Aspetti Filosofici Parte I - Dipartimento di Filosofia Comunicazione e

Aspetti Filosofici Parte I
Considerando la forma provvisoria
degli appunti, non citare o
distribuire
Aspetti filosofici della meccanica quantistica
(2004-2005)
Mauro Dorato,
Dipartimento di Filosofia, Università degli studi “Roma Tre”,
via Ostiense 234, 00146, Roma,
e-mail:[email protected]
Tel. 06-54577523; Fax 06-54577340
Libri di testo:
Ghirardi, G. (1997), I fondamenti concettuali e le implicazioni
epistemologiche della meccanica quantistica in G. Boniolo (a cura
di) Filosofia della fisica, B. Mondadori, Milano, pp.337-608;
Laudisa F. (1998), Correlazioni pericolose, Il Poligrafo, Padova
Schema del corso
• Introduzione: il compito della filosofia della MQ
• Il dualismo onda-corpuscolo nell’esperimento delle
due fenditure: i possibili limiti evolutivi nella
comprensione (Feynman)
• Storia delle interpretazioni filosofiche, ovvero le
posizioni filosofiche dei padri fondatori.
• Confronto tra l’apparato formale della MQ e quello
della meccanica classica: il problema della misura
• Il dibattito Einstein-Bohr (1927-1935)
• La non-località e il teorema di Bell
• La teoria a variabili nascoste di Bohm
• Le altre interpretazioni della meccanica quantistica:
Everett e i molti mondi
• I modelli di riduzione dinamica
• I teoremi limitativi della MQ: von Neumann (1932),
Gleason (1957), Kochen-Specker (1967)
Introduzione
Che cos’è la filosofia della
meccanica quantistica?
Cominciamo
con
alcune
citazioni
che
mostrano
perché non possiamo essere
realisti solo quando ci fa
comodo….ovvero il lunedì, il
mercoledì
e
il
sabato
(quando non utilizziamo la
MQ)
To try to stop all attempts to pass beyond the present
viewpoint of quantum physics could be very dangerous for
the progress of science and would therefore be contrary to
the lessons we may learn from the history of science. This
teaches us, in effect, that the actual state of our knowledge is
always provisional and that there must be, beyond what is
actually known, immense new regions to discover
Luis de Broglie, Prefazione a M. Born, Causality and Chance in Modern Physics
“Quantum mechanics, that mysterious, confusing
discipline, which none of us really understands but which we
know how to use”
M. Gell Mann, Questions for the Future, in The Nature of Matter, Wolfson
College Lectures 1980, Clarendon Press, Oxford, quoted in Bohm-Hiley, The
undivided universe, Routledge, 1993, p.1.
I am going to tell you what nature behaves like…Do not keep
saing to yourself, if you can possibly avoid it, “But how can it be
like that?” because you will get “down the drain”, into a blind
alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it
can be like that.
Feynman R. The Character of Physical Law, p. 129
The fact that an adequate philosophical presentation [of
quantum mechanics] has been long delayed is no doubt caused by
the fact that Niels Bohr brainwashed a whole generation of
theorists into thinking that the job was done fifty year ago.
Gell Mann, M (1979), “What are the building blocks of matter?” in D. Huff and O. Prewitt (eds.)
The Nature of the Physical Universe, New York, Wiley
A discussion of the interpretation of quantum mechanics
on any level beyond this almost inevitable becomes vague.
The major difficulty involves the concept of
“measurement”…I have taught graduate courses for over
20 years at Columbia, Stanford, Oxford and Yale, and for
almost all of them have dealt with measurement in the
following manner. On beginning the lectures I told the
students “You must first learn the rule of calculation in
quantum mechanics, and then I will tell you about the
theory of measurement and discuss the meaning of the
subject”. Almost invariably, the time allotted to the course
run out before I had to fulfill my promise.
Lamb, Willis, Premio Nobel, (1969), citato in Wheeler J.A. and Zurek W. (1983), Quantum Theory
and Measurement, Princeton Univ. Press, Princeton, pp. xviii-xix)
Il problema essenziale che tratteremo ha a che fare con
l’interpretazione di un formalismo matematico che
funziona in modo straordinariamente preciso a scopi
predittivi, ma che, come vedremo, non ci dice come può
essere fatto il mondo, in modo che la teoria possa essere
considerata almeno “approssimativamente vera”.
Interpretare è un termine tecnico e qui significa “cercare
di comprendere che cosa ci dicano le teorie fisiche intorno
al mondo”; pur essendo un’attività tipicamente filosofica,
questa attività ha visto coinvolti i migliori scienziati della
tradizione occidentale, da Copernico a Galilei, da
Boltzmann ad Einstein, da Schroedinger a Feynman e a
Gell-Mann.
«la vera difficoltà sta nel fatto che la fisica
è un tipo di metafisica… la fisica descrive
“la realtà”; ma questa descrizione può
essere completa o incompleta. E noi non
sappiamo cosa sia “la realtà”, se non
attraverso la descrizione fisica che ne
diamo di essa.»
Einstein a Schroedinger 19 giugno 1935
Uno sguardo al futuro e un
invito ai filosofi…
La gravità quantistica
In this essay I describe the present state of affairs in fundamental theoretical
physics…. I believe that we are going through a period of profound confusion, in
which we lack a general coherent picture of the physical world capable of
embracing what, or at least most of what, we have learned about it. The
“fundamental scientific view of the world of the present time is characterized by an
astonishing amount of perplexity, and disagreement, about what time, space,
matter, and causality are….General relativity and quantum mechanics are
discoveries as extraordinary as the Copernican discovery. I believe they are, like
Kepler’s ellipses and Descartes’ principle of inertia, fragments of a future science. I
think that it is time to take them seriously, to try to understand what we have
actually learned about the world by discovering relativity and quantum theory, and
to find the fruitful questions. Maybe the Newtonian age has been an accident, and
we will never again reach a synthesis. If so, a major project of natural philosophy
has failed. But if a new synthesis is to be reached, I believe that philosophical
thinking will be once more one of its ingredients. Due to the vastness of the
problem involved, the generality and accuracy of philosophical thinking and it
capacity to clarify conceptual premises are probably necessary to help physics out
of a situation in which we have learned so much about the world, but no longer
know what matter, time, space, and causality are. [C. Rovelli, “Half way through
the woods”, The Cosmos of Science, eds. John Earman and John Norton
(University of Pittsburgh Press, 1997), pp. 180-82 ]
Can philosophers really contribute to the project of reconciling
general relativity and quantum field theory? Or is this a
technical business best left to the experts? [.] General relativity
and quantum field theory are based on some profound insights
about the nature of reality. These insights are crystallized in the
form of mathematics, but there is a limit to how much progress
we can make by just playing around with this mathematics. We
need to go back to the insights behind general relativity and
quantum field theory, learn to hold them together in our minds,
and dare to imagine a world more strange, more beautiful, but
ultimately more reasonable than our current theories of it. For
this daunting task, philosophical reflection is bound to be of
help. [Baez, “‘Higher-Dimensional Algebra and Planck Scale
Physics”. In C. Callender & N. Huggett (eds.), Physics Meets
Philosophy at the Planck Scale. Cambridge University
Press:177-195, p.177]
Sul compito di una teoria fisica
Oltre alla predizione dei fenomeni, il compito di
una teoria fisica, visto da un punto di vista
filosofico, è duplice:
(1) Capire come è fatto il mondo interpretando il
formalismo, e dunque fare ontologia, il che
significa: domandarsi che cosa esiste e quali siano
le sue proprietà sulla base della fisica
(2) Cercare di comprendere come questa
ontologia si rapporti alla nostra esperienza del
mondo: per es., l’ontologia non può avere
conseguenze che contraddicano l’esperienza.
“L’esperimento è solo un banale
strumento. Il vero fine resta:
comprendere il mondo. Limitare lo
scopo della meccanica quantistica
esclusivamente a render conto delle
futili operazioni che eseguiamo nei
nostri laboratori equivale a tradire la
grande impresa”
J.S. Bell, 1990, “Against measurement”, in Sixty-two years of uncertainty,
Plenum Press New York
Le due domande principali
che solleveremo durante il
corso
1. Considerando il carattere statistico o
probabilistico della MQ, è possibile
completare la teoria introducendo qualche
tipo di variabili nascoste che assegnino
alle predizioni probabilisiche lo stesso
ruolo che hanno in meccanica statistica?
2. Quando è possibile assegnare proprietà
definite alle osservabili di un sistema
quantistico?
Capitolo 1
I misteri della MQ racchiusi
nell’esperimento delle due
fenditure
“Things on a very small scale behave neither like
particles nor like waves…all of direct, human
experience and intuition applies to large object.
We know how large objects will act, but things
on a small scale just do not act that way. We
choose to examine a phenomenon which is
impossible, absolutely impossible, to explain in
classical terms and which has in it the heart of
quantum mechanics. In reality, it contains the
only mystery”
(Feynman, Lectures in physics, vol.3, p. 1)
Dobbiamo comparare tre esperimenti, uno con proiettili, uno con
onde d’acqua e uno con elettroni. Cominciamo con i proiettili (1)
x
rivelatore
P12=P1+P2
x
2
P(x)
1
schermo
Con questo apparato si può rispondere sperimentalmente alla domanda: “con quale
probabilità P un proiettile che passa in uno dei due fori arriva in un punto dello schermo
a distanza x dal centro?”Questa probabilità, che dipende dal numero di proiettili che
colpiscono il punto x, è una funzione di x, P(x). Perché P12 - che è la probabilità che i
proiettili siano passati attraverso 1 o 2- è massima per x =0? Perché lì la somma di P1
(foro 2 chiuso) e P2 (foro 1 chiuso) è massima. In P1 (P2 ) il massimo è allineato con il
primo (secondo) foro rispettivamente.
2) esperimento: onde d’acqua
assorbitore
x
I12=|h1+ h2|2
I2 =|h2|2
2
1
P(x)
I1=|h1|2
L’onda originale generata dalla sorgente è diffratta ai due fori, che originano
un’altra serie di onde circolari che interferiscono. L’intensità del fenomeno
risultante I12 non è la somma delle intensità ricavabili dalla chiusura di uno dei due
fori Ii =|hi|2 (h altezza dell’onda). Nei punti in cui ci sono massimi in I12 le singole
onde interferiscono costruttivamente, nei punti di minima interferiscono
distruttivamente: I12= |h1|2 + |h2|2 +2 |h1 | |h2| cosd, con d differenza di fase tra I1 e I2
3) Esperimento con elettroni
x
P12=|f1+ f2|2
Cannone di
P2 =|f2|2
elettroni
2
1
P(x)
P1=|f1|2
1)Se mettiamo due rivelatori dopo lo schermo con le fenditure, solo uno dei due scatta e mai
entrambi contemporaneamente. 2) se abbassiamo la frequenza di emissione, il click non è
meno forte, ma solo meno frequente: ogni elettroni arriva in un pacchetto e viene assorbito
tutto e mai “a metà”. Sembrerebbe un comportamento da particella. E invece 3)la probabilità
che gli elettroni arrivino a una certa distanza x dal centro, che è proporzionale al numero di
arrivi in quel punto, è data dalla figura che avevamo trovato per le onde marine!
Ne concludiamo che quando entrambe le fenditure sono aperte,gli
elettroni si comportano come onde…
Il punto è però che quando vengono assorbiti, si localizzano in
un punto piccolo dello schermo, come se fossero proiettili in
miniatura (arrivano in un pacchetto discreto). Sembrerebbe dunque
che passino o in una o nell’altra delle due fenditure.
Ma se fosse così, la curva complessiva dovrebbe essere ottenuta
sommando le due curve P1 e P2 che si ottengono chiudendo prima
una e poi l’altra delle due fenditure, ovvero contando gli elettroni
che passano in una, e quelli che passano nell’altra, come nel caso
dei proiettili (particelle)
Invece il risultato che si ottiene lasciando le due fenditure aperte
non è ciò che si ottiene sommando i risultati relativi ai due casi in
cui una delle due fenditure è chiusa: c’è interferenza: P12  P1  P2
Ci sono punti dello schermo nei quali arrivano meno elettroni
quando sono aperte entrambe le fenditure che quando ne è aperta solo
una: è come se chiudere una delle due fenditure aumentasse il numero
di elettroni che passa per l’altra. D’altra parte, al centro del sistema la
probabilità quando sono aperte entrambe le fenditure è assai più che la
somma delle probabilità ottenibili tenendone una delle due chiusa. E
allora sembra che chiudendone una delle due diminuisca il numero di
elettroni che passa per l’altra. Entrambi gli effetti non possono essere
spiegati supponendo che un elettroni entri in 1 e poi anche in 2 girando
attorno allo schermo, o facendo altri percorsi complicati.
Dunque è falso affermare che l’elettrone passi o nell’una o nell’altra
delle due fenditure: lo stato di sovrapposizione non può essere
interpretato come un “o” esclusivo.
“Gli elettroni arrivano in pacchetti, come particelle, e la probabilità
di arrivo di questi pacchetti è distribuita come l’intensità di un’onda. È
in questo senso che un elettrone ‘si comporta talvolta come una
particella e talvolta come un’onda” (Feynman, vol 3 p. 6).
Contro Feynman, si potrebbe però notare che nello stesso
esperimento l’elettrone sembra comportarsi come un’onda e come
una particella, in stadi diversi dell’evoluzione del sistema stesso.
Ovvero, quando entrambe le fenditure sono aperte, un elettrone
passa per entrambe, ed è quindi simile a un’onda d’acqua o a un
campo esteso, ma quando colpisce lo schermo si comporta come una
particella, e si localizza in suo punto preciso dello schermo
collassando in un autostato della posizione.
Tale versione dell’esperimento (“onda e particella”) richiede però
di considerare il passaggio dallo stato di sovrapposizione che
descrive il microsistema quando passa in entrambe le fenditure
aperte ad uno solo dei due stati sovrapposti, che caratterizza una
particella localizzata, come un processo fisico reale.
Se provassimo a localizzare l’elettrone illuminandolo dietro una
delle due fenditure, sapremmo per quale delle due fenditure è
passato, eliminando però l’interferenza tipica delle onde
x
rivelatore
x
P’12=P’1+P’2
P’2
2
P(x)
P’1
1
schermo
Se osserviamo per quale fenditura è passato l’elettrone, anche quando
le fenditure sono tutte e due aperte, l’elettrone si comporta in modo
“particellare”: l’interferenza e dunque il suo carattere ondulatorio è
svanito o distrutto. La distribuzione degli elettroni nei due casi,
conclude Feynman, è diversa a seconda se guardiamo, e invece di
andare in un punto di massimo di P12 l’elettrone andrà in uno di
minimo
Poiché il momento di un fotone p=h/l, usando luce con
lunghezza d’onda maggiore diminuiremo l’impatto con l’elettrone
perché diminuiremmo p. Quindi disturberemo meno la traiettoria
dell’elettrone (il suo momento) Ma a un certo punto, diminuendo p,
non riusciremmo più a sapere per quale delle due fenditure è
passato l’elettrone (posizione), e ciò avverrà quando la lunghezza
d’onda della radiazione sarà dell’ordine della distanza tra le due
fenditure. E allora ritroveremo il pattern ondulatorio
dell’interferenza!
“È impossibile disegnare un apparato che determini per quale
fenditura sia passato l’elettrone senza al tempo stesso distruggere il
pattern dell’interferenza” PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
(Feynman, p. 9). In questa forma, si vede che l’elettrone è dotato di
entrambe le nature (particellare e ondulatoria) in potenza, ma il tipo
di natura evidenziato dagli esperimenti in atto è sempre uno dei due
(particellare o ondulatorio) e mai entrambi.
Si può invece avanzare l’ipotesi di prima, ovvero che un insieme
di elettroni identicamente preparati di fatto mostri sia il
comportamento ondulatorio (interferenza) sia quello particellare,
evidenziato dalla localizzazione discreta su un punto dello
schermo.
Per Bohm si può ipotizzare che le particelle passino o nell’una o
nell’altra delle due fenditure, ma che siano guidate da un campo
quantistico che passa per entrambe
In ogni caso, lo stato di sovrapposizione delle posizioni
nell’esperimento delle due fenditure non può interpretarsi mai
come un “aut”, ma solo come un “vel”.
Oppure, si può avanzare l’ipotesi che gli elettroni (pace le
interpretazioni come quella di Bohm) in realtà passino in entrambe
le fenditure, anche se il loro diametro “classicamente inteso” è
assai più piccolo della distanza tra le fenditure: ovvero che non
siano particelle, se non quando le vado a misurare! Processo di
localizzazione causato dall’interazione con l’apparato di misura
lo stato del sistema è una sovrapposizione lineare di due stati che corrispondono,
nella base delle coordinate spaziali, a funzioni d’onda che sono diverse da zero in
due precise e limitate regioni dello spazio, regioni che sono disgiunte.
Se uno schermo con due fenditure non registra l’arrivo di una particella, lo stato
del sistema è una funzione di x che è diversa da zero solo nelle regioni
corrispondenti alle due fenditure (lo schermo non ha intercettato la particella). Se
l’apertura delle fenditure è d e c è la funzione caratteristica che vale 1 se la
particella è passata nella fenditura i e 0 se è passata nell’altra. allora la funzione
d’onda che descrive il passaggio nelle fenditure è incompatibile con l’idea che la
particella sia passata nell’una o nell’altra delle due
1
1
1  c1 ( x)  1  c 2 ( x) 
dopo 
c1 ( x) 
c 2 ( x) 




