
Es.:
PERIFERIA
PERIGEO (intorno alla Terra)
PERIFRASI
PERICARDIO
PERIPLO
Chiediamo agli alunni se esistono delle parole con il
prefisso peri nella vita quotidiana, ma con un
significato diverso.
Es.:
PERICOLO
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17
Ricerca
Chiediamo agli alunni dove si usa la parola
AREA nella vita quotidiana.
Es.:
AREA DI SOSTA
AREA A TRAFFICO LIMITATO
AREA 51
AREA riservata ai camper
AREA ARCHEOLOGICA
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Approfondiamo …
il concetto di perimetro
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19
Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati:
a) contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata
chiusa e semplice;
b) lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza;
c) misura della lunghezza del contorno di un poligono, pertanto è un numero
reale non negativo.
L’accezione con cui viene utilizzato la parola perimetro condiziona la
correttezza o meno di espressioni ad esso relative.
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20
Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati:
a) contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata
chiusa e semplice;
“un poligono di perimetro ABCD” presuppone il significato a), in quanto ABCD
è la denominazione della poligonale
b) lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza;
“il perimetro di un poligono è di 13cm” è coerente solo con l’accezione b),
dato che 13cm è una lunghezza;
c) misura della lunghezza del contorno di un poligono, pertanto è un numero
reale non negativo.
in centimetri, il perimetro di un poligono è 13” comporta l’assunzione
dell’accezione c), poiché il perimetro viene identificato con un numero,
ossia una misura.
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21
Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 55
NOSTRA SCELTA
Con il termine perimetro intendiamo la lunghezza del contorno di una
figura piana.
Il perimetro essendo una lunghezza è, quindi, una grandezza.
In base a ciò, non solo si parla di perimetro di un poligono, ma anche di
perimetro di un cerchio, inteso come la lunghezza della circonferenza che
delimita il cerchio, di perimetro di una figura piana delimitata da una linea
mista chiusa, …
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22
Un passo …indietro
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23
SOMMA DI DUE SEGMENTI
Supponiamo di voler effettuare la SOMMA DI DUE SEGMENTI, AB e CD
TRASPORTIAMO i due segmenti su una retta r in modo che risultino ADIACENTI.
Ricordiamo che si dicono ADIACENTI due SEGMENTI che hanno un estremo in
comune e che giacciono su una stessa retta. Avremo:
Il segmento AD è il segmneto SOMMA di AB e CD.
Pertanto possiamo scrivere:
AD=AB + CD
La lunghezza del segmento AD è uguale alla somma delle lunghezze del
segmento AB e CD.
Seguendo lo stesso procedimento possiamo addizionare tra loro 3 o più segmenti.
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24
Riflettiamo
Un segmento AB è cinque terzi del segmento CD. AB è lungo 24cm,
calcola la lunghezza del segmento CD.
5
AB CD
3
1
3
CD= 24cm
H
C
A
D
1
3
B
CH = CD : 3 = 24cm : 3 = 8cm
AB = CH x 5 = 8cm x 5 = 40 cm
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25
Emma Castelnuovo
• .... Il punto di partenza
dell’apprendimento deve essere il
problema, non la teoria bella e fatta,
e la prima soluzione deve essere
escogitata costruttivamente …
• Poi verrà, se verrà, la sistemazione
rigorosa, deduttiva, la teoria
compiuta.
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26
Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
Esempi
1) Per ciascuno dei seguenti poligoni, si dà agli alunni la consegna di disegnare sul
quaderno un segmento uguale al perimetro del poligono. Affinché il disegno sia
informativo sul confronto delle lunghezze, senza ricorrere alla loro misura, si pone il
vincolo che i segmenti siano incolonnati e con il primo estremo alla stessa distanza dal
margine. Accanto ad ogni segmento si segna la lettera del poligono a cui si riferisce.
d
c
a
e
b
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
Risulta:
a
b
c
d
e
… ha il perimetro
minore di quello di
…
Poligono a
Poligono b
Poligono c
Poligono d
Poligono e
Poligono a
Poligono b
Poligono c
Poligono d
Poligono e
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson pag. 170 e pg.176
Si sollecitano le riflessioni degli alunni con domande quali
1. Qual è il poligono con il perimetro maggiore? Quanti lati ha?
2. Qual è il poligono con il perimetro minore? Quanti lati ha?
3. Vi sono poligoni che hanno lo stesso numero di lati? Essi hanno
uguale perimetro?
