LA GEOMETRIA
“PROTAGONISTA” NELLA
SCUOLA
La misura in geometria
2° incontro: 14 marzo2017
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis
febbraio aprile 2017
1
Quali unità di misura?
Sistema Internazionale di Unità (SI)
(XI Conferenza Generale di Pesi e Misure – 1960)
Legge dello Stato Italiano:
Legge n. 122 del 14.04.1978
D.P.R. n. 802 del 12.08.1982
Precisa:
grandezze, unità di misura e
simboli ammessi
multipli e sottomultipli
regole di scrittura
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2
SI: grandezze, unità di misura e simboli
Grandezze fondamentali: 7 grandezze indipendenti l’una
dall’altra
GRANDEZZA
UNITÀ MISURA SIMBOLO
lunghezza
metro
m
massa
chilogrammo
kg
intervalli di tempo
secondo
s
temperatura
kelvin
K
intensità corrente
ampere
A
intensità luminosa
candela intern.
cd
quantità di sostanza
mole
mol
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3
Le sette unita fondamentali sono:
•metro(m), è la lunghezza del tragitto percorso dalla luce nel vuoto in un intervallo di
1/299 792 458 di secondo;
•secondo(s), è la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione corrispondente alla
transizione fra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di Cesio 133;
•Chilogrammo o kilogrammo(kg), è l’unita di massa; esso e pari alla massa del
prototipo internazionale del kilogrammo≫ prototipo realizzato in platino iridio nel 1889 e
conservato a Sevres;
•ampere(A), è l’intensità di una corrente elettrica costante che, mantenuta in due
conduttori paralleli rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, posti
alla distanza di un metro l’uno dall’altro nel vuoto, produrrebbe fra questi conduttori una
forza uguale a 2 x 10-7 newton su ogni metro di lunghezza;
•kelvin(K), unità di temperatura termodinamica, è la frazione 1/273,16 della
temperatura termodinamica del punto triplo dell’acqua;
•mole(mol), è la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementari
quanti sono gli atomi in 0,012 kg di Carbonio 12. Quando si usa la mole, le entità
elementari devono essere specificate; esse possono essere atomi, molecole, ioni,
elettroni, altre particelle, oppure raggruppamenti specificati di tali particelle;
•candela(cd), è l’intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente che emette
una radiazione monocromatica di frequenza 540×1012 hertz e la cui intensità energetica
in tale direzione è 1/683 watt allo steradiante.
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4
Grandezze derivate: tutte le grandezze non fondamentali
sono definite a partire dalle grandezze fondamentali
oppure da altre non fondamentali già definite
Esempi
- La velocità è il rapporto tra la variazione dello spazio
percorso (lunghezza) e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta
tale variazione.
- L’accelerazione è il rapporto tra la variazione della velocità e
l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione.
le loro unità di misura sono derivate da quelle delle
corrispondenti grandezze fondamentali
Esempi
- Per la velocità: 1 m/s
- Per l’accelerazione: 1 m/s2
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5
Unità tollerate: per alcune grandezze del SI sono ammesse a
tempo indeterminato unità di misura diverse da quelle
convenzionali
GRANDEZZA
UNITÀ MISURA SIMBOLO
volume
litro
L, l, ℓ
massa
tonnellata
t
area
ara
a
1 a = 10 dam2
1 ha = 102 a = 10 hm2
Unità di misura
di volume
1m3
Unità di misura
di capacità
1kl
1dm3
1hl
1dal
1l
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1cm3
1dl
1cl
1ml
6
SI: multipli e sottomultipli di un’unità di misura
vengono
precisati i valori
dei multipli e dei
sottomultipli
ammessi, il loro
nome, da
premettere a
quello dell’unità, e
il loro simbolo, da
premettere a
quello dell’unità
FATTORE
NOME
SIMBOLO
1018
exa
E
1015
peta
P
1012
tera
T
L
109
giga
G
T
106
mega
M
103
kilo
k
I
102
etto
h
101
deca
da
1
unità
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M
U
P
L
I
7
FATTORE
NOME
SIMBOLO
1
unità
101
deci
d
102
centi
c
103
milli
m
106
micro
109
nano
n
1012
pico
p
1015
femto
f
1018
atto
a
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S
O
T
T
O
M
U
L
T
I
P
L
I
8
Multipli e sottomultipli tollerati: sono consentiti per alcune
unità di misura multipli e sottomultipli non del tutto decimali, ma
sessagesimali
GRANDEZZA
UNITÀ
SOTTOMULTIPLI
Ampiezza
angolo grado
(1°)
primo (1’)= 1/60 (di grado)
secondo (1”)= 1/60 (di
primo)
Intervalli di
tempo
secondo
(1s)
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MULTIPLI
minuto (1 min)= 60 s
ora (1h)= 60 min
9
SI: alcune regole di scrittura
Alcuni metri
Alcuni m
Giusto!