2d
2d
2 d 
2 d 
I due singoli stati normalizzati corrispondono alla situazione in cui possiamo dire
che con certezza la particella è passata in una delle due fenditure; tale conoscenza
distrugge però il fenomeno della sovrapposizione e quindi l’aspetto ondulatorio
del fenomeno (l’interferenza). Come vedremo, la sovrapposizione dei due stati di
posizione non è una miscela
Capitolo 2
Le posizioni filosofiche dei
padri fondatori (1924-1926)
• De Broglie e l’ipotesi ondulatoria della
materia (1924)
• Heisenberg e la meccanica matriciale
(1925)
• Schroedinger e la meccanica
ondulatoria (1926)
• Born e le due leggi dinamiche di
evoluzione (1926)
• Von Neumann e il teorema
sull’impossibilità del determismo (1932)
La posizione di De Broglie
Il dualismo onda-corpuscolo di De Broglie
“Nella sua tesi, presentata all’università di Parigi nel 1924, de Broglie era partito
da un’idea che Einstein aveva suggerito — senza mai però svilupparla appieno e
pervenire ad un lavoro pubblicato — su come andasse intesa l’associazione tra fotoni
e onde elettromagnetiche. In base a questa idea, i campi elettrici e magnetici di
un’onda elettromagnetica svolgono il ruolo di “campi fantasma” che in qualche modo
“guidano” il moto dei fotoni nello spazio. De Broglie congetturò che dovessero esistere
campi analoghi che guidano il moto delle particelle nello spazio: una particella di
massa m e velocità v, e di conseguenza con impulso p = mv, è guidata da un’onda
che (per piccole velocità rispetto alla luce) ha una lunghezza d’onda data dalla formula
l =h/p.
(citato da Allori, Dorato, Laudisa, N. Zanghì, Metafisica Empirica, in corso di
pubblicazione, Carocci,)
«Questa ipotesi fornì una prima spiegazione non ad hoc della regola
di quantizzazione di Bohr: se quest’onda esiste, quando l’elettrone in
un atomo di idrogeno si muove lungo un’orbita circolare stabile di
raggio r, l’ onda deve essere stazionaria (le proprietà dell’atomo non
mutano nel tempo se l’atomo non è radioattivo) e devono quindi
essere soddisfatte le stesse condizioni in base a cui una corda di
chitarra può vibrare: ovvero la lunghezza totale dell’orbita l = 2pr sia
pari ad un multiplo intero di una lunghezza d’onda 2pr =nl, con
n=1,2,3,…n (si veda la figura di Zanghì nella pagina successiva): da
cui, sostituendo la formula di de Broglie per la lunghezza d’onda, si
ottiene
mrv =nh/2p ,
n = 1, 2, 3, . . .,
che è proprio la regola di quantizzazione di Bohr del momento
angolare«. (Zanghì, ibid.)
Quando l’elettrone in un atomo di idrogeno si muove lungo un’orbita
circolare stabile di raggio r devono essere soddisfatte le stesse condizioni che
permettono la vibrazione di una corda di chitarra di lunghezza l: che la
lunghezza totale dell’orbita, l = 2pr sia pari ad un multiplo intero di una
lunghezza d’onda. Poiché la lunghezza d’onda decresce al crescere della massa,
i corpi macroscopici non presentano aspetti ondulatori, visto che la lunghezza
d’onda ad essi associata dovrebbe incontrare ostacoli assai più piccoli delle
dimensioni che li caratterizzano
De Broglie influenzò moltissimo Schroedinger nella prima
formulazione delle meccanica ondulatoria. In una lettera di
Einstein a Lorentz del Dicembre del 1924, leggiamo:
“…De Broglie ha fatto un tentativo molto interessante di
interpretare le regole quantistiche di Bohr. Io credo che questo
rappresenti il primo debole raggio di luce sul peggiore dei nostri
enigmi nel campo della fsiica. Io stesso ho trovato qualcosa che
punta nella stessa direzione.”
Einstein non pubblicò i suoi risultati che però, come vedremo,
influenzarono sia Schroedinger che Max Born, l’autore
dell’interpretazione probabilistica della funzione d’onda. E poi, nel
1952, vennero riscoperti da David Bohm
La posizione di W. Heisenberg
Nel 1925, H. scrive: “è meglio …ammettere che
l’accordo parziale delle regole quantistiche con gli
esperimenti sia più o meno accidentale e provare a
sviluppare una meccanica quantistica teorica,
analoga alla meccanica classica, nella quale
compaiano
solo
relazioni
tra
quantità
osservabili”. Influsso dell’operazionismo di
Einstein (1905)
“Ueber quantentheoretische Umdeutung kinematischer and
mechanischer Beziuhungen”, Zeitschrift der Physik, 43, 172-198
“Sulla reinterpretazione delle relazioni cinematiche e meccaniche
operata dalla meccanica quantistica”
Più tardi però H. cambiò opinione. Per H. la  non è solo uno
strumento di calcolo, visto che egli si riferiva alle onde di
probabilità come ad una “the quantitative formulation of the
concept of dunamis, or, in the later Latin version, potentia, in
Aristotle’s philosophy. The concept that events are not determined
in a peremptory manner, but that the possibility or tendency for an
event to take place has a kind of reality – a certain intermediate
layer of reality, halfway between the massive reality of matter and
the intellectual reality of the idea or the image- this concept plays a
decisive role in Aristotle’s philosophy. In modern quantum theory
this concept takes a new form; it is formulated quantitatively as
probability and subject to mathematically expressible laws of
nature” Heisenberg, “Planck’s discovery and the philosophical
problems of atomic physics”, in On Modern Physics, Orion Press,
London, 1961, pp.9-10
La posizione di E.
Schroedinger (1926)
All’inizio S. pensava che la funzione d’onda da lui scoperta
corrispondesse, con il quadrato del suo modulo (che per Born
fornisce la probabilità), alla densità di massa o di carica
dell’elettrone cui è associata. L’elemento ontologico essenziale è per
lui l’onda: Schroedinger pensava ad un’onda che, a causa di effetti di
interferenza, al di fuori di una certa regione era nulla e simulava
dunque il comportamento di una particella.
“Non si deve attaccare alcun significato essenziale al cammino dell’elettrone…e
ancora meno alla posizione di un elettrone sul suo cammino [accenno a De
Broglie?]…l’onda…non solo riempie tutto il cammino simultaneamente, ma si
estende addirittura notevolmente in tutte le direzioni. Queste contraddizione è
sentita così fortemente che si è persino posto in dubbio che quello che accade in
un atomo possa inquadrarsi in uno schema spazio-temporale. Da un punto di vista
filosofico, io considererei una decisione conclusiva in questo senso come una resa
incondizionata. Infatti, poiché noi non possiamo assolutamente evitare di pensare
in termini di spazio e tempo [Kant?], quello che non possiamo ricondurre a siffatti
concetti, non possiamo comprenderlo affatto” (Ghirardi 1997, p.421)
Ben presto (1927) Heisenberg attaccò l’interpretazione puramente
ondulatoria di Schroedinger. Si consideri un elettrone libero il quale
al tempo t=0 si trova in uno stato la cui rappresentazione delle
coordinate è una funzione gaussiana di ampiezza Dx(0). Se si parte
con un’indeterminazione iniziale Dx(0) di 10-5 cm, risolvendo
l’equazione di Schroedinger, dopo un 1/3 di secondo il pacchetto che
rappresenta l’elettrone libero occupa circa un Km =105 cm! La
relazione tra l’indeterminazione iniziale e quella al tempo t è
h 2t 2
ht
3t
Dx(t )  Dx(0) 1 
cm 
cm 
cm
2
4
4m [Dx(0)]
2mDx(0)
Dx(0)
Dall’ultima formula sulla destra segue l’affermazione
di cui sopra, facendo le sostituzioni
Ma misurare l’elettrone implica sempre localizzarlo, dice G.
(1997, p.421);
Questa non è però l’unica difficoltà: il fatto è invece che varie
onde associate a n particelle richiedono uno spazio di
configurazione n-dimensionale
Lorentz preferiva l’interpretazione ondulatoria di Schroedinger
finché si aveva a che fare con una sola particella: “so long as one
only has to deal with the three coordinates x, y, z. If however,
there are more than three degrees of freedom then I cannot
intepret the waves and vibrations physically, and I must therefore
decide in favor of matrix mechanics”(M. Jammer, The
Philosophy of QM, p. 32).
Ma Jammer continua. “In rebuttal of this objection one could, of
course, point out that in the treatment of a macromechanical system
the vibrations, which undoubtely have real existence in the three
dimensional space, are most conveniently computed in terms of
normal coordinates in the 3n-dimensional space of Lagrangian
mechanics.”
Altre tre difficoltà di una lettura ondulatoria della , afferma
Jammer, sono: (1)  è una funzione a valori complessi; 2) 
dipende dal sistema di osservabili che viene impiegato per
rappresentare il sistema;3)  è soggetta al mutamento discontinuo
indotto dal processo di misura.
Esercizio: secondo te, quali di queste difficoltà è seria?
La posizione di Max Born
Per Schroedinger era necessario poter visualizzare i processi
quantistici salvando la descrizione spaziotemporale (visualizzare
e descrivere spaziotemporalmente qui sono sinonimi).
Born (1926) avanza l’interpretazione probabilistica del modulo
quadro della funzione d’onda, affermando che essa è la densità di
probabilità di trovare la particella in un certo punto se si esegue
una misura di posizione su di essa. |(x)|2 non è dunque la
probabilità che l’elettrone sia in una certa posizione, ma la
probabilità che esso sia in una certa posizione in dipendenza del
fatto che su di esso si è eseguita una particolare misura. Per
Born, esistono solo particelle, non onde, e sono rivelate dagli
esperimenti di scattering.
Come affermò Jordan, è l’osservatore che, “costringe
l’elettrone ad assumere una posizione definita; in precedenza esso
non era né qui né là”
Interessante che nel 1954, quando Born prese il Nobel per i
suoi contributi alla MQ, raccontò che esperimenti sulla collisione
di elettroni “appeared to me as new proof of the corpuscolar
nature of the electron” (Jammer 1974, p. 39). E nel saggio
originale scrisse queste parole profetiche rispetto al problema
della misura: “Die Bewegung der Partikel folgt
Wahrscheinlichkeitsgesetzen, die Warhscheinlichkeit selbst aber
breitet sich im Einklang mit dem Kausalgesetz aus”, (Il moto
delle particelle segue le leggi della probabilità, ma la probabilità
stessa si propaga invece in accordo con la legge della causalità)
Born, Die Quantenmechanich der Stossvorgaenge, 1926, p.804.
Si noti che da questa frase si evince che per Born esistono due
.tipi di evoluzione dinamica delle particelle, una probabilistica
che regola il moto delle particelle (all’atto di misura), una
deterministica che regola la propagazione nel tempo dell’onda di
probabilità (equazione di Schroedinger.)
Sempre nel 1954, Born disse che applicò l’idea del “campo
fantasma” di Einstein dai fotoni (in base alla quale l’intensità
dell’onda fantasma che guida i fotoni – ovvero il quadrato
dell’ampiezza – determina la probabilità di trovare un fotone) a tutta
la materia. Ecco ancora l’idea di De Broglie-Einstein.
Per Born, le probabilità quantistiche non sono dovute all’ignoranza
della situazione fisica (non sono come quelle della meccanica
statistica): sono ontiche.
Contrariamente al punto di vista di Schroedinger,  per Born non
descrive nulla di fisico, ma “solo la nostra conoscenza del sistema”.
Così il fatto che  nell’interpretazione originaria di Schroedinger si
sparpagliasse rapidamente non costituiva per lui alcuna difficoltà,
perché  non denota nulla di reale. Analogamente, per Born il
collasso della funzione d’onda non è una transizione fisica reale, ma
solo un mutamento della nostra conoscenza.
Ma la posizione particellarista di Born
non da conto dell’autointerferenza di un
singolo elettrone quando passa per uno
