probabilità e teoria dei giochi

La probabilità
nei giochi
La definizione di probabilità P(E) di un evento E
è il rapporto tra
il numero nf di casi favorevoli al verificarsi di E
______________________________________
il numero np dei casi possibili,
Casi giudicati tutti egualmente probabili.
In formule
p( E ) 
nf
np
Di conseguenza la probabilità è un numero
compreso tra 0 e 1 0 ≤ p(E) ≤ 1
• P(E) = 0 quando nf è uguale a zero perché l’evento è
impossibile
• P(E) = 1 quando nf è uguale a np perché l’evento è
certo
Se con non E indichiamo il non avverarsi dell’evento E
(evento complementare) allora si avrà
P(nonE) = 1 – P(E)
Lancio di un dado
Lo spazio campionario, cioè l’insieme di tutti i possibili eventi,
è definito come
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} …
La probabilità che esca “6” lanciando un dado vuol dire :
Calcolare:
- il numero np dei casi possibili cioè 6 (le facce possibili)
- il numero nf dei casi favorevoli cioè 1 (la faccia che porta il 6)
P6  
nf
np

1
 0,1 6
6
La probabilità che non esca 6 è invece
1
5
P 6   1  P (6)  1    0,8 3
6
6
La somma della probabilità di tutti gli eventi possibili è 1
P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(4)+ P(5)+ P(6)= 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6=1
Lancio di due dadi
Quali sono i possibili risultati della somma del lancio di due dadi ?
Qual è la probabilità di ottenere ciascuna delle somme possibili?
Il numero dei casi possibili è pari a 6 × 6 = 36,
perché ogni faccia del primo dado si può combinare con ognuna
delle sei facce del secondo.
Come possiamo determinare tutte le possibili somme in
tutti i possibili modi?
DADO 1
D
A
D
O
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Dalla tabella si possono ottenere le loro probabilità:
Ad esempio
nf
1
P2  P(12) 

n p 36
P 3  P (11) 
nf
np
2

36
così tutti gli altri.
Sapresti costruire una tabella
analoga per il lancio di 3 dadi?
PARI O DISPARI
• Ognuno apre una mano mostrando un
numero di dita. Prima di aprire la mano i
due giocatori puntano a scelta su una
somma delle dita delle due mani che sia
pari oppure dispari. Chi indovina vince.
• Ma esiste una stessa possibilità che la
somma delle dita sia pari o dispari?
• Costruisci una tabella che elenchi tutte le
possibilità
Mano giocatore 1
M
A
N
O
G
I
O
C
2
Con queste regole risulta:
P(pari)=P(dispari)=½
0
1
2
3
4
5
0
P
D
P
D
P
D
1
D
P
D
P
D
P
2
P
D
P
D
P
D
Ma se cambiassimo le regole,
3
D
P
D
P
D
P
per esempio:
4
P
D
P
D
P
D
E’ obbligatorio mostrare
5
D
P
D
P
D
P
almeno un dito
La probabilità cambierebbe?
Mano giocatore 1
M
A
N
O
G
I
O
C
2
0
1
2
3
4
5
0
P
D
P
D
P
D
1
D
P
D
P
D
P
2
P
D
P
D
P
D
3
D
P
D
P
D
P
4
P
D
P
D
P
D
5
D
P
D
P
D
P
Pdispari  
nf
nf

P pari  
np
np

12
 48%
25
13
 52%
25
E quindi non sono più equiprobabili.
• Due eventi si dicono incompatibili se
non si possono verificare contemporaneamente,
quindi l’uno esclude l’altro.
Ad esempio nel lancio di una moneta lo sono gli eventi
E = “esce testa” e non E = “esce croce”
.
• Per due eventi incompatibili la probabilità che
avvenga l’uno o l’altro,
cioè la probabilità dell’evento A U B è data da
P(A U B)= P(A) + P(B)
Nel lancio della moneta p(E U nonE)=½+½=1
• Gli eventi si dicono compatibili se
possono accadere insieme.
La probabilità che accada l’uno o l’altro
evento si calcola mediante la
P(A U B)= P(A) + P(B) -P(A ∩B)
dove A ∩ B indica il loro avverarsi
contemporaneamente
Probabilità condizionata
• Dati due eventi A e B tali che A ∩ B ≠  ,
si dice probabilità condizionata di A rispetto a
B e si indica con P(AI B) la probabilità che si
verifichi A sapendo che B si è verificato.
• Si può calcolare così
P( A  B)
P( A / B) 
P( B)
Esempio
Consideriamo il lancio di un dado regolare.
Sia F ={2 , 4, 6} l’evento “uscita di un pari “
La probabilità dell’evento E ={4} sapendo che è
accaduto F è:
P( E  F )
P( 4)
1
P( E / F ) 


