angolo - Istituto Comprensivo G. Leva di Travedona Monate
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LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA La misura in geometria 2° incontro: 14 marzo2017 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 1 Quali unità di misura? Sistema Internazionale di Unità (SI) (XI Conferenza Generale di Pesi e Misure – 1960) Legge dello Stato Italiano: Legge n. 122 del 14.04.1978 D.P.R. n. 802 del 12.08.1982 Precisa: grandezze, unità di misura e simboli ammessi multipli e sottomultipli regole di scrittura Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 2 SI: grandezze, unità di misura e simboli Grandezze fondamentali: 7 grandezze indipendenti l’una dall’altra GRANDEZZA UNITÀ MISURA SIMBOLO lunghezza metro m massa chilogrammo kg intervalli di tempo secondo s temperatura kelvin K intensità corrente ampere A intensità luminosa candela intern. cd quantità di sostanza mole mol Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 3 Le sette unita fondamentali sono: •metro(m), è la lunghezza del tragitto percorso dalla luce nel vuoto in un intervallo di 1/299 792 458 di secondo; •secondo(s), è la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione fra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di Cesio 133; •Chilogrammo o kilogrammo(kg), è l’unita di massa; esso e pari alla massa del prototipo internazionale del kilogrammo≫ prototipo realizzato in platino iridio nel 1889 e conservato a Sevres; •ampere(A), è l’intensità di una corrente elettrica costante che, mantenuta in due conduttori paralleli rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, posti alla distanza di un metro l’uno dall’altro nel vuoto, produrrebbe fra questi conduttori una forza uguale a 2 x 10-7 newton su ogni metro di lunghezza; •kelvin(K), unità di temperatura termodinamica, è la frazione 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell’acqua; •mole(mol), è la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi in 0,012 kg di Carbonio 12. Quando si usa la mole, le entità elementari devono essere specificate; esse possono essere atomi, molecole, ioni, elettroni, altre particelle, oppure raggruppamenti specificati di tali particelle; •candela(cd), è l’intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza 540×1012 hertz e la cui intensità energetica in tale direzione è 1/683 watt allo steradiante. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 4 Grandezze derivate: tutte le grandezze non fondamentali sono definite a partire dalle grandezze fondamentali oppure da altre non fondamentali già definite Esempi - La velocità è il rapporto tra la variazione dello spazio percorso (lunghezza) e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione. - L’accelerazione è il rapporto tra la variazione della velocità e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione. le loro unità di misura sono derivate da quelle delle corrispondenti grandezze fondamentali Esempi - Per la velocità: 1 m/s - Per l’accelerazione: 1 m/s2 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 5 Unità tollerate: per alcune grandezze del SI sono ammesse a tempo indeterminato unità di misura diverse da quelle convenzionali GRANDEZZA UNITÀ MISURA SIMBOLO volume litro L, l, ℓ massa tonnellata t area ara a 1 a = 10 dam2 1 ha = 102 a = 10 hm2 Unità di misura di volume 1m3 Unità di misura di capacità 1kl 1dm3 1hl 1dal 1l Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 1cm3 1dl 1cl 1ml 6 SI: multipli e sottomultipli di un’unità di misura vengono precisati i valori dei multipli e dei sottomultipli ammessi, il loro nome, da premettere a quello dell’unità, e il loro simbolo, da premettere a quello dell’unità FATTORE NOME SIMBOLO 1018 exa E 1015 peta P 1012 tera T L 109 giga G T 106 mega M 103 kilo k I 102 etto h 101 deca da 1 unità Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 M U P L I 7 FATTORE NOME SIMBOLO 1 unità 101 deci d 102 centi c 103 milli m 106 micro 109 nano n 1012 pico p 1015 femto f 1018 atto a Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 S O T T O M U L T I P L I 8 Multipli e sottomultipli tollerati: sono consentiti per alcune unità di misura multipli e sottomultipli non del tutto decimali, ma sessagesimali GRANDEZZA UNITÀ SOTTOMULTIPLI Ampiezza angolo grado (1°) primo (1’)= 1/60 (di grado) secondo (1”)= 1/60 (di primo) Intervalli di tempo secondo (1s) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 MULTIPLI minuto (1 min)= 60 s ora (1h)= 60 min 9 SI: alcune regole di scrittura Alcuni metri Alcuni m Giusto! Sbagliato! Se l’unità di misura non è riferita ad un valore numerico scritto in cifre, allora l’unità va scritta per esteso L’unità di misura segue il valore numerico cui si riferisce, tranne nel caso dei simboli monetari 7 kg. 3h 15min 9 sec 2 mt. Sbagliato! s 12 5€ Sbagliato! 