schermo con due fenditure, ovvero richiede
che il pattern ottenuto con due fenditure
aperte sia “la somma” dei singoli patterns
ottenuti con una sola delle due fenditure
aperte, il che, come è noto, non è. Ne segue
che la  rappresenta qualche cosa di fisico!
Il teorema di impossibilità di
von Neumann
Nessuna teoria predittivamente
equivalente alla MQ può assegnare
valori precisi (anche se sconosciuti,
o nascosti e inaccessibili) a tutte le
osservabili di un sistema fisico
(a)Se A e B sono operatori autoaggiunti, allora
ogni loro combinazione lineare con arbitrari
scalari reali è ancora un operatore autoaggiunto
C  aA   B
[1]
(b)Se le osservabili A e B rappresentate da A e B
sono osservabili del sistema, allora c’è
un’osservabile C rappresentata da C :
C  aA   B
[2]
(c) Se A è limitato, il sistema è in uno stato , P è
il proiettore sullo stato , e il valore medio
<|A|>  Tr(PA) è simbolizzato da <A>, allora
vale
< C > a < A >  < B >
[3]
Indichiamo ora i valori di A, B e C con v(A), v(B), v(C)
rispettivamente e consideriamo una “variabile nascosta”
V che li determini. Nell’ottica di una teoria che assegna
valori definiti a tutte le variabili fisiche, i valori medi
<A> misurati dalla MQ saranno medie sui vari valori
nascosti ma definiti v(A), In generale però, i valori medi
“banali”, calcolati sui valori posseduti <A>V = v(A) non
coincideranno con <A>
[4]
< A >V < A >
Se però richiediamo che anche gli <A>V obbediscano alla
regola lineare [3] che vale per i valori medi, abbiamo
[5]
v(C) = αv(A) + βv(B).
La [5], insieme alle altre, è un’assunzione indispensabile
del teorema di von Neumann contro la possibilità di
variabili nascoste o contro l’esistenza di stati a dispersione
nulla, dove la dispersione è definita come il valor medio
dell’operatore (B - <B>)2, ovvero la media pesata con la
probabilità |cj|2 del quadrato dello scarto tra l’esito bj e il
valor medio di B.
Assumendo infatti che Si ci fi ; e che B fi=bi fi
 | (B - < B >) 2    ck k (B - < B >) 2 c j  j 
c *c
k
kj
j
kj
k (B - < B >) 2  j  ck * c j k (b j - < B >) 2  j 
kj
 c * c (b
k
kj
j
j
- < B >) k  j   ck * ck (b j - < B >)   c j (b j - < B >) 2
2
2
2
j
j
Il teorema, che non vedremo in dettaglio
(cfr., I fondamenti
è
logicamente corretto, e se fossero vere le premesse, la
conclusione sarebbe ineccepibile
matematici della meccanica quantistica, capitolo 4, Il Poligrafo, 1998)
Il punto è che la [5] è irragionevole quando le tre
osservabili in questione non formano un insieme
compatibile, ovvero simultaneamente misurabile. Il
primo ad aver mostrato perché la [5] è irragionevole nel
caso di operatori non simultaneamente diagonalizzabili è
stato J.S. Bell nel 1966, dando il seguente semplicissimo
controesempio con le componenti di spin lungo x e y,
che come noto, obbediscono alla relazione
[6]
[sx, sy]=2i sz e permutazioni cicliche di queste
Controesempio di J.S. Bell
Sia A = σx e B = σy, allora l’operatore C
C = (σx + σy)/21/2
corrisponde all’osservabile della componente dello spin lungo la
direzione che biseca l’angolo dato da x e y. Poiché tutte le
componenti dello spin, in opportune unità di misura, hanno come
valori possibili solo ±1, ne segue che una teoria a variabili nascoste
deve assegnare ad A, B, C solo i valori ±1, e lo stesso deve fare con
i valori certi che le osservabili assumono come funzioni delle
variabili nascoste (valori medi triviali). Questo implica che la (5)
non possa essere soddisfatta, dato che
(1   1)
1 
2
Come afferma Bell: “A measurement of a sum of
noncommuting observables cannot be made by combining
trivially the result of separate observations on the two
terms – it requires a quite distinct experiment. For example,
the measurement of sx must be made with a suitable
oriented Stern-Gerlach magnet. The measurement of sy
would require a different orientation, and that of (sx + sy) a
third and different orientation…There is no reason to
demand it [addivity] individually of the hypothetical
dispersion free states, whose function is to reproduce the
measurable peculiarities of quantum mechanics when
averaged over. (Bell, Speakable and unspeakable in QM,
1987, p.4)
• A causa dell’enorme prestigio di von
Neumann, questo teorema contro la
possibilità di variabili nascoste fu ritenuto per
vari anni la prova decisiva dell’impossibilità
del determinismo, fino a quando Bohm nel
1952 e poi Bell nel 1964 ne mostrarono
l’infondatezza, o meglio, la mancanza di
generalità, il primo con un controesempio
costituito da una nuova teoria fisica, il
secondo con l’argomento appena visto.
• Vedremo poi che Gleason (1957) e KochenSpecker (1967) rimediano a questo problema
supponendo che la [5] valga solo per
osservabili compatibili, fatto che non è messo
in discussione nemmeno dai teorici delle
variabili nascoste.
Capitolo 3
Cenni sull’apparato formale della
MQ in confronto con quello della
meccanica classica
Confronto
quantistica
mecc.classica
m.
Spazio degli stati
Spazio delle fasi W a 6
dimensioni
Spazio di Hilbert H
Stato puro
Punto nello spazio delle
fasi
Vettore normalizzato in
H
Osservabile A
fA: W  R
Operatore autoaggiunto
A: H H
Valori possibili di
osservabili
Codominio della funzione
a valori reali fA (un
continuum di valori)
(i) A ha spettro discreto
Domanda
sperimentale
“la misura di A è in
D”?
Sottoinsieme di W
fA-1 (D)  W
Sottospazio L o
proiettore di H
H
e ha autovettori: i valori
possibili sono gli
autovalori di A
(ii) A ha spettro
continuo
LAD 
Spieghiamo la tavola di sinistra: RIPASSO DI MECCANICA
CLASSICA
In meccanica classica lo stato di un sistema costituito da n particelle che si
muovono in uno spazio 3-dimensionale ad un certo tempo t è specificato
completamente dalle 3n posizioni e dalle 3n velocità a quel tempo
particolare (le “osservabili” del sistema). In una parola, si ha bisogno di uno
spazio 6n dimensionale, detto spazio delle fasi. Un punto w dello spazio
delle fasi W corrisponde allo stato della particella a un tempo t, ed è
specificato da 6n numeri reali, mentre una curva in W che passa per w è
COMPLETAMENTE specificata dalla leggi del moto e dallo stato w e
rappresenta l’evoluzione temporale del sistema (la successione temporale
dei suoi stati).
W
tempo
w
(a1 , a2 , a3 ,.........a6 n )
Per esempio, una particella costretta a muoversi in una dimensione avrà spazio della fasi
bidimensionale: la velocità ha una sola componente lunga la retta e la posizione è
individuata dalla distanza del punto dall’origine. Si ha quindi che lo spazio delle fasi W è
il piano reale, e il punto w  q, p) è individuato quindi da una coppia di numeri, il primo
dei quali è la posizione q e il secondo il momento p=mv.
Se calcoliamo l’energia cinetica della particella in questione,
Ec = (1/2)mv2=p2/2m,
un’altra “osservabile”, si vede che essa è una funzione a valori reali del punto w  W,
anche se nel caso particolare della sola coordinata p), ovvero Ec: W R
Particella in 1 dimensione
p
f -1(D)
1
q
In generale, si può associare a ogni quantità
osservabile A di un sistema classico una funzione a
valori reali fA: W  R e la risposta alla domanda
“l’osservabile A ha valori in D?”(con D sottoinsieme
di R), è sempre sì o no, ed è positiva se fA(w)  D In
figura è rappresentato in arancione l’insieme dei
punti che rende affermativa la risposta alla domanda
“la posizione della particella è q=1?”Ogni stato può
quindi essere definito come una funzione a due valori
(0,1) sull’insieme di domande sperimentali: la
risposta è positiva, ovvero w(A, D) = 1, se e solo se
fA(w)  D
Riscriviamo la parte destra della tavola
(I postulati della MQ)
1) A ogni sistema fisico è associato uno spazio di Hilbert H
2) Gli stati di un sistema individuale S sono vettori normalizzati di
H che, nell’ipotesi di completezza della teoria, danno
un’informazione massimale
3) Le osservabili fisiche (posizione, momento, energia..) sono
operatori autoaggiuntiNB (o hermitiani) di H.
4) I soli possibili esiti della misura di un’osservabile A sono gli
autovalori associati allo spettro dell’operatore autoaggiunto
associato A.
NB Un operatore A è autoaggiunto se non solo vale A= A† sul dominio in cui A è definito
(hermiticità), ma si ha in più che i loro domini coincidono
5)Esiti delle misure di osservabili
•Se l’osservabile A ha spettro discreto  quantizzazione.
La misura può dare come risultato solo uno degli n
autovalori vi associato all’autovettore |vi> dell’operatore
hermitiano A, con la probabilità data dal modulo quadro
della proiezione dello stato del sistema |>
sull’autovettore |vi>: natura facit saltus
•Se l’insieme dei valori (lo spettro) di A è continuo, tutti i
punti dei reali sono valori possibili al massimo
possiamo determinare la probabilità che il valore v
dell’osservabile misurato sia in un intervallo piccolo a
piacere D, perché un procedimento di misura
infinitamente accurato è impossibile
Preparazione
• All’istante t=0 si misura un insieme
completo di osservabili commutanti A,B,C
• Allora lo stato iniziale 0) del sistema è
proprio (l’autovettore) normalizzato f
comune alle osservabili commutanti in
questione
0)  f
L’evoluzione deterministica, lineare, e
unitaria dell’equazione di Schroedinger
d
i
 (t )  H  (t )
dt
t0) 0) condizione iniziale
1) Determinismo: la soluzione dell’equazione differenziale
del primo ordine nella variabile temporale esiste ed è unica:
lo stato finale
tf)
è fissato univocamente da
0)
corrispondenza tra stato iniziale e stato finale è 1-1
La
2) linearità: l’operatore hamiltoniano H che corrisponde
all’energia è lineare, ovvero se la soluzione 1(t)
corrisponde a 1 (0) e la soluzione 2 (t) corrisponde a
2 (0), allora per ogni a e b nel campo complesso C,
un’arbitraria combinazione lineare delle condizioni
iniziali:
a1(0)+b2(0)
evolve nella stessa (o coincide con la) combinazione
lineare dei loro singoli evoluti, ovvero
a1(t)+b2 (t).
Questa è l’unica soluzione corrispondente alle
condizioni iniziali date (in altre parole, l’operatore
preserva gli stati di sovrapposizione)
Il principio di sovrapposizione è il cuore della
meccanica quantistica e per Dirac (The Principles of
Quantum Mechanics, 1930, pp.10-18) rappresenta la
maggiore differenza con la meccanica classica: “the
superposition that occurs in quantum mechanics is of
an essentially different nature from any occurring in
the classical theory” (Dirac, ibid., p. 14)
Esso afferma che dati due stati possibili di un
sistema, 1 e 2, ogni loro combinazione lineare 3
 a1 + b2 con due arbitrari scalari a e b di C è
ancora un possibile stato del sistema.
Una parentesi sulle
conseguenze concettuali
dovute all’esistenza di stati di
sovrapposizione
Completezza della descrizione quantistica: ogni elemento della realtà fisica
è colto dal formalismo della teoria: “every element of the physical reality
must have a counterpart in the physical theory” (EPR, Phys Rev.1935 p.777)
Nell’interpretazione standard, il formalismo viene considerato come
completo. Ovvero la conoscenza del vettore di stato (uno stato puro) viene
considerata come massimale, per cui l’informazione che esso contiene è
completamente esauriente. Ne segue per es. che una sovrapposizione (un
“and”) non è mai interpretabile come una disgiunzione esclusiva, (“aut”). Sia
 lo stato del sistema preparato con spin lungo x uguale a +1(in opportune
unità di misura). Questa osservabile è la combinazione lineare dei due
autovettori relativi a sz
Sx  
1
1 1
1 1
1  0
; s x  1;  