P( F )
P(2, 4, 6 3
Teorema di Bayes
p( A)  p( B / A)
p ( A / B) 
p( A)  p( B / A)  p(nonA) p( B / nonA)
la probabilità che A avvenga dopo che B è già avvenuto p(A/B)
è uguale
alla probabilità che A avvenga senza condizioni, p(A),
moltiplicata per la probabilità che B avvenga se è avvenuto
A, cioè p(B/A),
diviso la probabilità che B avvenga senza condizioni, p(B).
Lancio di un dado
• Considerando i due eventi:
A = “è uscito il numero 1”
B = “è uscito un numero dispari”
Si ha P(A)=1/6 e P(B)=3/6 =1/2
• Supponiamo di sapere che è uscito un numero dispari
(B è verificato) e che voglio calcolare la probabilità che
sia avvenuto A; cioè:
p(1 / dispari ) 
p(1)  p(dispari / 1)
p (dispari )
• Ma p(dispari/1) è la prob che il numero uscito sia dispari
sapendo che è uscito 1 cioè 1
•In conclusione
1
1
1
1
p (1 / dispari )  6

2 
1
6
3
2
Il gioco delle tre carte
• Abbiamo tre carte coperte A, B e C ed il
giocatore deve indovinare dove si
nasconde la stella che è la carta vincente.
Inizialmente la probabilità di vincita per
ognuna delle carte è: 1/3.
• Ma…
Dadi di Efron
• Di solito si è convinti che se due giocatori si
sfidano a dadi, a chi fa il punteggio più alto,
entrambi abbiano la stessa probabilità di vincita.
• Ma non è così, se si sfidano con un particolare
tipo di dadi non transitivi, detti dadi di Efron.
• Questi dadi non hanno le facce numerate tutte
diversamente l’una dall’altra, sulle loro facce
alcuni numeri si ripetono.
• Ecco un esempio:
A
Dado 6-2
2
2
6
Dado 3-3
D
3
Dado 5-1
2
3
3
6
1
2
5
3
1
3
1
3
5
4
0
4
0
4
4
Dado 4-0
B
C
5
Supponiamo che uno dei due giocatori scelga il dado 5-1 e l’altro,
conoscendo il funzionamento dei dadi scelga il dado 6 – 2 ;
calcoliamo con quale probabilità il secondo giocatore può
essere vincitore con un solo lancio.
Il numero di casi possibili è 6 × 6 = 36.
Vediamo i casi favorevoli:
sul dado 6 – 2 esce 2
vincerà in 3 casi su 6 (quando sull’altro dado esce 1),
ma le facce con il 2 sono 4
Quindi avremo
4×3 = 12 casi in cui
vince.
esce 6
vince qualsiasi sia la faccia dell’altro dado.
ci sono altri
2×6 = 12 casi
in cui
vincerà.
I casi favorevoli in totale sono:
4×3 +2×6 = 12 +12 = 24
La probabilità di vincere del dado 6 – 2 sul dado 5-1 è
P(6 – 2 vince 5-1) 
24 2
  0, 6
36 3
Dado 6-2
A
24/36
2
2
6
Dado 3-3
D
3
Dado 5-1
2
3
3
6
B
1
2
5
3
1
3
1
3
5
4
0
4
0
4
4
Dado 4-0
C
5
• Con questo set di dadi di Efron qual è
la probabilità che il dado 5-1 prevalga
sul dado 4-0 e che questo prevalga
sul dado 3-3 e, ancora , che
quest’ultimo prevalga sul dado 6-2?
• Incrocia i dadi anche seguendo le
frecce interne.
Dai giochi d’azzardo ai giochi
strategici
• Al gioco con i quattro dadi non transitivi di Efron si
possono associare dei giochi strategici 2x2 fra due
giocatori, consentendo anche al primo giocatore, prima
di giocare una serie di partite, di scegliere una coppia di
dadi (ad esempio la coppia A-B oppure la coppia C-D,
oppure la coppia A-D, oppure ...) con cui giocherà contro
il secondo giocatore, che avrà, necessariamente senza
possibilità di scelta, la coppia di dadi restanti.
• Una volta che il primo giocatore ha scelto la sua coppia,
ciascun giocatore ad ogni lancio potrà utilizzare, a suo
piacimento, uno qualsiasi fra i due dadi della coppia a
sua disposizione.
Dai giochi d’azzardo ai giochi
strategici
• La strategia di gioco, nel lancio ripetuto di dadi, sarà
quindi, per entrambi i giocatori, una volta fissata la
coppia di dadi a disposizione di ciascuno, di decidere
con quale dei propri due dadi giocare in ciascun lancio,
sapendo quali dadi sono in possesso dell’avversario.
• L’esame delle soluzioni (strategie ottimali e
corrispondenti valori di gioco) dei vari giochi strategici,
relative a tutte le scelte di coppie di dadi possibili da
parte del primo giocatore, permetterà di individuare
quale scelta di dadi ottimali dovrà compiere il primo
giocatore prima di giocare una serie di partite.