4. Qual è la successione dei poligoni posti in ordine crescente di
perimetro?
Successivamente si fa quantificare, in lati quadretto, il perimetro di
ogni poligono e si rileva che i numeri che esprimono le misure sono
nella stessa relazione delle corrispondenti lunghezze.
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
2) Rispetto all’attività precedente è più problematica quella inversa, ossia il
passaggio, non univoco, dal segmento che rettifica una poligonale al poligono
che ha perimetro uguale alla lunghezza del segmento. Si può graduare il lavoro
segnando inizialmente sul segmento dato le lunghezze, quindi assegnando
anche il numero, dei lati del poligono. Per esempio:
a
b
c
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
Il lavoro sulla quadrettatura può essere considerato banale, ma in realtà se
opportunamente predisposto permette di tornare a riflettere sulla diversità di lunghezza
tra il lato quadretto e la diagonale quadretto. A tal fine può essere stimolante una
situazione problematica come quella proposte negli esempi seguenti.
Luca, Alì e Sara devono disegnare un poligono che ha il perimetro uguale alla lunghezza
del segmento:
Ai tre amici il lavoro sembra molto facile. Ecco come ognuno di loro ha risolto
il problema.
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
LUCA
SARA
ALÌ
Io ho visto che il segmento
è lungo 8 lati quadretto e
ho disegnato questo
poligono.
Anche io ho contato 8 lati
quadretto e ho disegnato
questo poligono.
Io ho disposto gli 8 lati
quadretto in modo da
formare questo poligono.
Chi ha risposto in modo corretto al problema? Perché?
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
2) Si fanno osservare poligoni disegnati su carta quadrettata, come i seguenti:
a
b
d
f
e
2pa = 10 ℓq e 2dq
2pb = 12 ℓq
2pd = 8 ℓq e 4dq
2pf = 8 ℓq e 4dq
2pe = 12 ℓq
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33
Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Ericksonda da pag. 170 a pag.176
NIENTE FORMULE!!!!!!
Non si ritiene opportuno parlare con gli alunni di “formule” per il calcolo del
perimetro, in quanto le cosiddette formule non sono altro che scritture
aritmetiche, formalizzazioni diverse della stessa operazione di somma delle misure
dei lati. Si considera didatticamente più formativo fare riflettere gli alunni proprio
sulla varietà di modi aritmetici per giungere alla misura del perimetro di un
poligono, tutti ugualmente corretti, e di lasciare a ciascun alunno la scelta della
strategia di calcolo da adottare.
Ogni alunno, infatti, posto di fronte alla richiesta di calcolare il perimetro di un
poligono, usa il procedimento che “vede” più facilmente.
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Il concetto di perimetro
da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176
NIENTE FORMULE!!!!!!
ESEMPIO
Calcolo la misura del perimetro in centimetri
usando tre espressioni diverse
3cm
5cm
a) 5 + 3 + 5 + 3 = 16
b) ( 5 x 2 ) + ( 3 x 2 ) = 16
c) ( 5 + 3 ) x 2 = 16
Il perimetro del rettangolo è di 16cm .
C’è un’espressione che vale per qualunque poligono?
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35
UN PERIMETRO … TANTE ESPRESSIONI
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 187)
Per ogni poligono segna con una crocetta l’espressione che corrisponde alla richiesta.