1
 0
1
2
2 
2 
2 
P(s x  1 |   s x )  1; P(s x  1 |   s x )  0
2
 1 
 1 
P(s z  1 |   s x )  
 ; P(s z  1 |   s x )  

 2
 2
2
Ci si può chiedere se il nostro elettrone possiede anche una proprietà
di avere spin definito lungo z oltre a quella data di avere spin nella
direzione x. Nel caso della sovrapposizione di due autovettori di spin
z, si può mostrare che non è così. Se l’insieme di risultati E fosse
quantisticamente inomogeneo, una miscela, avremmo la probabilità
epistemica che un sistema individuale scelto a caso abbia probabilità
½ di avere spin z = 1 e ½ di avere spin z=-1, dove gli autostati del
sistema potrebbero essere az e bz e si potrebbe pensare che ogni
membro individuale dell’insieme possiede oggettivamente un
preciso valore per l’osservabile spin lungo z, cosicché una
percentuale p+=1/2 dei sistemi siano nello stato az e il resto nello
stato bz (con p-=1/2) . Poiché ogni membro dell’insieme E è in uno di
questi due stati, lo sviluppo di questi stati in termini degli autostati di
sxè
1
1
1
1
az 
ax 
bx ; bz 
ax 
bx
2
2
2
2
Entrambi questi stati danno probabilità ½ per i due possibili esiti di
misura, contro l’ipotesi che lo stato del sistema sia tale che la
probabilità di trovare sx=1 è 1. Ne segue che non è possibile che il
sistema abbia valori definiti per sz e che sia in una miscela di stati
rispetto a sz se è in uno stato definito rispetto a sx
Ne segue che nello stato di sovrapposizione, il + che lo caratterizza
non è interpretabile con una disgiunzione, che andrebbe bene per le
miscele: non è vero che il sistema è o in uno stato o nell’altro, e
nemmeno che non è in nessuno dei due stati. In un certo senso il
sistema “è in entrambi gli stati”, anche se nella misura ne troviamo
solo uno dei due, visto che gli stati sono ortogonali. Questo
argomento vale per osservabili non commutanti, come sono le due
componenti di spin lungo x e lungo z.
E’ quindi possibile distinguere sperimentalmente uno stato puro
(sovrapposizione) da una miscela statistica.
Si può azzardare l’ipotesi che è questa proprietà dei sistemi
quantistici che spinse Bohr a formulare il principio che i contrari
sono complementari (contraria sunt complementa): osservabili
mutuamente incompatibili nella misura (mutually exclusive in
measurement) sono tuttavia entrambi presenti, ma solo in potenza, in
un certo stato, e sono quindi entrambi necessari per la descrizione
del sistema (jointly exhaustive for the description of the system). I
microsistemi quindi non sono né onde né particelle
Ecco anche l’origine della lettura disposizionalistica di
Heisenberg:«Such a probability function [i.e. the statistical algorithm
of quantum theory] combines objective and subjective elements. It
contains statements on possibilities, or better tendencies (“potentiae
in Aristotelian philosophy), and such statement are completely
objective, as they don’t depend on any observer…the passage from
the “possible” to the real takes place during the act of observation»
(Heisenberg 1958, Physics and Philosophy, p. 67-69)
Un’altra importante implicazione concettuale è tratta da Ghirardi (1996, p. 401)
“la teoria implica che non si possano attribuire “troppe” proprietà a un sistema
fisico individuale: se la particella ha, per esempio, la proprietà di avere un “preciso
spin lungo l’asse x” allora non possiede proprietà relative alla componente dello
spin in altre direzioni. Il fatto che nel caso classico possa essere impossibile
conoscere perfettamente lo stato del sistema non implica che quest’ultimo non
abbia proprietà definite per ogni stato che definisce in modo massimale il sistema
stesso. E’ per questo che le probabilità di cui parla la fisica classica sono
epistemiche o dipendenti dalla nostra ignoranza. Ecco la differenza, secondo
l’interpretazione standard, con la MQ. Due osservazioni che qualificano questa
asserzioni di Ghirardi:
Per i bohmiani, tutte le probabilità della MQ non relativistica sono epistemiche.
Ma la teoria bohmiana della MQ relativistica è non ancora sufficientemente
sviluppata…
L’assunzione che per un qualunque stato  esiste sempre un’osservabile di cui
tale stato è autovettore con un preciso autovalore ci garantisce però che il sistema
possiede sempre qualche proprietà in modo oggettivo. Ciò è evidente nel caso di
una particella in un arbitrario stato di spin : è sempre possibile trovare una
direzione n rispetto alla quale  è autovettore con autovalore 1 (G. p. 402)
3) Unitarietà:
Se U(0, t) è l’operatore lineare che fa evolvere lo stato iniziale
da (0) a (t),
|(t)> = U(0, t)| (0)>
Esso risulta unitario e preserva quindi la norma del vettore di
stato
Se H è l’osservabile energia, allora l’operatore unitario è dato
dalla seguente funzione nel senso di Dirac
U (0, t )  e
i
Ht