Sbagliato!
Se l’unità di misura non è riferita ad
un valore numerico scritto in cifre,
allora l’unità va scritta per esteso
L’unità di misura segue il valore
numerico cui si riferisce, tranne nel
caso dei simboli monetari
7 kg.
3h 15min
9 sec
2 mt.
Sbagliato!
s 12
5€
Sbagliato!
7 kg
3h 15min
9s
2m
12 s
€5
Giusto!
I simboli delle unità di misura non
vanno puntati (sono simboli non
abbreviazioni), vanno scritti in riga
con il valore, non ammettono altra
Giusto!
scrittura
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Mathesis da quella indicata nel SI.
10
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Se si sbagliano le unità di misura...
Metri invece delle yard Cosi' la sonda "Orbiter" si disintegrò su Marte
Incredibile gaffe della Nasa Metri invece delle yard. Così la sonda "Orbiter" si
disintegrò su Marte; è stato un disguido, un banale errore nelle unità di
misura la causa della perdita del "Mars Climate Orbiter",… Una fonte della
Nasa ha affermato che due squadre di tecnici di Pasadena (California) non
avevano unificato i sistemi di misura: una usava quello metrico, l'altra quello
inglese.
In sostanza: un gruppo di tecnici immetteva nei computer dati in metri, l'altro
in yard (pari a 91,5 cm); uno utilizzava i grammi, l'altro le once (pari a circa 30
grammi). Questa babele ha causato quel "rilevante errore di navigazione" che
ha portato l'Orbiter troppo vicino alla superficie di Marte, dove si e'
disintegrato …
Pagina 17
(2 ottobre 1999) - Corriere della Sera
http://archiviostorico.corriere.it/1999/ottobre/02/Metri_invece_delle_yar
d_Cosi_co_0_9910022961.shtml
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Equazioni dimensionali
• Ad ogni grandezza misurata si associa una dimensione, che è indipendente
dall’unità di misura con la quale viene espressa
• Ciascuna grandezza fisica può essere espressa mediante un’equazione
dimensionale
• Esempi:
• la velocità v ha equazione dimensionale [v] = [L][T-1] (v=s/t)
• l’area A ha equazione dimensionale [A] = [L2]
• il volume V ha equazione dimensionale [V] = [L3]
• Grandezze omogenee hanno le stesse dimensioni
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12
Equazioni dimensionali
• Il calcolo dimensionale è piuttosto complesso; non è banale neppure il
calcolo con le grandezze, ossia con le unità di misura, in quanto si opera su
tali unità con le regole del calcolo letterale.
Nell’Enciclopedia delle Matematiche elementari, vol.II parte I p. 132 si
leggono le seguenti parole di Peano: «è lecito operare sulle grandezze,
purché le “marche” con le quali si indicano le singole unità di misura
accompagnino (a guisa di fattori) il procedimento algoritmico,
assoggettate alle leggi stesse del calcolo letterale; il che, se nella
maggior parte dei casi già si usa dai pratici, può ricevere una
sistemazione formalmente ineccepibile».
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13
Esempi di esercizi classici nelle proposte didattiche
1) Le mele, oggi, costano €1,60 al chilogrammo. Se ne
compero 8kg quanto spendo?
Lo svolgimento con l’uso corretto delle “marche” è
€
€
1,6 x8kg (1,6x8) xkg 12,8€
kg
kg
Qualsiasi altra scrittura non è corretta dal punto di vista
dimensionale.
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14
Esempi di esercizi classici nelle proposte didattiche
2) Nel caso che il problema richieda l'operazione di divisione le cose si
complicano ulteriormente. Il precedente problema proposto nelle due possibili
formulazioni inverse porta a scrivere
€
kg
a)12,8€ : 1,6
(12,8 : 1,6)€ x
8kg
kg
€
€
€
b)12,8€ : 8kg (12,8 : 8)
1,6
kg
kg
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Come procedere … in modo corretto
Nei tre casi sopra considerati si potrebbe scrivere:
1)Calcolo la spesa in euro:
1,6 x 8 = 12,8
2)Calcolo la quantità di mele, in chilogrammi, che posso
comperare:
12,8 : 1,6 = 8
3)Calcolo il costo, in euro, di un chilogrammo di mele:
12,6 : 8 = 1,6
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OBIETTIVO
COSTRUZIONE DEL CONCETTO DI AMPIEZZA ANGOLARE
CONTENUTI
1. Congruenza * e confronto di angoli :
concetto di ampiezza
2. Classificazione e denominazione di angoli
3. Misura di ampiezze angolari
* Assumiamo la congruenza di angoli (coincidenza di vertici
e di lati) come nozione primitiva da verificare, a questo
livello, con il trasporto rigido di modelli.