AB = 10cm
BC = 4cm
PQ = 5m
PQ = QR = RS
PS = 2,4m
La misura in centimetri del perimetro del
parallelogramma ABCD non si calcola con
10 + 4 + 10 + 4
(2 10) + (2 4)
2 (10 + 4)
10 + 4
La misura in metri del perimetro del
parallelogramma PQRS si può calcolare con
5 + 2,4
(2 5) + 2,4
(3 x 5) + 2,4
3 x (5 + 2,4)
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36
UN’ESPRESSIONE … TANTI PROBLEMI
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 188)
Valeria, Antonella, Michele e Riccardo sono impegnati nei compiti. Sembra tutto molto
semplice, perché i quattro amici non devono risolvere problemi, ma … inventarne.
Possono liberare la loro fantasia, ma devono solo rispettare la consegna:
“Per ogni espressione data scrivi il testo di un problema in cui viene richiesto il
perimetro di un poligono”.
Ecco cosa hanno scritto i bambini per l’espressione:
3 + 8 + 3 + 8.
VALERIA
MICHELE
Un rettangolo ha i lati lunghi
3cm e 8cm. Determina la
misura del perimetro del
rettangolo in centimetri.
Calcola la misura del
perimetro in centimetri di
un rombo che ha i lati
lunghi 3cm e 8cm.
Un romboide ha i lati
lunghi 3dm e 8dm.
Quanti decimetri
misura il suo
perimetro?
ANTONELLA
RICCARDO
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Quanto misura il
perimetro in metri
di un quadrilatero
che ha due lati
lunghi 3m e due lati
lunghi 8m?
37
Rettangoli isoperimetrici (perimetro di 20cm)
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38
Abbiamo poi collocato nel
piano cartesiano i
rettangoli facendo
coincidere un vertice con
l'origine e disponendo altri
due vertici sugli assi.
Abbiamo poi riconosciuto
che il quarto vertice è
quello le cui coordinate
sono le coppie additive di
10.
Il disegno rappresenta tutte
le possibili soluzioni,
comprese le soluzioni
"limite" del rettangolo con
base 0 e altezza 10, e
quella del rettangolo con
base 10 e altezza 0.
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39
Perimetro – area - volume di una figura: definizioni
(di Clara Colombo Bozzolo)
Perimetro- area- volume:
1. Sono un ente geometrico, cioè una linea, una superficie, un solido?sì
2. Sono una misura di tale ente geometrico, cioè un numero?
sì
3. Sono una grandezza
sì
no
no
no
Perimetro di una figura piana:
1. è il contorno della figura
2. è la misura del contorno
3. è la lunghezza del contorno
sì
sì
sì
no
no
no
Il termine “perimetro” vale solo per i poligoni?
Il cerchio ha un perimetro?
sì
sì
no
no
In un poligono il perimetro:
1. è la somma dei lati
2. è la somma delle misure dei lati
3. è la somma delle lunghezze dei lati
sì
sì
sì
no
no
no
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40
Perimetro – area - volume di una figura: definizioni.
Area di una figura piana:
1. è “lo spazio piano” occupato dalla figura
2. è la misura di tale parte di piano
3. è una grandezza relativa all’equiestensione
di figure piane
Volume di un solido:
1. è la parte di spazio occupato dal solido
2. è la misura di tale parte di spazio
3. è una grandezza relativa all’equiestensione
di figure solide
sì
sì
no
no
sì
no
sì
sì
no
no
sì
no
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41
Dal quadrato al trapezio (da Polymath novembre 2010)
Un quadrato di lato 2 unità viene piegato a metà e si ottiene così un triangolo
rettangolo isoscele. Successivamente il triangolo così ottenuto viene piegato
lungo la linea che taglia a metà i due cateti. Si chiede il perimetro del trapezio
ottenuto.