Una rappresentazione
geometrica dei due processi
della MQ
1. Un operatore autoaggiunto A
in R3 individua tre versori
(autovettori) ortogonali fi: se
la misura dà a2 allora
prepariamo il sistema in f2 
0)
b3
a1
2. L’operatore di evoluzione
temporale è unitario, e quindi
preserva la norma del vettore
di stato , che compie una
rotazione sulla superficie
della sfera unitaria (la linea
blu indicata in figura)
f1
t)
a2
f2 0)
c1
c2
3 Se ora vogliamo misurare
un’altra osservabile B, che ha
autovettori ci la probabilità di
trovare bi è il modulo quadro
della proiezione di (t) sui
tre nuovi,versori
4 Solo se (t) è allineato con
uno dei tre nuovi assi la
misura ha esito certo
c3
b1
f3
(t )  ci
misuroB;trovobi
b2
a3
salto quantico, o
collasso di  in ci
Nel caso degenere, in cui per
esempio
l’autovalore
b1
associato all’osservabile B
corrisponde ad un autospazio
a 2 dimensioni (il piano c1
c2), la probabilità che B=b1 è
il modulo quadro della
proiezione di t) sul piano in
questione.
b3
c3
t)
c1
c2
P[B=b1|t)]=|P1Bt)|2=
b1
P1Bt)
< P1Bt)| P1Bt)>
Questo risultato si
generalizza a autospazi di
dimensione qualunque K
b1
La misura fa passare dallo stato  alla sua proiezione
normalizzata P1Bt)/|P1Bt)|: il cambiamento
discontinuo del vettore di stato ci porta nell’autospazio
(c1 c2) ma come rappresentante degli infiniti vettori del
piano si sceglie proprio P1Bt)/|P1Bt)|(misura
morale, o cambiamento minimo)
Nel caso di spettro continuo dell’operatore B, abbiamo che la
probabilità che misurando l’osservabile si trovi un valore l
compreso tra c e c+D è
P[B  (c, c  D) | (t )] | P( B) c,D(t ) |2 | P( B) (c  D)  P( B) (c)(t ) |2
Pj (t )
B
(t ) Esito


b
misura
j
 (t ) 



Esito in (c,c+D)
misura
Caso discreto
Pj (t )
B
[ P(c  D)  P(c)](t )
[ P(c  D)  P(c)](t )
Caso
continuo
Lo stato  viene trasformato nella proiezione normalizzata
sull’autovarietà (c, c+D) corrispondente all’esito ottenuto
|cl)|2
Siano c le
autofunzioni
improprie
dell’operatore B
c(l )  c l   P[ B  (c, c  D) |  (t )] 
cD
 c (l )
2
dl
c
Questa formula rappresenta
geometricamente l’area sottesa
dalla funzione |c(l)|2
nell’intervallo (c, c+D)
c cD
l
Dato un vettore di stato t), la probabilità di ottenere un risultato
(autovalore) compreso tra c e c+D appartenente allo spettro continuo di un
osservabile B è l’area sottesa dalla funzione |c(l)|2 che esprime la proiezione
del vettore di stato sull’autovettore improprio corrispondente all’autovalore l
Stati puri e miscele
• La preparazione è una misura di
un’osservabile, che ci porta in un’autovarietà
che può essere
• (i) monodimensionale (autovettore) e allora
abbiamo
un’informazione
massimale
(preparazione “accurata”), ovvero uno stato
puro, oppure
• (ii) si ottiene una famiglia discreta o continua
di stati e allora non sappiamo esattamente in
quale degli stati della famiglia il vettore di
stato originario viene trasformato dalla misura
• Esistono dunque probabilità che dipendono da
mancanza di informazione sullo (ignoranza dello)
stato iniziale del sistema, che può essere
fisicamente non-omogeneo, e che nascono in
connessione con la preparazione del sistema:
chiamiamo tali probabilità epistemiche e sono
relative alle cosiddette miscele
Altre probabilità, quelle che caratterizzano la teoria
in modo più proprio, non dipendono da informazioni
colmabili in linea di principio: sistemi identicamente
preparati (stati puri) e soggetti a misura danno esiti
diversi con certe probabilità. Questi sistemi si
chiamano quantisticamente omogenei e le
probabilità ad essi relative si dicono non-
Se la preparazione di un sistema quantistico non può
essere gestita in modo accurato, dobbiamo considerare
diversi stati iniziali a0), dove l’indice corre su un certo
insieme Ogni risultato di preparazione ha una certa
probabilità p(a): p(a) è la frazione di sistemi fra loro
tutti identici e descritti dallo stato iniziale a0). I diversi
insiemi di sistemi corrispondenti alla variazione
dell’indice a si chiamano miscele e sono fisicamente non
omogenei: le miscele sono quindi somme pesate di stati
puri
Una misura non selettiva (in cui non si selezionano i
risultati di una misurazione) trasforma uno stato puro in
una miscela.
Per esempio, un sistema in sovrapposizione di
spin in su lungo x e in giù lungo x è uno stato
puro, e le sue probabilità sono ontiche o nonepistemiche, ciò che implica che il microsistema non ha alcuna proprietà oggettiva di
spin lungo x. Se la sovrapposizione fosse
interpretata come una miscela, cosa non
legittima, dovremmo dire che il 50% dei sistemi
ha la proprietà definita di avere spin lungo x in
su, e il 50% ha la proprietà di avere spin lungo
x in giù e le probabilità in questione sono solo
epistemiche,
rappresentando
la
nostra
ignoranza del reale stato del sistema.
Capitolo 4
Il problema fondamentale della
MQ:
la misura
Cenni preliminari sul problema
della misura
1) L’evoluzione temporale di un sistema quantistico
che non sia disturbato (“non-misurato”) è
deterministica,
visto
che
è
regolata
dall’equazione
di
Schroedinger,
che
è
deterministica.
2) Ma per conoscere qualcosa di un microsistema,
lo dobbiamo ovviamente sempre misurare con
un rivelatore macroscopico. Nel processo di
misurazione, ogniqualvolta lo stato del sistema
non è un autostato dell’osservabile, interviene
l’algoritmo fondamentalmente probabilistico (o
indeterministico) della teoria.
Tale ricetta probabilistica (algoritmo), fenomenologicamente e
predittivamente molto efficiente, prescrive che per un’osservabile
B relativa a un operatore autoaggiunto B (per es., con spettro
discreto), per il quale B|vi>= bi|vi>, i possibili esiti di misura
dell’osservabile B sono gli autovalori bi relativi agli autovettori vi.
Allora, se so che lo stato del sistema prima della misura (al tempo
t) è t), tale stato mi da informazioni irriducibilmente
probabilistiche quando non è autostato dell’osservabile: la
probabilità condizionata P di trovare bi misurando B se lo stato è
t), è P[B = bi|t)] = |<vi| t)>|2= |Pvi t)|2
(Pvi  è la proiezione del vettore di stato sull’autovettore vi)
Ecco un primo problema della MQ. Non solo ci
sono due evoluzioni - una deterministica e lineare
una indeterministica e possibilmente non-lineare
- ma per una delle due (quella indeterministica)
possediamo solo una ricetta di calcolo e non una
descrizione fisica approfondita di che cosa
accada
quando
un
microsistema
in
sovrapposizione
interagisce
con
un
macrosistema.
Due naturali domande….
1) Che cosa descrive la , oltre a essere uno
strumento predittivo estremamente efficace?
Non la nostra conoscenza del sistema, come viene
comunemente ma erroneamente attribuito a
Heisenberg Pauli e Dirac (Jammer 1974, 373)
altrimenti le probabilità in gioco in MQ sarebbero
epistemiche, ovvero dipendenti dalla nostra ignoranza
e uno stato puro non darebbe informazione massimale.
Ma una sovrapposizione non è una miscela di stati!
2) Perché la probabilità di trovare un certo autovalore
è proprio il modulo quadrato della proiezione del
vettore di stato sul autovettore dell’osservabile?
Ovvero perché l’algoritmo funziona?
Si genera qui una situazione che potrebbe
essere analoga a quella che si verificò
quando Boltzmann fondò la meccanica
statistica classica. Perché non provare a
spiegare in modo “più profondo” perché le
leggi
fenomenologiche
della
MQ
funzionano, così come Boltzmann spiegò
perché
funzionavano
quelle
della
termodinamica osservativa?
Altre domande sulla misura
• Il formalismo quantistico è in grado di
descrivere il mondo classico (o macroscopico)?
• Il processo di misura è qualcosa di fisico o
rappresenta solo un aumento di conoscenza
(informazione)? Nella seconda ipotesi le
probabilità quantistiche sono epistemiche,
contro l’ipotesi di completezza!
• Se la misurazione è un processo fisico, come
far convivere le due evoluzioni della teoria
(lineare e deterministica e reversibile per i
sistemi non misurati), indeterministica e
irreversibile e possibilmente non lineare per
quelli misurati?
• A causa dell’interferenza, le probabilità per i
vari esiti di misura non sono la somma delle
Tre ragionevoli ipotesi con una conclusione assurda!
1.
È possibile preparare microstemi in stati di sovrapposizione, per esempio
di spinz su e spinz giù (spin in su lungo l’asse x)
x
1

( z  z )
2
2.
Poiché i componenti di un sistema macroscopico sono costituiti da
elettroni, protoni, etc. il principio di sovrapposizione ha validità generale e
governa l’interazione di ogni sistema, macroscopico o microscopico che
sia (ovvero, si suppone che non ci sia collasso e che la teoria sia completa,
cosicché le sovrapposizioni si riferiscano ad assenza di proprietà oggettive)
3.
L’evoluzione temporale del sistema quantistico è sempre lineare
Conclusione
lo stato finale del sistema+apparato è entangled, e i due termini della
sovrapposizione corrispondono a situazioni macroscopicamente distinte,
che noi non osserviamo mai! Mostriamo questa conclusione
Supponiamo, come von Neumann, che l’apparecchio si possa
preparare in un preciso stato quantistico |f0> =def “pronto a
misurare F” e che un microsistema sia in un autostato fr
dell’osservabile F. Allora dopo un certo tempo, dovuto al
processo di misura, l’apparecchio registrerà fr andando nella
posizione finale |fr> perfettamente correlata all’autostato iniziale
misura
|fr >
f r  f0  f r  fr
Adesso consideriamo un microsistema 0 che inizialmente non è in
un autostato di F e che si può sviluppare nella serie di autostati
dell’osservabile
0  cr fr