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L’ampiezza angolare
(da Nel mondo della Geometria vol.2 a cura di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa – Erikson)
Per potere confrontare angoli è indispensabile che gli alunni abbiano ben
compreso che l’ampiezza di un angolo è indipendente dalla lunghezza dei
suoi lati.
Un’attività che nell’esperienza delle insegnanti del Nucleo si è mostrata
particolarmente significativa in proposito è quella denominata “L’intruso”.
Per tale attività si devono predisporre per ogni bambino quattro cerchi, in
cartoncino, di raggio diverso e di colore diverso (per esempio, uno rosso, uno
verde, uno blu e uno giallo). Ciascun cerchio è da dividere in quattro settori
circolari: due con l’angolo retto (nelle figure, quelli contraddistinti dai numeri
1 e 3), uno con l’angolo acuto (quelli contraddistinti dal numero 4), uno con
l’angolo ottuso (contraddistinto dal numero 2).
Nel disegno sono raffigurati quattro possibili cerchi distinti per la trama dello
sfondo.
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19
I fase
L’insegnante chiede, poi, ai bambini di
- ricomporre l’angolo giro usando i settori dello stesso colore;
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- ricomporre l’angolo giro utilizzando per ogni cerchio tre settori di uno stesso colore e
uno di colore diverso, in modo che questo possa inserirsi senza sovrapporsi agli altri e
senza lasciare spazi vuoti; tale settore è “l’intruso”;
- controllare il numero che contrassegna l’intruso e il numero del pezzo che è stato
sostituito, quindi sovrapporre i due pezzi facendo combaciare il vertice e i lati.
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Le conclusioni alle quali si devono guidare i bambini sono:
•gli intrusi “si comportano bene”, non spingono e non lasciano
spazio vuoto perché hanno la stessa ampiezza dei pezzi che
vanno a sostituire;
•il pezzo contrassegnato dal numero 1 può essere sostituito da
pezzi di diverso colore contrassegnati dallo stesso numero
oppure dal numero 3, in quanto i pezzi con il numero 1 e con il
numero 3 hanno la stessa ampiezza angolare, in particolare
sono angoli retti.
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Con geogebra
• Costuire un angolo scegliendo: angolo di data misura(es. 60°)
• Disegnare con il comando segmenti i segmenti AB e A’B
• Con il comando muovi i punti in modo da variare la lunghezza
dei lati dell’angolo e osservare l’ampiezza angolare
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(da Nel mondo della Geometria vol.2 a cura di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa – Erikson)
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Relazioni tra angoli
confronto diretto
confronto indiretto
Per confrontabilità si intende la possibilità di stabilire se due
grandezze sono uguali oppure no e, nel caso non lo siano, quale
è maggiore dell’altra.
Nel caso degli angoli il confronto delle ampiezze avviene tramite
il trasporto rigido, nozione tradotta operativamente con l’uso di
modelli su carta o cartoncino e di strumenti come carta
trasparente e compasso.
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La fase successiva nel percorso finalizzato all’introduzione della misura
dell’ampiezza di un angolo è quella del confronto indiretto con un medio
termine.
Terza fase è quella del confronto indiretto tramite uno strumento che consenta
di stabilire l’uguaglianza o la disuguaglianza tra le ampiezze di due angoli, non
di misurare tali ampiezze.
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27
Utilizzo del cosiddetto “confrontatore”
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28
Dati due angoli a confrontare rispetto alle
loro ampiezze, si procede nel modo seguente:
•si pone il punto V sul vertice di un angolo e
la freccia f1 su uno dei suoi lati
•si sposta la freccia f2 fino a fare sovrapporre
il segmento tracciato su di essa sul secondo
lato dell’angolo
•si trasporta rigidamente il confrontatore,
senza alterare la posizione della freccia
mobile, sull’altro angolo, in modo che V
coincida con il suo vertice e la freccia f1 con
uno dei due lati
•osservando la posizione del segmento
tracciato su f2 rispetto al secondo lato
dell’angolo si stabilisce la relazione tra le
ampiezze dei due angoli dati.
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La misura dell’ampiezza angolare
rispetto ad unità di misura arbitrarie
Assumendo l'angolo retto come unità di misura si ha che l'angolo piatto è
ampio 2 angoli retti e l'angolo giro 4.
Assumendo l'acutone come
unità di misura si ha che
l'angolo retto è ampio 4
acutoni, l'angolo piatto 8 e
l'angolo giro 16.
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Per rendere sempre più precisa
la misura dell’ampiezza degli
angoli, si può preparare un
goniometro con l'angolo "unità di
misura" meno ampio
dell'acutone, detto,
arbitrariamente, acutino.
