Un triangolo si considera risolto quando
se ne conoscono i tre lati e i tre angoli
A
a
B
b
g
C
La superficie S di un triangolo è uguale a
A
a
B
b
g
H
C
Utilizzando le funzioni goniometriche
La superficie S di un triangolo è uguale al
semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
A
a
B
b
g
H
C
Utilizzando le funzioni goniometriche
La superficie S di un triangolo è uguale al
semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
A
a
B
b
g
H
C
Utilizzando le funzioni goniometriche
La superficie S di un triangolo è uguale al
semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
A
a
B
b
g
H
C
La superficie S di un triangolo è uguale al
semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
Manca solo una formula analoga per l’angolo
A
a
B
b
g
H
C
a
La superficie S di un triangolo è uguale al
semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
Manca solo una formula analoga per l’angolo
A
a
B
b
g
C
a
p-a
H
a
A
b
B
p-a
H
a
A
b
B
La superficie S di un triangolo è uguale al
semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
A
a
B
b
g
C
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra
un lato e il seno dell’angolo corrispondente
c
a
b
g
b
a
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra
un lato e il seno dell’angolo corrispondente
c
a
b
g
b
a
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra
un lato e il seno dell’angolo corrispondente
queste tre relazioni sono equivalenti perché
rappresentano la stessa quantità S
quindi . . .
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra
un lato e il seno dell’angolo corrispondente
quindi . . .
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra
un lato e il seno dell’angolo corrispondente
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra
un lato e il seno dell’angolo corrispondente
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra
un lato e il seno dell’angolo corrispondente
otteniamo
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra
un lato e il seno dell’angolo corrispondente
Teorema dei seni
In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra un lato e il seno dell’angolo corrispondente
Teorema delle proiezioni
In un triangolo qualunque la misura di un lato è
uguale alla somma dei prodotti delle misure degli
altri due lati per il coseno dell’angolo che ciascuno
di questi forma col primo
c
a
b
g
b
a
Teorema delle proiezioni
In un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla
somma dei prodotti delle misure degli altri due lati per il
coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma col primo
A
a
b
c
B
b
g
Ha
BC = BH+HC
BH = ABcosb
HC = ACcos g
C
Teorema delle proiezioni
A
a
c
B
b
b
Ha
quindi
BC = ABcosb+ACcosg
g
C
Teorema delle proiezioni
A
a
c
B
b
Ha
b
BC = ABcosb+ACcosg
g
C
Teorema delle proiezioni
A
a
b
c
Questa proprietà è valida per qualunque lato
B
b
Ha
BC = ABcosb+ACcosg
g
C
H
p-a
A
a
b
c
B
b
a
g
AC = HC – HA = BCcosg – ABcos(p–a)
e poiché
AC = BCcosg+ABcosa
C
Perché si chiama teorema delle proiezioni?
Un bastone piantato nel terreno
con una inclinazione
a
l = lunghezza del bastone
Il sole allo zenit
l
a
Perché si chiama teorema delle proiezioni?
l = lunghezza del bastone
La lunghezza dell’ombra
si chiama proiezione
l
proiezione = cos a
l
a
ombra
Teorema del coseno ( o di Carnot)
a2 = c2 + b2 – 2cbcosa
A
a
b
c
B
b
a
g
C
Il quadrato costruito su uno dei due lati equivale alla
somma dei quadrati degli altri due meno il doppio
prodotto di questi moltiplicato per il coseno
dell’angolo compreso
Scriviamo per ciascun lato il teorema delle proiezioni:
a = ccosb +bcosg
moltiplichiamo per
a
b = acosg + ccosa
moltiplichiamo per - b
c = acosb + bcosa
moltiplichiamo per - c
Si ottiene
a2 = accosb + abcosg
- b2 = - bacosg - bccosa
- c2 = - cacosb - cbcosa
Sommando membro a membro e
semplificando
a2 = accosb + abcosg
- b2 = - bacosg - bccosa
- c2 = - cacosb - cbcosa
Sommando membro a membro e
semplificando
a2 - b2 - c2 = accosb + abcosg - bacosg - bccosa
- cacosb - cbcosa
a2 - b2 - c2 = - bccosa- cbcosa
a2 - b2 - c2 = accosb + abcosg - bacosg - bccosa
- cacosb - cbcosa
a2 - b2 - c2 = - bccosa- cbcosa
a2 = b2 + c2 - 2bccosa
Sommando membro a membro e
semplificando
a2 = c2 + b2 - 2bccosa
TEOREMA DI CARNOT
Il quadrato costruito su uno dei due lati equivale alla
somma dei quadrati degli altri due meno il doppio
prodotto di questi moltiplicato per il coseno
dell’angolo compreso
seno di
a
a
a
seno di
a
p-a
a
seno di (p-a)
seno di (p-a)
= seno di a
a
a
coseno di
a
coseno di
p-a
a
coseno di (p-a)
a