r
0   cr fr  0   0  [ cr fr ]   0 misura
  cr fr   r
r
r
r
Evoluzione lineare
Come volevasi dimostrare, lo stato finale è una sovrapposizione
macroscopica di stati ortogonali: ecco il problema quantistico
della misura!
Come risolve l’interpretazione
standard questa imbarazzante
situazione?
con il postulato di riduzione….
Per Dirac, la relazione esistente tra autovettore e autovalore e
l’ipotesi di continuità fisica implicano, insieme alla
completezza della teoria, l’esistenza di un postulato per il
collasso della funzione d’onda (Barrett, The Quantum
mechanics of Minds and World, Oxford, p.30)
“When we measure a real dynamical variable x the disturbance involved in
the act of measurement causes a jump in the state of the dynamical system.
From physical continuity, if we make a second measurement of the same
dynamical variable x immediately after the first, the result of the second
measurement must be the same as the first. Thus, after the first measurment
has been made, there is no indeterminacy in the result of the second. Hence,
after the first measurement is made, the system is in an eigenstate of the
dynamical variable x, the eigenvalue it belongs to being equal to the result of
the first measurement. This conclusion must still hold if the second
measurmenty is not actually made. In this way we see that a measurement
always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable
that is being measured, the eigenvalue this eigenstate belongs to being equal
to the result of the measurement (Dirac, The Principles of QM, 1958, p.36)
Il postulato della riduzione del pacchetto asserisce che la
probabilità di osservare il sistema macroscopico nello stato fr è
|cr|2; questo postulato però contraddice l’ipotesi di evoluzione
lineare universale che si è fatta sinora e dunque l’ipotesi che il
processo evolutivo sistema + apparato sia governato dalla
equazione lineare e deterministica di Schroedinger.
Nelle ipotesi che abbiamo fatto, e concedendo le idealizzazione id
Von Neumann, la teoria quantistica standard non è però in grado
di spiegare perché osserviamo risultati definiti. In una filosofia
strumentalista, interessata solo alle predizioni, tutto questo non è
un problema: non ci si domanda cosa sia il “jump” di cui parla
Dirac, quando e come avvenga, e addirittura se avvenga
Ma per un realista è un problema, perché dall’ipotesi di linearità e
completezza segue che la MQ non può governare i processi di
misura. E se la soluzione è, come Dirac e Von Neumann
prescrivono, adottare due principi di evoluzione (il che equivale a
dire che la MQ ha una validità limitata) sorge la domanda….
Visto che abbiamo bisogno
di due descrizioni, qual è la
separazione tra mondo
classico e mondo
quantistico?
Si può rispondere che la separazione è
vaga e contestuale. Ma allora diventa vaga
e contestuale anche l’interpretazione della
teoria, o addirittura la teoria stessa;
vedremo inoltre che è l’interpretazione di
Bohr a richiedere una separazione netta e
chiara tra i due mondi
• Le
presupposizioni
del
ragionamento
precedente
sono
forse
troppo
idealizzate? Se così fosse il
problema
della
misura
potrebbe
diventare
uno
pseudoproblema.Analizziamole
Le 4 ipotesi di una misura ideale
secondo Von Neumann
 è possibile preparare un macrosistema che serva a
una misura (un apparecchio) in un preciso stato
quantistico 0
 si possono trascurare le interazioni tra l’apparecchio
e l’ambiente, che possono generare un apparente
collasso della funzione d’onda in una delle
componenti di una sovrapposizione
 gli stati finali dell’apparecchio corrispondenti a
percezioni distinte sono ortogonali
 lo stato finale dell’apparecchio è perfettamente
correlato con lo stato iniziale del microsistema
1) L’apparecchio è macroscopico e non se possono gestire o
conoscere tutti gli infiniti gradi di libertà: ne segue che
l’asserzione che esso sia in un preciso stato quantistico f0 è
insensata.
(1)’Contro-obiezione: è vero che l’apparecchio, ogni volta che si
ripete l’esperimento, sarà in un (micro)“stato” diverso dello
spazio di Hilbert cui corrisponde (pensa all’analogia con un punto
dello spazio delle fasi), ogni “microstato” corrispondente alla
lettura che è stata rilevata (MACROSTATO):“insiemi di
apparecchi identici apparterranno a quella varietà infinitamente
degenere
[macrostato]
che
corrisponde
all’autovarietà
macroscopica che ci interessa” (corrispondente a “indice che
punta su 0”) (Ghirardi, 519). Analogamente dicasi per lo stato
finale dell’apparecchio dopo l’evoluzione temporale dovuta alla
misura: è irrilevante sapere quale stato preciso occupi
l’apparecchio all’inizio e alla fine. Distinzione tra epistemico ed
ontologico
2) Gli stati finali dell’apparecchio non risultano mai ortogonali e
gli apparecchi non sono ideali (Primas 1990)
2)’ contro-obiezione: se ipotizziamo che sia possibile eseguire
con una certa attendibilità misure che portano a stati
macroscopicamente distinguibili, allora un macrosistema sarà in
una sovrapposizione di stati che avranno proiezioni diverse da
zero sulle autovarietà corrispondenti. Gli stati finali, insomma,
possono essere anche visti come “quasi-ortogonali” ma il punto è
che i risultati di misura corrispondenti sono comunque
mutuamente esclusivi!
3) Correlazione tra sistema e ambiente: per discuterla
introduciamo la catena di von Neumann
La catena di von Neumann: usare un altro apparecchio B (e poi
ancora un altro, per es. un osservatore cosciente) per misurare il
risultato del primo A: così non dobbiamo preoccuparci del problema
di quando avviene la riduzione
eS  A)
0  A 0  B0 interazion


[ cr fr  A r ]  B0 
r
  
[ cr fr  A r ]  B r
int.( S  A)  B
r
Questa catena, in cui tutti gli indici degli apparati di misura sono
correlati, garantisce coerenza tra tutte le possibili misure, e
suggerisce una soluzione “pragmatica” del problema della
misura. Facciamo le seguenti osservazioni:
1) è garantito una sorta di principio di corrispondenza psicofisica, per cui il
confine tra osservatore e cosa osservata è arbitrario. Infatti, non importa per
l’osservatore quando cessa di valere il principio di sovrapposizione (se prima o
durante l’osservazione umana), perché egli comunque percepisce il mondo
come privo di sovrapposizioni macroscopiche.
2) Le predizioni fatte dalla teoria, che devono comunque essere
verificate da un essere umano, non dipendono da quando
interviene quello che von Neumann chiama il processo 1 (il
collasso). Tuttavia, come nota Barrett, egli non ha mostrato che
quando esattamente avviene il processo sia empiricamente
irrilevante (The quantum mechanics of minds and worlds, p.
51). Il fatto che la teoria non lo specifichi la rende in un certo
senso incompleta, come riconobbe Wigner, che infatti affermò
che il collasso è reso possibile da esseri dotati di coscienza.
Questa tesi completa la teoria, ma in un modo extrafisico
3) poiché distinguere una sovrapposizione da una miscela
statistica in pratica è tanto più difficile quanto più è complesso
il sistema in esame, invocando la correlazione dell’apparato
all’ambiente si può cercare di argomentare che tutto avviene
come se la riduzione avvenisse, anche se di fatto essa non
avviene mai e la teoria ha validità illimitata!
Ovvero, si possono sostituire le equazioni esatte della teoria, che
prevedono una sovrapposizione in contrasto con la nostra
esperienza, con approssimazioni che portano a stati in accordo con
essa. Ma questo, nella storia della scienza, non è mai avvenuto!
Ma come può una teoria corretta ma senza significato acquistare
significato solo grazie a un’approssimazione? Von Neumann non a
caso rifiutò questa soluzione.
Si noti che nel caso che ci interessa, l’impossibilità di mettere in
evidenza sovrapposizioni di stati macroscopici non deriva
dall’ipotesi che l’insieme di osservabili che possono essere
misurate non coincida con l’insieme di osservabili autoaggiunte
dello spazio di Hilbert, ma da difficoltà pratiche insormontabili.
Un argomento basato sulla analogia
termodinamica/MSC (G-B)
• 1C le leggi reversibili classiche sono le leggi
corrette di natura
• 1Q ll principio di sovrapposizione ha validità
illimitata
• 2C in circostanze appropriate, le leggi
termodinamiche sono corrette “de facto”
-----------------Ne segue, per analogia
• 2Q in circostanze appropriate, il processo
irreversibile di riduzione, e la sostituzione di
uno stato puro con una miscela, sono “di
fatto
corretti”
• Zurek prova che a causa delle interazioni con l’ambiente,
in un sistema macroscopico in sovrapposizione, gli
elementi fuori diagonale della matrice dell’operatore
statistico diventano assai piccoli e tali rimangono per
tempi paragonabili al tempo di ricorrenza di Poincaré.
• Ma 1Q, a differenza di 1C, ci costringe ad affermare che
il risultato di una misura su un insieme di sistemi identici
falsificherebbe non solo le nostre affermazioni sul futuro
remoto fatte sulla base di 2Q, ma anche quelle sul
presente. Questo non avviene con 1C e 2C: se vogliamo
descrivere un gas nel futuro remoto dobbiamo usare 1C
(perché il gas torna arbitrariamente vicino al valore del
punto presente), ma ciò è compatibile con il fatto che ora
la maggioranza di gas in un ensemble vada
irreversibilmente verso l’equilibrio
Capitolo 5
Il dibattito Bohr Einstein e le sue
varie fasi
La posizione filosofica di Bohr
 La preminenza del linguaggio della fisica
classica: poiché gli eventi del mondo quantistico
devono essere amplificati da apparati classici, la
fisica classica rimane un prerequisito per poter
parlare del mondo quantistico
 Per Bohr i microsistemi esistono (egli è un
realista sulle entità, ma un antirealista sulle
teorie): le proprietà non dinamiche dei
microsistemi, massa carica e spin sono
intrinseche ad essi, ma il possesso di quelle
dinamiche è puramente relazionale e dipende
dall’esperimento che intendiamo condurre
Il principio di complementarietà (in base al quale i concetti della
fisica classica, se applicati al mondo quantistico, sono mutuamente
esclusivi e congiuntamente esaustivi) per Bohr vale per ogni
dominio dell’indagine empirica, anche in biologia e nelle scienze
umane (“I quanti e la vita”).
La complementarietà (mutual exclusive and jointly exhaustive)
non riguarda tanto e solo l’aspetto onda e corpuscolo applicato
all’ontologia della MQ ma ha a che fare anche e soprattutto con la
complementarietà tra descrizione spazio-temporale del mondo e
l’applicazione delle leggi causali di conservazione: “il contrario di
una verità profonda è ancora una verità profonda”.
Ecco una buona sintesi del principio di complementarietà di
Bohr“Matter should be regarded as having potentialities for
developing either comparatively well-defined causal relationships
between poorly defined events or comparatively poorly defined
causal relationships between comparatively well-defined events,
but not both together.” (Bohm, Quantum Theory, 1951, p.157).
Molti dei cosiddetti problemi filosofici della MQ per Bohr sono
dovuti all’applicazione al mondo quantistico di categorie
classiche che funzionano solo in un altro ambito (appunto quello
classico). In questo senso il linguaggio della fisica classica è la
condizione trascendentale per poter parlare del mondo
quantistico. E la misura diventa una categoria essenziale della
fisica
Mentre Ghirardi sottolinea, in modo forse eccessivo, il debito di
Bohr nei confronti del neopositivismo logico (=enfasi sul
linguaggio), in realtà nel suo pensiero c’è anche una certa
componente kantiana, soprattutto considerando quel che si è
appena scritto sulle condizioni “sine quibus non”. Il mondo
quantistico considerato in sé è un noumeno, e se proviamo a
descriverlo
utlizzando
categorie
classiche
prima
e
indipendentemente dall’esperimento, otteniamo antinomie e
contraddizioni.
Per Bell, la vaghezza della separazione tra classico e quantistico è
il problema principale della interpretazione standard di Bohr
Bohr ha due possibili risposte a questa critica, che è alla base della
presentazione di teorie alternative alla MQ ortodossa: (1) non è
possibile specificare in modo chiaro e una volta per tutte la
separazione tra classico e quantistico, dato che la distinzione è
irrimediabilmente vaga e contestuale, ovvero dipende
dall’esperimento in questione; (2) lo strumento di misura classico e
il microsistema quantistico sono non-separabili a causa del quanto
di azione, che lega, nella sua indivisibilità, i due sistemi in ogni
scambio energetico.
Si noti però che la seconda risposta sembra suggerire un
trattamento unificato del micro e macro, che Bohr non ritiene
possibile
Bohr e il realismo scientifico
 Il ruolo indispensabile dell’indivisibilità del quanto d’azione: ogni
correlazione tra microsistemi e macrosistemi (interazione causale) lo
presuppone, ma per Borh la sua discontinuità, o atomizzazione, rende
impossibile la descrizione nello spazio e nel tempo dell’interazione
stessa. E’ a causa dell’indivisibilità del quanto di azione (energia x
tempo) che non possiamo assegnare energia e momento ben definiti a
un sistema da una parte e simultaneamente descriverlo spaziotemporalmente dall’altra: in più, i due sistemi non hanno realtà
indipendente. A causa della finitezza del quanto di azione, segue infatti
che “poiché nell’osservazione dei fenomeni [atomici], non possiamo
trascurare l’interazione tra l’oggetto e lo strumento di misura, la
questione delle possibilità di osservazione viene di nuovo in primo
piano. Così, qui incontriamo, in una nuova luce, il problema
dell’oggettività dei fenomeni, che ha sempre attatto così tanta
attenzione nelle discussioni filosofiche” (Bohr, 1929, Il quanto di azione
e la descrizione della natura, citato in Faye, p.137)
 Due letture di Bohr sul ruolo della Y. Bohr viene a volte presentato
come un antirealista sulla teorie: la funzione di una teoria fisica è solo
quella di specificare predizioni empiriche su ciò che si può osservare; la
Y non descrive nulla, anche se le particelle esistono.
D’altra parte, in un’altra interpretazione del pensiero di Bohr,
Bohr e i fisici che lo seguono ritengono che la MQ sia completa,
ovvero che il vettore di stato fornisca una descrizione accurata e
completa della realtà fisica di un sistema, malgrado tale
descrizione non assegni valori simultaneamente definiti a
grandezze come posizione e momento o tempo e energia, o a
grandezze in sovrapposizione.
Ciò significa che, come abbiamo visto molte volte, uno stato
quantistico di sovrapposizione come questo
1/ 2 ( A  B )
(che se valesse l’interpretazione “a ignoranza” si riferirebbe al
fatto che c’è una “pallina” o nella scatola A o in B ma noi non
sappiamo dove) implica invece che prima della misura la pallina
non è né in A né in B, né in nessuna delle due e che quando
guardiamo è trovata in A o in B con probabilità 1/2
Cioè, l’interpretazione “a ignoranza” o epistemica delle
probabilità quantistiche in questo senso non funziona, perché in
uno stato scritto così
1/ 2 ( A  B )
ci sono effetti di interferenza: le proprietà disposizionali di uno stato
in sovrapposizione non sono quelle tipiche di uno stato in cui la
pallina è definitamente in A o in B.
Nella misura in cui c’è una certa tensione tra il sostenere che una
teoria non ha capacità descrittiva e il sostenere che essa è completa,
Bohr non può essere descritto come un antirealista sulle teorie
(contro Jan Faye, Niels Bohr, His heritage and legacy, Kluwer)
Ripasso Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg
Ricordiamo che lo scarto quadratico medio di A è
DA  [A- < A >]
Il prodotto dello scarto o indeterminazione delle due quantità A e B per un
insieme statistico associato a uno stato puro  sarà allora
DA  DB  [A- < A >]  [B- < B >]  dis.Schwarz
 [A- < A >] [B- < B >] 
Questo passaggio dipende dalle proprietà del
prodotto scalare e dal fatto che il modulo di un
numero complesso è maggiore del modulo della
parte immaginaria
1
[A- < A >] [B- < B >]  [B- < B >] [A- < A >]
2
z  x  iy  zz*  x 2  y 2  y 2  z  y 2  y  Im z 
2
2
1
z  z*
2
Poiché gli operatori A-<A> e B-<B> sono entrambi simmetrici, si possono
portare a destra del prodotto scalare
1
DA  DB   [A- < A >][B- < B >]   [B- < B >][A- < A >] 
2
Indicando con le parentesi graffe il commutatore tra A-<A> e B-<B>
si ha
1
1
 A- < A >, B- < B >  DA  DB   A, B
2
2
Poiché <A> e <B> sono numeri, essi commutano con qualunque
operatore, ciò che spiega perché l’espressione a sinistra nella
formula qui sopra si riduce a quella a destra. Per es., poiché il
commutatore tra posizione e quantità di moto vale ih/2p, si ha