Nel goniometro presentato nella
figura seguente è stato scelto
come acutino l’angolo pari a 1/9
dell’angolo retto, ossia a 1/36
dell'angolo giro, al fine di
facilitare l'introduzione
successiva dell’angolo grado
come la decima parte di questo
angolo.
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31
Unità di misura convenzionali
L’osservazione dei goniometri in commercio porta ad introdurre l’unità di
misura convenzionale dell’ampiezza degli angoli: è l’ampiezza dell’angolo
ottenuto suddividendo in 90 parti congruenti l’angolo retto, quindi in 360
parti congruenti l’angolo giro.
Questo angolo è detto angolo grado e la sua ampiezza è indicata con 1°.
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(da Nel mondo della
Geometria vol.2 a cura di
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(da Nel mondo della Geometria vol.2 a cura di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa – Erikson)
I LAVORI DELL’IDRAULICO LUCIO
L’idraulico Lucio deve installare degli irrigatori per l’irrigazione automatica a
pioggia del giardino del condominio del Sole.
Lucio ha deciso di collocare gli irrigatori in corrispondenza dei punti A e B che
vedi indicati nello schema sotto riportato.
Per conoscere l’ampiezza della rotazione che ciascun irrigatore deve compiere,
Lucio deve misurare l’ampiezza degli angoli con il vertice in A e in B.
Aiutalo tu servendoti del goniometro e registra la misura rilevata
l’angolo con vertice in A è ampio..................................................................
l’angolo con vertice in B è ampio.................................................................
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36
I LAVORI DELL’IDRAULICO LUCIO
Gli abitanti del condominio La Luna, confinante con quello del Sole, chiedono a
Lucio di provvedere anche all’impianto di irrigazione dell’aiuola posta davanti
all’ingresso principale.
Ecco lo schema dell’aiuola.
Lucio ha pensato di collocare un unico irrigatore nel punto H.
Quanto è ampio l’angolo con vertice in H? ……………….
Evidenzialo a tuo piacere e, se lo ritieni necessario, misurane l’ampiezza con il goniometro.
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37
LE PIASTRELLE DI DONNA CAMILLA
Nella cucina di Donna Camilla è stata inserita una cornicetta fatta di piastrelle
rettangolari, tutte uguali tra loro e formate da quattro tessere colorate.
Quanto misurerà l’angolo della tessera che va collocata a chiudere la piastrella che
il piastrellista vuol formare?
Usa il goniometro ed esprimi l’ampiezza dell’angolo in angoli gradi.
Ora completa la cornicetta disegnando tu le tessere della seconda e della terza
piastrella.
Parti dal punto O segnato ed utilizza la strategia che ritieni più opportuna.
□ Confronta il tuo lavoro con quello di un compagno.
Contrassegna con una lettera gli angoli della prima piastrella che hanno vertice
in O ed esprimi la loro ampiezza in angoli grado.
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38
A CACCIA DELLA RISPOSTA CORRETTA
Emma, Chiara, Linda e Pina stanno giocando.
Emma fa la maestra ed ha chiesto alle sue
allieve di misurare l’ampiezza degli angoli
sotto riportati.
Come puoi vedere, non sempre le ampiezze di ciascun angolo sono uguali.
Verifica qual è l’ampiezza corretta di ogni angolo ed evidenziala con un colore.
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39
UN VENTAGLIO DI ANGOLI
Nel disegno è raffigurato un ventaglio formato da cinque strati di pizzo, di diversa ampiezza e
lunghezza. Ogni strato è stato contrassegnato con una lettera.
Con il goniometro determina l’ampiezza dell’apertura di ogni strato di pizzo.
A: …………B: ……………C: …………D: ……………E: ………………
- Scrivi le lettere corrispondenti agli strati del ventaglio la cui apertura è rappresentata da un angolo acuto.
………………………………………………………………………………..
- Scrivi le lettere corrispondenti agli strati del ventaglio la cui apertura è rappresentata da un angolo retto.
………………………………………………………………………………..
- Scrivi le lettere corrispondenti agli strati del ventaglio la cui apertura è rappresentata da un angolo ottuso.
………………………………………………………………………………..
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Sistema centesimale
Angoli notevoli:
Unità di misura:
grado centesimale 1g
- angolo giro: è ampio 400g
è l’ampiezza della 400a
parte dell’angolo giro
- angolo piatto: è ampio 200g
- angolo retto: è ampio 100g
Sistema in radianti
Unità di misura:
radiante 1rad
Angoli notevoli:
- angolo giro: è ampio 2π
- angolo piatto: è ampio π
è l’ampiezza dell’angolo che
posto al centro di una
- angolo retto: è ampio π/2
circonferenza individua un
arco lungo come il raggio
La definizione di un angolo non può essere legata
della circonferenza
Patrizia Dova -alla
Marinella
Del Torchio
Mathesis
misura
dell’ampiezza
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dell’angolo stesso
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