7 kg 3h 15min 9s 2m 12 s €5 Giusto! I simboli delle unità di misura non vanno puntati (sono simboli non abbreviazioni), vanno scritti in riga con il valore, non ammettono altra Giusto! scrittura Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis da quella indicata nel SI. 10 febbraio aprile 2017 Se si sbagliano le unità di misura... Metri invece delle yard Cosi' la sonda "Orbiter" si disintegrò su Marte Incredibile gaffe della Nasa Metri invece delle yard. Così la sonda "Orbiter" si disintegrò su Marte; è stato un disguido, un banale errore nelle unità di misura la causa della perdita del "Mars Climate Orbiter",… Una fonte della Nasa ha affermato che due squadre di tecnici di Pasadena (California) non avevano unificato i sistemi di misura: una usava quello metrico, l'altra quello inglese. In sostanza: un gruppo di tecnici immetteva nei computer dati in metri, l'altro in yard (pari a 91,5 cm); uno utilizzava i grammi, l'altro le once (pari a circa 30 grammi). Questa babele ha causato quel "rilevante errore di navigazione" che ha portato l'Orbiter troppo vicino alla superficie di Marte, dove si e' disintegrato … Pagina 17 (2 ottobre 1999) - Corriere della Sera http://archiviostorico.corriere.it/1999/ottobre/02/Metri_invece_delle_yar d_Cosi_co_0_9910022961.shtml Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 11 Equazioni dimensionali • Ad ogni grandezza misurata si associa una dimensione, che è indipendente dall’unità di misura con la quale viene espressa • Ciascuna grandezza fisica può essere espressa mediante un’equazione dimensionale • Esempi: • la velocità v ha equazione dimensionale [v] = [L][T-1] (v=s/t) • l’area A ha equazione dimensionale [A] = [L2] • il volume V ha equazione dimensionale [V] = [L3] • Grandezze omogenee hanno le stesse dimensioni Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 12 Equazioni dimensionali • Il calcolo dimensionale è piuttosto complesso; non è banale neppure il calcolo con le grandezze, ossia con le unità di misura, in quanto si opera su tali unità con le regole del calcolo letterale. Nell’Enciclopedia delle Matematiche elementari, vol.II parte I p. 132 si leggono le seguenti parole di Peano: «è lecito operare sulle grandezze, purché le “marche” con le quali si indicano le singole unità di misura accompagnino (a guisa di fattori) il procedimento algoritmico, assoggettate alle leggi stesse del calcolo letterale; il che, se nella maggior parte dei casi già si usa dai pratici, può ricevere una sistemazione formalmente ineccepibile». Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 13 Esempi di esercizi classici nelle proposte didattiche 1) Le mele, oggi, costano €1,60 al chilogrammo. Se ne compero 8kg quanto spendo? Lo svolgimento con l’uso corretto delle “marche” è € € 1,6 x8kg (1,6x8) xkg 12,8€ kg kg Qualsiasi altra scrittura non è corretta dal punto di vista dimensionale. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 14 Esempi di esercizi classici nelle proposte didattiche 2) Nel caso che il problema richieda l'operazione di divisione le cose si complicano ulteriormente. Il precedente problema proposto nelle due possibili formulazioni inverse porta a scrivere € kg a)12,8€ : 1,6 (12,8 : 1,6)€ x 8kg kg € € € b)12,8€ : 8kg (12,8 : 8) 1,6 kg kg Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 15 Come procedere … in modo corretto Nei tre casi sopra considerati si potrebbe scrivere: 1)Calcolo la spesa in euro: 1,6 x 8 = 12,8 2)Calcolo la quantità di mele, in chilogrammi, che posso comperare: 12,8 : 1,6 = 8 3)Calcolo il costo, in euro, di un chilogrammo di mele: 12,6 : 8 = 1,6 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 16 OBIETTIVO COSTRUZIONE DEL CONCETTO DI AMPIEZZA ANGOLARE CONTENUTI 1. Congruenza * e confronto di angoli : concetto di ampiezza 2. Classificazione e denominazione di angoli 3. Misura di ampiezze angolari * Assumiamo la congruenza di angoli (coincidenza di vertici e di lati) come nozione primitiva da verificare, a questo livello, con il trasporto rigido di modelli. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 17 L’ampiezza angolare (da Nel mondo della Geometria vol.2 a cura di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa – Erikson) Per potere confrontare angoli è indispensabile che gli alunni abbiano ben compreso che l’ampiezza di un angolo è indipendente dalla lunghezza dei suoi lati. Un’attività che nell’esperienza delle insegnanti del Nucleo si è mostrata particolarmente significativa in proposito è quella denominata “L’intruso”. Per tale attività si devono predisporre per ogni bambino quattro cerchi, in cartoncino, di raggio diverso e di colore diverso (per esempio, uno rosso, uno verde, uno blu e uno giallo). Ciascun cerchio è da dividere in quattro settori circolari: due con l’angolo retto (nelle figure, quelli contraddistinti dai numeri 1 e 3), uno con l’angolo acuto (quelli contraddistinti dal numero 4), uno con l’angolo ottuso (contraddistinto dal numero 2). Nel disegno sono raffigurati quattro possibili cerchi distinti per la trama dello sfondo. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 18 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 19 I fase L’insegnante chiede, poi, ai bambini di - ricomporre l’angolo giro usando i settori dello stesso colore; Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 20 - ricomporre l’angolo giro utilizzando per ogni cerchio tre settori di uno stesso colore e uno di colore diverso, in modo che questo possa inserirsi senza sovrapporsi agli altri e senza lasciare spazi vuoti; tale settore è “l’intruso”; - controllare il numero che contrassegna l’intruso e il numero del pezzo che è stato sostituito, quindi sovrapporre i due pezzi facendo combaciare il vertice e i lati. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 21 Le conclusioni alle quali si devono guidare i bambini sono: •gli intrusi “si comportano bene”, non spingono e non lasciano spazio vuoto perché hanno la stessa ampiezza dei pezzi che vanno a sostituire; •il pezzo contrassegnato dal numero 1 può essere sostituito da pezzi di diverso colore contrassegnati dallo stesso numero oppure dal numero 3, in quanto i pezzi con il numero 1 e con il numero 3 hanno la stessa ampiezza angolare, in particolare sono angoli retti. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 22 Con geogebra • Costuire un angolo scegliendo: angolo di data misura(es. 60°) • Disegnare con il comando segmenti i segmenti AB e A’B • Con il comando muovi i punti in modo da variare la lunghezza dei lati dell’angolo e osservare l’ampiezza angolare Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 23 (da Nel mondo della Geometria vol.2 a cura di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa – Erikson) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 24 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 25 Relazioni tra angoli confronto diretto confronto indiretto Per confrontabilità si intende la possibilità di stabilire se due grandezze sono uguali oppure no e, nel caso non lo siano, quale è maggiore dell’altra. Nel caso degli angoli il confronto delle ampiezze avviene tramite il trasporto rigido, nozione tradotta operativamente con l’uso di modelli su carta o cartoncino e di strumenti come carta trasparente e compasso. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 26 La fase successiva nel percorso finalizzato all’introduzione della misura dell’ampiezza di un angolo è quella del confronto indiretto con un medio termine. Terza fase è quella del confronto indiretto tramite uno strumento che consenta di stabilire l’uguaglianza o la disuguaglianza tra le ampiezze di due angoli, non di misurare tali ampiezze. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 27 Utilizzo del cosiddetto “confrontatore” Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 28 Dati due angoli a confrontare rispetto alle loro ampiezze, si procede nel modo seguente: •si pone il punto V sul vertice di un angolo e la freccia f1 su uno dei suoi lati •si sposta la freccia f2 fino a fare sovrapporre il segmento tracciato su di essa sul secondo lato dell’angolo •si trasporta rigidamente il confrontatore, senza alterare la posizione della freccia mobile, sull’altro angolo, in modo che V coincida con il suo vertice e la freccia f1 con uno dei due lati •osservando la posizione del segmento tracciato su f2 rispetto al secondo lato dell’angolo si stabilisce la relazione tra le ampiezze dei due angoli dati. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 29 La misura dell’ampiezza angolare rispetto ad unità di misura arbitrarie Assumendo l'angolo retto come unità di misura si ha che l'angolo piatto è ampio 2 angoli retti e l'angolo giro 4. Assumendo l'acutone come unità di misura si ha che l'angolo retto è ampio 4 acutoni, l'angolo piatto 8 e l'angolo giro 16. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 30 Per rendere sempre più precisa la misura dell’ampiezza degli angoli, si può preparare un goniometro con l'angolo "unità di misura" meno ampio dell'acutone, detto, arbitrariamente, acutino. Nel goniometro presentato nella figura seguente è stato scelto come acutino l’angolo pari a 1/9 dell’angolo retto, ossia a 1/36 dell'angolo giro, al fine di facilitare l'introduzione successiva dell’angolo grado come la decima parte di questo angolo. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 31 Unità di misura convenzionali L’osservazione dei goniometri in commercio porta ad introdurre l’unità di misura convenzionale dell’ampiezza degli angoli: è l’ampiezza dell’angolo ottenuto suddividendo in 90 parti congruenti l’angolo retto, quindi in 360 parti congruenti l’angolo giro. Questo angolo è detto angolo grado e la sua ampiezza è indicata con 1°. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 32 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 33 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 34 (da Nel mondo della Geometria vol.2 a cura di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa – Erikson) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 35 (da Nel mondo della Geometria vol.2 a cura di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa – Erikson) I LAVORI DELL’IDRAULICO LUCIO L’idraulico Lucio deve installare degli irrigatori per l’irrigazione automatica a pioggia del giardino del condominio del Sole. Lucio ha deciso di collocare gli irrigatori in corrispondenza dei punti A e B che vedi indicati nello schema sotto riportato. Per conoscere l’ampiezza della rotazione che ciascun irrigatore deve compiere, Lucio deve misurare l’ampiezza degli angoli con il vertice in A e in B. Aiutalo tu servendoti del goniometro e registra la misura rilevata l’angolo con vertice in A è ampio.................................................................. l’angolo con vertice in B è ampio................................................................. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 36 I LAVORI DELL’IDRAULICO LUCIO Gli abitanti del condominio La Luna, confinante con quello del Sole, chiedono a Lucio di provvedere anche all’impianto di irrigazione dell’aiuola posta davanti all’ingresso principale. Ecco lo schema dell’aiuola. Lucio ha pensato di collocare un unico irrigatore nel punto H. Quanto è ampio l’angolo con vertice in H? ………………. Evidenzialo a tuo piacere e, se lo ritieni necessario, misurane l’ampiezza con il goniometro. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 37 LE PIASTRELLE DI DONNA CAMILLA Nella cucina di Donna Camilla è stata inserita una cornicetta fatta di piastrelle rettangolari, tutte uguali tra loro e formate da quattro tessere colorate. Quanto misurerà l’angolo della tessera che va collocata a chiudere la piastrella che il piastrellista vuol formare? Usa il goniometro ed esprimi l’ampiezza dell’angolo in angoli gradi. Ora completa la cornicetta disegnando tu le tessere della seconda e della terza piastrella. Parti dal punto O segnato ed utilizza la strategia che ritieni più opportuna. □ Confronta il tuo lavoro con quello di un compagno. Contrassegna con una lettera gli angoli della prima piastrella che hanno vertice in O ed esprimi la loro ampiezza in angoli grado. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 38 A CACCIA DELLA RISPOSTA CORRETTA Emma, Chiara, Linda e Pina stanno giocando. Emma fa la maestra ed ha chiesto alle sue allieve di misurare l’ampiezza degli angoli sotto riportati. Come puoi vedere, non sempre le ampiezze di ciascun angolo sono uguali. Verifica qual è l’ampiezza corretta di ogni angolo ed evidenziala con un colore. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 39 UN VENTAGLIO DI ANGOLI Nel disegno è raffigurato un ventaglio formato da cinque strati di pizzo, di diversa ampiezza e lunghezza. Ogni strato è stato contrassegnato con una lettera. Con il goniometro determina l’ampiezza dell’apertura di ogni strato di pizzo. A: …………B: ……………C: …………D: ……………E: ……………… - Scrivi le lettere corrispondenti agli strati del ventaglio la cui apertura è rappresentata da un angolo acuto. ……………………………………………………………………………….. - Scrivi le lettere corrispondenti agli strati del ventaglio la cui apertura è rappresentata da un angolo retto. ……………………………………………………………………………….. - Scrivi le lettere corrispondenti agli strati del ventaglio la cui apertura è rappresentata da un angolo ottuso. ……………………………………………………………………………….. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 40 Sistema centesimale Angoli notevoli: Unità di misura: grado centesimale 1g - angolo giro: è ampio 400g è l’ampiezza della 400a parte dell’angolo giro - angolo piatto: è ampio 200g - angolo retto: è ampio 100g Sistema in radianti Unità di misura: radiante 1rad Angoli notevoli: - angolo giro: è ampio 2π - angolo piatto: è ampio π è l’ampiezza dell’angolo che posto al centro di una - angolo retto: è ampio π/2 circonferenza individua un arco lungo come il raggio La definizione di un angolo non può essere legata della circonferenza Patrizia Dova -alla Marinella Del Torchio Mathesis misura dell’ampiezza febbraio aprile 2017 dell’angolo stesso 41