Dx  Dp x  ; Dy  Dp y  ; Dz  Dp z 
2
2
2

DE  D t 
2
In relatività lo spazio x è
legato al tempo t come
l’impulso
p
è
legato
all’energia E
L’indeterminazione tempo-energia implica la conservazione
dell’energia. Se lo stato del sistema coincide al tempo t=0 con un
autofunzione propria dell’energia, ovvero se (0)= fj ove H|fj>= Ej
|fj> allora il sistema evolve in questo modo:
(t )  f j e
i
 E jt

in cui l’esponenziale è l’operatore unitario (al posto
dell’hamiltoniana H abbiamo messo il suo valore Ej). Ciò implica
che la probabilità di trovare l’esito Ej in una misura dell’energia è 1.
Ma se l’energia è perfettamente definita, allora il tempo è
indeterminato, cioè l’energia si mantiene uguale a se stessa assai a
lungo.
Heisenberg non derivò le sue relazioni nel modo visto ma propose
argomenti più qualitativi. (Ghirardi,1997, pp 413-4)
x
z
diffrazione
Immagine geometrica del
foro di ampiezza Dx: non
conosciamo la posizione della
particella lungo x ma la
componente verticale del
momento px è perfettamente
definita, perché è nulla
Se restringiamo l’ampiezza della fenditura fino a
renderla paragonabile a quella della lunghezza
d’onda l=h/p associata all’elettrone, allora
abbiamo un’indeterminazione piccola della
posizione x dell’elettrone, ma il suo momento px è
non nullo a causa della diffrazione (immagine
allargata del foro), in modo che il prodotto
DxDpx> h/4p
Spin e indeterminazione
σ x a x  1a x ;σ x x  1 x ;σ z a z  1a z ;σ z z  1 z
ax 
1 1
1 1
 1 ;    0 
;


;
a

  x
  z  0 z 1
 
 
2 1
2   1
sz=-1

sx=+1
sz= +1
Le proiezioni di  lungo gli assi degli autovettori danno, attraverso
il quadrato dei loro moduli, la probabilità di ottenere i vari esiti per
l’osservabile spin. Nella figura, tutte le proiezioni sono non nulle
sx=-1
Per rendere “quasi determinato” il valore di sz si deve partire da uno stato quasi
parallelo ai due autovettori di sz (un suo autostato), ma in questo caso le due
componenti di sx tendono a (2)1/2/2 e si ha dunque una massima indeterminazione per
l’osservabile sx (e viceversa). Il valor medio tra i due soli esiti (1 e –1) è 0, < sx > =
0, mentre lo scarto quadratico medio vale, secondo la formula già vista, proprio 1, che
è il massimo Dsx  [ Si pi( a- < a >) 2]1/2 = 1/2 [1/2(1-0)2+ 1/2(-1-0)2]1/2 = 1
sz= -1