Soluzione
Dalla figura si deduce che il perimetro del trapezio è 2 + 3√2
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42
Determinazione della lunghezza di una circonferenza
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Nel caso di linee che non sono segmenti e non sono spezzate la definizione rigorosa
di lunghezza comporta il ricorso a processi infinitesimali, ossia l’approssimazione
della linea con spezzate che sono progressivamente più “prossime” alla linea e
hanno i vertici sulla linea o sono ad essa tangenti, come mostrano i seguenti disegni
La lunghezza della linea è il limite a cui tende la successione delle lunghezze delle
spezzate così costruite, quando tende ad infinito il numero dei lati delle spezzate.
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43
I concetti di lunghezza, area, volume
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Nella pratica la lunghezza di una linea con elementi curvi si determina o tramite
rettificazione, per esempio con cordicelle, oppure con il curvimetro, ruota graduata
in centimetri da fare scorrere sulla linea.
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44
Curvimetri
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45
Determinazione della lunghezza di una circonferenza
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 175 a pag. 176)
Tra le linee curve vi è il caso notevole della circonferenza, la cui lunghezza è il
perimetro del cerchio da essa delimitato. Per la circonferenza, tuttavia, è
possibile individuare un procedimento aritmetico che permette di calcolare la
misura della sua lunghezza, nota quella del diametro. Si deve, quindi, fare
scoprire agli alunni il legame tra la lunghezza della circonferenza e la lunghezza
del relativo diametro. A tal fine, alle esperienze sopra indicate si può aggiungere
la seguente:
si ritaglia da un cartoncino il cerchio considerato e lo si fa rotolare su una retta
disegnata, partendo da un punto A segnato su ambedue. Quando il punto A
segnato sulla circonferenza tocca di nuovo la retta ci si ferma e, sulla retta, si
segna il punto B. Evidentemente il segmento AB rappresenta la circonferenza
rettificata.
A
A
A
B
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46
Determinazione della lunghezza di una circonferenza
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 175 a pg. 176)
Si confronta, direttamente o indirettamente con medio termine o con il
compasso, la lunghezza del segmento AB con quella del diametro e si
nota che essa è poco maggiore di tre diametri.
Si ripete l'esperienza più volte e con cerchi di diverso diametro. Se si
utilizzano cerchi piuttosto “grandi” si suggerisce di ritagliare quattro
cordicelle o nastri lunghe come il diametro del cerchio in esame: si
accostano consecutivamente tre di esse al segmento che rettifica la
circonferenza e si vede che rimane “scoperto” un pezzetto di segmento.
Si divide la quarta cordicella in dieci parti uguali per lunghezza e con
queste parti si cerca di ricoprire ciò che rimane del segmento: un decimo
del diametro non basta, ma due decimi del diametro sono troppi.
Ciò significa che la lunghezza della circonferenza è più di 3,1 diametri
ma meno di 3,2 diametri.
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Determinazione della lunghezza di una circonferenza
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 175 a pag. 176)
Dopo che con la manipolazione e la misura si è collocato il rapporto tra la
lunghezza della circonferenza e quella del relativo diametro
nell’intervallo di estremi 3,1 e 3,2, l’insegnante introduce il numero
indicato con π che esprime esattamente il valore di tale rapporto, ma non
è utilizzabile concretamente perché è un numero decimale illimitato non
periodico, ossia un numero che ha infinite cifre decimali senza ripetizioni
regolari:
π = 3, 14159254 .... Un valore approssimato di tali numero era già noto
nell’antichità, sin dagli Egizi; un’approssimazione comoda era quella data
dal numero razionale assoluto 22/7 che in forma decimale è il numero
periodico 3,142857
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Determinazione della lunghezza di una circonferenza
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 175 a pag. 176)
Si fa notare agli alunni che per eseguire conti con è inevitabile assumerne un
valore approssimato; in genere, si arrotonda ai centesimi, per cui a si
sostituisce il valore 3,14.
Se d è la lunghezza del diametro e C quella della circonferenza, si farà scrivere:
C = π d = 3,14... d 3,14 d
È opportuno non dare la formula inversa, ma farla ricavare da quella diretta
scrivendo la formula con l’uso dell’operatore “ 3,14”:
x 3,14
d
C
: 3,14
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