sx=+1
sz= +1
sx=-1
Capitolo 6
Le critiche di Einstein alla
meccanica quantistica, ovvero il
dilemma tra incompletezza e nonlocalità
Sorgente e-
Pellicola fotografica
semisferica
your formulation of quantum mechanics “is certainly
imposing…but an inner voice tells me that it is not yet the real
thing (Einstein a Born 1926, 91)
Nel 1927 (5 conf. Solvay), E. avanza due interpretazioni della
r) o dell’onda De-Broglie-Schroedinger, che in questo
esperimento si suppone colpisca la lastra fotografica
simultaneamente ma che poi si trova localizzata in un punto
specifico r, di cui la |r) |2 determina solo la probabilità, in
funzione dell’intensità dell’onda in quel punto.
Le due ipotesi
I) incompletezza della teoria, ovvero, la meccanica quantistica non
descrive i processi singoli di diffrazione dell’onda e poi di
localizzazione, ma si riferisce a insiemi statistici di particelle non
tutte nello stesso stato, ognuna delle quali con condizioni iniziali
diverse. Le probabilità sarebbero allora epistemiche e i punti di
localizzazione si riferirebbero alla probabilità che in r ci sia qualche
particella dell’insieme;
II) non-località: la meccanica quantistica descrive processi singoli
ed è quindi completa, ma l’onda elettronica si trova in un istante su
tutta la lastra e l’istante successivo è localizzata in un punto, in
contraddizione con la relatività, dato che ogni singolo processo
elementare deve agire simultaneamente su due o più punti distinti
dello schermo, con un meccanismo che fa andare a 0 l’ampiezza in
tutti i punti del fronte d’onda tranne che in uno.
“Se |r)|2 fosse semplicemente considerata la probabilità che
un processo elementare si trovi in un certo luogo a un certo
istante, potrebbe succedere che lo stesso processo elementare
agisca in due o più punti dello schermo. Ma l’interpretazione
secondo la quale |r)|2 esprime la probabilità che questa
particella si trovi in un certo luogo presuppone un meccanismo
molto particolare di azione a distanza che impedirebbe all’onda
distribuita in modo continuo nello spazio di agire in due luoghi
dello schermo…Se si lavora soltanto con le onde di
Schroedinger, l’interpretazione II di |r)|2 implica a mio avviso
una contraddizione con il postulato di relatività”
Einstein in Bohr, Collected Works, vol. 6, p. 102
Molti storici hanno insistito non su questo dilemma, ma sulle
critiche di Einstein al principio di indeterminatione di Heisenberg.
Come sono connessi questi due fatti? Vediamo la critica al
principio di Heisenberg
z
S1
Le critiche di Einstein (al
principio di indeterminazione?)
(1927)
S2
Un fascio monocromatico (con
particelle di uguale impulso
iniziale sparate una alla volta)
investe uno schermo mobile:
applicando la conservazione del
momento, si potrebbe determinare
in quale fenditura passa la
particella in S2, senza distruggere
l’interferenza. Si violerebbe così il
principio di indeterminazione di
Heisenberg: se il primo schermo si
sposta verso il basso, la particella
andrà verso la fenditura in alto di
S2, e viceversa
E’ solo l’interazione delle particelle con S1 che può deviare la
loro traiettoria, visto che prima avevano momento perpendicolare
nullo (pz =0). In linea di principio, anche se praticamente è quasi
impossibile, è possibile per Einstein misurare il rinculo
dell’apparecchio verso l’alto o verso il basso senza influire sul
moto della particella e stabilire quindi per quale fenditura questa
passa.
Bohr risponde che o si fissa S1 ad una base, e allora si sa con
precisione dove è la fenditura, oppure, per stabilire il verso del suo
rinculo (in alto o in basso) si deve avere un schermo sospeso con
molle e si deve poter misurare con estrema precisione la
componente della velocità lungo z. Ma allora, a causa del principio
di indeterminazione di Heisenberg, si deve avere una
corrispondente indeterminatezza nella posizione dello schermo
lungo z. Si deve allora mediare su tutte le posizioni dello schermo
S1 che rientrano nella indeterminazione della posizione, ciò che
corrisponde a fare una media di tutte le possibili figure di
interferenza che corrispondono ad ogni posizione. Fare tale media
comporta distruggere la figura di interferenza!
Scrive Bohr:” risulta decisivo che, contrariamente ai veri e propri
strumenti di misura, questi corpi [vale a dire il diaframma S1],
assieme alle particelle, costituirebbero, nel caso in esame, il
sistema cui deve applicarsi il formalismo quantistico. Per quanto
riguarda la precisazione delle condizioni sotto le quali si può
correttamente applicare il formalismo, risulta essenziale che si
tenga conto di tutto il dispositivo sperimentale” (cit. in Ghirardi,
p.426).
Si noti che però Bohr, che respinge l’obiezione di E., considera
il diaframma macroscopico S1, solo perché utilizzato nella
misura, come tale da cadere sotto l’applicazione del formalismo
quantistico. Sebbene sia un corpo chiaramente di dimensioni che
rientrano nella fisica classica. Il suo argomento potrebbe essere
difeso affermando che solo un corpo quantistico può misurare il
rinculo. Ma questa risposta esige di sapere a quali scale possiamo
usare la fisica classica e a quali no: e questo è proprio il problema
posto dalla tutta la filosofia di Bohr.
Ambiguità della separazione classico/quantistico (J. Bell). Bohr direbbe, con
termine più benevolo, “constestualità della separazione”. Il punto è che se tutti i
sistemi fisici, anche quelli macroscopici classici, possono essere descritti dalla
MQ, non ci si può più avvalere della separazione classico/quantistico per evitare
il problema della misura.
Per questo Bohr, conscio del problema, scrive:”..si deve aver ben chiaro che –
oltre che nella descrizione della disposizione nello spazio e nel tempo degli
strumenti che formano l’apparato sperimentale – l’uso non ambiguo di concetti
spazio-temporali nella descrizione dei fenomeni atomici va interamente limitato
alla registrazione di osservazioni che si riferiscono a immagini su una lastra
fotografica o ad analoghi effetti praticamente irreversibili di amplificazione, come
la formazione di una goccia d’acqua attorno a uno ione in una camera a nebbia
(Ghirardi, ibid.)
La nozione di irreversibile (e non più di macroscopico) diventa sinonimo di
classico
Ecco il legame tra il dilemma incompletezza/non-località non colto dagli
interpreti e il principio di indeterminazione, legame che non si evince affatto
dal resoconto di Bohr nel volume in onore di E. di Schilpp, che in parte non
capisce la critica di Einstein. E questo punto non viene colto nemmeno da
vari libri recenti su Bohr: il fatto essenziale è chela particella e il diaframma,
sia per B che per E, sono un sistema composto, e in più inseparabile, a causa
del fatto che tra le grandezze del sistema valgono le relazioni di
indeterminazione di Heisenberg.
Non possiamo dire che la particella ha una posizione definita se la velocità
lungo z del diaframma è non nulla; viceversa, se la velocità lungo z della
particella è non nulla, questo comporta che la posizione del diaframma sia
indeterminata, proprio perché deve essere definito il suo momento verticale. Il
punto centrale che muove E. a criticare il Principio di H. ha quindi a che fare
con la non-separabilità di sistemi spazialmente distanti che obbediscano al
principio di H. Bohr non capisce il legame tra principio di indeterminazione e
non-separabilità, malgrado teorizzi e comprenda forse per primo la seconda.
Ma la non-separabilità per Bohr riguarda le condizioni di possibilità
dell’attribuzione di una proprietà a un microsistema (è l’inevitabilità
dell’apparato di misura) e e non coinvolge minimamente la non-località
spaziotemporale, che E. invece coglie molto bene per primo.
In un saggio non pubblicato del 1927, studiato da D. Belousek
in SHPMP, 1996, 27, E. deriva una sorta di equazione di
Hamilton-Jacobi quantistica, in cui l’energia cinetica
complessiva del sistema è la somma dell’energia cinetica
assegnata alle sue n componenti, e tale che la velocità di ogni
componente è determinata a ogni istante e contribuisce
all’energia complessiva del sistema.
“l’assegnazione di moti completamente determinati a soluzioni
dell’equazione differenziale di Schroedinger è, almeno dal punto
di vista formale, possibile tanto quanto lo è l’assegnazione di
moti determinati dell’equazione di Hamilton-Jacobi della
meccanica classica” (Einstein, in Belousek 1996)
Ma poi ritira la pubblicazione, perché si rende conto che due
sottosistemi qualsiasi in questo schema sarebbero entangled, cioè
il moto di uno dipenderebbe strettamente da quelle dell’altro e
lui rifiuta tale non-separabilità non-locale.
• L’argomento di E. si può allora ricostruire così.
Supponiamo che si misuri la velocità e il verso del
moto di S1: allora, tramite il principio di
conservazione dell’impulso, possiamo calcolare
l’impulso della particella lontana senza disturbarla;
per il principio di H., la particella dovrà avere una
posizione indefinita. Ma se avessimo invece deciso di
misurare la posizione dello schermo dopo
l’interazione con la particella, avremmo reso
indefinito l’impulso della particella. Le due variabili
non sono simultaneamente misurabili, naturalmente,
ma come fa la realtà delle proprietà della particella
lontana (posizione e impulso) a dipendere dal tipo di
misura che decidiamo di effettuare sullo schermo,
che può essere separato da intervalli di tipo spazio
dalla particella?
L’argomento della scatola e del fotone (Solvay
1930)
La presentazione standard è la seguente:
Einstein
considera
una
scatola
contenente
radiazione
elettromagnetica, dotata di un orologio che fa aprire una fessura
dalla quale può uscire radiazione ad un tempo fissato. Se
ipotizziamo che idealmente T0, e che dall’apertura sia uscito un
solo fotone, pesando la scatola prima e dopo la fuoriscita della
particella, mediante la formula E= mc2 si può determinare, oltre al
tempo, anche l’energia emessa dalla scatola attraverso l’espulsione
del fotone, in contraddizione con la formula dell’indeterminazione
tempo-energia
DT DE > h/2p ,
(1)
Ghirardi, Un’occhiata alle carte di Dio, p. 145
La risposta di Bohr utilizza il principio di equivalenza della
Relatività generale. Al solito, per determinare il peso
della scatola, la velocità lungo la verticale
dell’indicatore deve essere nulla, e quindi si finisce con
l’avere una posizione lungo la verticale assai indefinita.
Questa incertezza si traduce in una indefinitezza del
peso, e perciò dell’energia
Unruh e Opat, nell’American Journal of Physics, 1979,
mostrano che la risposta di Bohr può evitare il ricorso al
principio di equivalenza, che sfrutta l’incertezza nella
posizione dell’orologio per affermare che diventa
incerta la sua quota e quindi la scansione temporale
dell’orologio
Come risposta, Bohr deriva la disuguaglianza (1) Bohr usando
queste formule:
E = m c2 ,
(2)
Dp Dq > h ,
(3)
Dp < Tg Dm ,
(4)
DT/T= (1/c2 )g Dq .
(5)
Sia T l’intervallo corrispondente al tempo necessario per le
procedure di peso, Dm l’accuratezza nella procedura di peso.
L’impulso mDv=Dp<FTDmgTTgc-2DE per la (2) La
disuguaglianza nella (4) per Bohr si giustifica perché
l’indeterminazione nel momento Dp è minore dell’impulso totale
dato dalla procedura di peso
Dp < Tgc-2DE > Dp < gc-2DE DT c2 /g Dq da cui seguono le
relazioni di indeterminazione per tempo e energia
h/2p < DpDq < DEDT
Spieghiamo la (5):gDq è energia potenziale, nel
nostro caso, differenza di potenziale legata
all’incertezza nella posizione; il red-shift
gravitazionale implica che l’orologio posto in
basso nel campo gravitazionale vada più
lentamente. Nell’esperimento di Briatore e
Leschiutta (1975), si trovò che un orologio a
Torino dopo 68 giorni perdeva 2,4 .10-6 s.
rispetto a quello sul Plateau Rosa. Se l è la
differenZa di quota, la differenza tra gli
intervalli di tempo è data dalla formula
DT’-DT DTgl/c2)
Un critica contemporanea all’esperimento mentale del fotone
nella scatola
“Indeed, if the shutter is open during a vanishing time interval (for just one
photon to escape, Einstein thought) then the electromagnetic pulse must
be very sharp, ideally a Dirac delta. According to classical
electrodynamics, the Fourier components of such a pulse involve a wide
spectrum of frequencies. Therefore the electromagnetic pulse does not
have a precisely defined frequency. On the other hand the unique
escaping photon should have, according to Einstein, a precisely defined
energy, that is, a precisely defined frequency (E = hn) in contradiction with
the sharp pulse. At least in 1949, Einstein was well aware of this
contradiction as he stated that “...indivisible point-like localized quanta of
the energy hn (and momentum hn/c)...contradicts Maxwell’s theory” [6]. We
know today that the photon concept is compatible with Maxwell’s theory
provided that we abandon the simultaneous requirement of point-like
localization and precise energy-momentum.” (de La Torre et. al. 1999,
arXiv:quant-ph/9910040 v1 8 Oct 1999). Per gli autori, il fotone ipotizzato da
Einstein non può esistere
This is a hybrid set involving classical mechanics (4),
special relativity (2), quantum mechanics (3) and general
relativity (5). … this hybrid mixture is precisely the root of
the weakness of the argument. .. However, in order to
provide a proof of the inequality, the relations (2) to (5)
must be valid and the symbols used in these formulas
must have the same meaning as the one in the inequality
(1). We will see that these two requirements are not
satisfied by Bohr’s reply (de La Torre et. al. 1999,
arXiv:quant-ph/9910040 v1 8 Oct 1999)
In Bohr’s reply to Einstein, T is the “interval of balancing
procedure”, m is the “weighing... accuracy”, q is the
“position ... accuracy” and p is the “minimum latitude in the
control of the momentum of the box”. In these definitions
there is a mixture of classical uncertainties and quantum
indeterminacies. (de La Torre et. al. 1999, arXiv:quantph/9910040 v1 8 Oct 1999)
The first difficulty that we find with Bohr’s argument is that the
symbol T has not the same meaning in the set of relations (2)
to (5) as in relation (1). In Einstein’s argument, T is the
indeterminacy in the moment of escape of the “photon” (more
precisely, the time-width of the electromagnetic pulse) and in
Bohr it means the indeterminacy in the balancing time of the
box during the weighing procedure. These indeterminacies
need not be the same. The weighing of the box can, indeed,
be made a long time after the escape of the electromagnetic
pulse. We have here sufficient reason to take Bohr’s reply as
inconclusive. (de La Torre et. al. 1999, arXiv:quant-
ph/9910040 v1 8 Oct 1999)
Ma anche in questo caso, il punto che stava a cuore ad Einstein è
completamente diverso: riguardo all’incontro Solvay del 1930, gli
storici hanno troppo insistito sulla ricostruzione di Bohr. In una lettera
di Eherenfest a Bohr del 9.7.1931 leggiamo:
“[Einstein] mi disse che già da molto tempo non dubitava più
delle relazioni di indeterminazione, e che perciò egli non
aveva assolutamente inventato “la scatola a lampo di luce
pesabile “contra” le relazioni di indeterminazione, ma per
uno scopo completamente diverso”
In Howard D. (1990), Nicht sein kann was nicht sein darf or the prehistory of EPR,
1909-1935, in Sixty-Two Years of Uncertainty, a cura di A. I. Miller, New York,
Plenum Press
Vedi Laudisa (1998), p. 46: nella stessa lettera
Ehrenfest descrive una variante dell’esperimento della
“scatola a fotone pesabile”, in cui una macchina emette
un proiettile, che viene riflesso da uno specchio posto a
grande distanza (separazione di tipo spazio). Dopo
l’emissione, lavorando solo sulla macchina, è possibile
predire due valori non commutativi, a seconda di ciò
che scegliamo di misurare
Dice Ehrenfest: “E’ interessante chiarire il fatto che il
proiettile, che si muove già isolato e ‘per conto
proprio’, deve essere pronto a soddisfare predizioni
non commutative molto diverse, senza sapere ancora
quale di queste predizioni verrà fatta”.
Ovvero potrei misurare il tempo di andata e ritorno del proiettile o
la sua energia, senza in alcun modo influenzarlo. Devo quindi
assumere che entrambe le quantità sono misurabili, a meno di non
far dipendere la realtà delle proprietà del proiettile da ciò che faccio
sulla scatola, a distanza. In nuce, c’è EPR, e comunque di nuovo la
questione della non-separabilità tra macchina e proiettile, che
invoca il problema della completezza.
Se scegliessi di misurare l’osservabile E sulla macchina avrei una
funzione d’onda pro di un certo tipo, senza influenzare la realtà a
distanza del proiettile a causa del postulato di relatività; ma se
scegliessi di misurare T, avrei una funzione d’onda diversa ’pro,
senza che la realtà a distanza del proiettile sia modificata. Poiché
esistono due diverse rappresentazioni della medesima realtà, il
rapporto tra funzione d’onda e sistema rappresentato non è
biunivoco ed esiste dunque incompletezza, nella misura in cui per la
completezza la biunivocità tra funzione d’onda e realtà è CNES (c’è
un elemento di realtà che non è descritto dalla teoria, che si riferisce
allo stesso elemento).